Bewegung und Ruhe

Stell dir vor, du sitzt im Zug von Frankfurt nach Stuttgart und liest. Bewegst du dich? Dein Gegenüber würde sagen: nein. Du sitzt die ganze Fahrt über am selben Platz, einen Meter von ihm entfernt, und hast dich kein einziges Mal gerührt. Aber die Frau, die auf dem Bahnsteig in Vaihingen steht, würde behaupten, dass du gerade mit 160 km/h an ihr vorbeisaust. Und beide haben recht.

Oben schauen wir vom Bahnsteig auf den Zug, unten aus dem Wagen. Beide roten Pfeile zeigen dieselbe Bewegung, nur jeweils von einem anderen Standpunkt aus gesehen.

Diese Täuschung kennt jeder, der schon einmal in einem stehenden Zug im Bahnhof gesessen hat: Der Zug auf dem Nebengleis setzt sich langsam in Bewegung, und dir kommt es für einen Moment so vor, als würdest du losfahren. Erst wenn du auf das Bahnhofsgebäude schaust, merkst du, dass du stehst. Das Auge braucht einfach etwas, worauf es die Bewegung beziehen kann.

Bezugssystem

Ob sich ein Körper bewegt oder in Ruhe ist, lässt sich nicht für sich allein bestimmen. Wir müssen immer dazusagen, in Bezug worauf. Den Körper, in Bezug auf den wir die Bewegung beurteilen, nennen wir den Bezugskörper. Für dein Gegenüber im Zug ist das der Wagen, für die Frau auf dem Bahnsteig die Erde.

Ein Körper ist in Ruhe, wenn er seine Position in Bezug auf den Bezugskörper nicht ändert. In Bezug auf den Wagen bist du in Ruhe, in Bezug auf die Erde bewegst du dich. Die Frau auf dem Bahnsteig dagegen ruht in Bezug auf die Erde, aber in Bezug auf dich entfernt sie sich nach hinten mit 160 km/h. Bewegung und Ruhe sind relativ, hängen also davon ab, von wo aus wir schauen.

Damit sich die Position durch Zahlen beschreiben lässt, verbinden wir mit dem Bezugskörper ein Koordinatensystem. Wir wählen einen Punkt aus, den wir Ursprung nennen, und legen von ihm aus die Achsen x und y, so wie du in der Mathematik einen Graphen zeichnest. Am Bahnhof könnte der Ursprung zum Beispiel beim Fahrdienstleiter liegen, die x-Achse entlang der Gleise und die y-Achse senkrecht dazu. Die Position eines Körpers ist dann durch zwei Zahlen gegeben: wie weit er in Richtung der einen Achse liegt und wie weit in Richtung der anderen. Im Zug wählen wir den Ursprung etwa an der Wagentür. Der Bezugskörper zusammen mit dem Koordinatensystem und einer Uhr, die die Zeit misst, heißt Bezugssystem.

Deine Position im Wagen, der schwarze Punkt, wird so durch den roten Abstand entlang der x-Achse und den blauen Abstand entlang der y-Achse bestimmt.

Im Alltag bildet fast immer die Erde das Bezugssystem, und deshalb erwähnen wir sie oft gar nicht. Wenn wir sagen, dass ein Auto mit 90 km/h fährt oder dass ein Haus steht, meinen wir das in Bezug auf die Erde. Aber auch ein „unbewegliches“ Haus ist nicht ganz in Ruhe. Die Erde dreht sich um ihre Achse, sodass ein Haus in Deutschland an einem Tag einen Kreis von etwa 26.000 km Länge beschreibt. In einer Stunde legt es also über 1.000 km zurück. Dazu umkreist die Erde die Sonne mit etwa 30 km/s. Bis du diesen Satz zu Ende gelesen hast, bist du mit der Erde samt Haus und Sofa etwa hundertfünfzig Kilometer weitergeflogen. Aber auch die Sonne ruht nicht, sie umkreist das Zentrum der Milchstraße. Einen Körper, der „wirklich“ in Ruhe ist, also ohne Angabe, in Bezug worauf, gibt es einfach nicht.

Massenpunkt

Ein Auto auf der Autobahn zwischen Frankfurt und Stuttgart ist etwa 4,5 m lang. Die ganze Strecke misst ungefähr 205 km. Würdest du die ganze Autobahn als 20 cm lange Linie aufs Papier zeichnen, wäre das Auto in dieser Zeichnung etwa 4 µm lang, sechzehnmal weniger als die Dicke eines Haares. Wenn wir wissen wollen, wann das Auto in Stuttgart ankommt, spielt es keine Rolle, wie lang es ist, wo das Lenkrad sitzt und ob das Fenster offen ist. Wir können es uns als einen einzigen Punkt vorstellen, der sich über die Karte bewegt.

Eine solche Vereinfachung heißt Massenpunkt. Das ist ein Körper, dessen Ausmaße wir in der jeweiligen Situation vernachlässigen können. Wir ersetzen ihn durch einen Punkt, dem wir die Masse des ganzen Körpers lassen. In der Physik rechnet man mit Massenpunkten viel leichter als mit wirklichen Körpern, die sich drehen, verbiegen oder ihre Form ändern können.

Ob wir einen Körper als Massenpunkt betrachten dürfen, entscheidet aber nicht der Körper selbst, sondern die Frage, die wir uns stellen. Beim Einparken ist dasselbe Auto kein Massenpunkt. Dort entscheiden gerade seine Ausmaße: ob es zwischen zwei andere Autos passt und wie viele Zentimeter bis zum Bordstein bleiben. Die Erde wiederum ist bei ihrem Umlauf um die Sonne ein Massenpunkt. Ihr Durchmesser von etwa 12.700 km ist gegenüber der Entfernung zur Sonne, 150.000.000 km, vernachlässigbar. Interessiert uns aber der Wechsel von Tag und Nacht, müssen wir bedenken, dass sie eine rotierende Kugel ist, und durch einen Punkt lässt sie sich nicht ersetzen.

Auf der langen Fahrt links genügt es, das Auto durch einen Punkt zu ersetzen, beim Einparken rechts entscheiden seine Ausmaße.

Bahn

Die Linie, die ein Massenpunkt bei seiner Bewegung beschreibt, nennen wir Bahn. Manchmal sehen wir sie sogar: Ein Flugzeug hoch am Himmel lässt einen weißen Kondensstreifen hinter sich, ein Skifahrer eine Spur im Schnee. Die Bahn kann eine Gerade, ein Kreis oder eine beliebige andere Kurve sein.

Genauso wie Bewegung und Ruhe hängt auch die Bahn vom Bezugssystem ab. Schauen wir uns das Ventil am Vorderrad eines Fahrrads an. Wenn der Radfahrer während der Fahrt nach unten aufs Vorderrad schaut, sieht er, dass sich das Rad auf der Stelle dreht und das Ventil im Kreis läuft. Seine Bahn ist ein Kreis. Eine Freundin, die auf dem Gehweg steht und zuschaut, wie der Radfahrer vorbeifährt, sieht aber keinen Kreis. Das Rad rollt nach vorn, das Ventil wandert mit, und so zeichnet es eine Reihe von Bögen.

Im Bild ist oben das Rad aus der Sicht des Radfahrers, also in dem Bezugssystem, das mit dem Rahmen des Rades verbunden ist. Das orangefarbene Ventil läuft auf dem roten Kreis. Unten ist dasselbe Rad in dem Bezugssystem, das mit dem Boden verbunden ist. Der graue gestrichelte Kreis zeigt, wo das Rad war, als das Ventil unten an der Straße stand. Bevor sich das Rad einmal gedreht hat, zeichnet das Ventil den roten Bogen. Beide Hälften des Bildes zeigen dieselbe Bewegung desselben Ventils, nur aus der Sicht von zwei verschiedenen Bezugssystemen. Die Animation zeigt es Schritt für Schritt: Das Rad dreht sich oben und rollt unten gleichzeitig, und das Ventil zeichnet dabei beide Spuren zugleich.

Die Kurve, die das Ventil vom Gehweg aus zeichnet, heißt Zykloide. Ihre Spitzen liegen unten, dort, wo das Ventil die Straße berührt. Das Rad rutscht nicht über die Straße, es rollt auf ihr ab, sodass die Stelle, die gerade den Boden berührt, einen Augenblick lang steht. Das Ventil bleibt dort stehen und hebt sich gleich darauf, zuerst fast senkrecht nach oben. Genau genommen sitzt das Ventil an der Felge ein paar Zentimeter näher an der Mitte als die Oberfläche des Reifens, sodass es die Straße nicht berührt und seine Kurve unten statt der Spitzen nur scharf gekrümmt ist. Eine fast genaue Zykloide würde zum Beispiel ein Steinchen zeichnen, das im Profil des Reifens steckt.

Wie weit kommt das Rad in einer Umdrehung? Wenn es nicht rutscht, wickelt sich sein ganzer Umfang auf der Straße ab wie ein Maßband, das abgerollt wird. Der Umfang eines Kreises mit dem Radius r ist 2π · r, wobei π ≈ 3,14 ist, sodass sich die Mitte des Rades in einer Umdrehung genau um 2π · r weiterbewegt. Ein Fahrradrad hat einen Umfang von etwas über 2 m, auf einem Kilometer macht es also fast fünfhundert Umdrehungen.

Dasselbe Prinzip gilt auch im Zug. Wenn der Zug mit gleichbleibender Geschwindigkeit auf gerader Strecke fährt und du im Wagen einen Apfel fallen lässt, fällt er dir direkt vor die Füße, senkrecht nach unten. Die Frau auf dem Bahnsteig sieht ihn fallen und gleichzeitig mit dem Zug nach vorn fahren, sodass er für sie auf einem schrägen Bogen fliegt.

Links siehst du den Fall des Apfels so, wie du ihn im Wagen siehst, rechts so, wie ihn die Frau auf dem Bahnsteig sieht.

Weg

Die Länge der Bahn, die ein Körper zurücklegt, heißt Weg und wird mit s bezeichnet. Der Weg ist ein Skalar, also eine Zahl mit Einheit. Gemessen wird er vom Kilometerzähler im Auto: Er addiert jeden Meter, den das Auto zurücklegt, egal ob es geradeaus fährt, abbiegt oder rückwärtsfährt. Der Weg nimmt deshalb mit der Zeit nie ab. Wenn du nach Hause kommst, zieht dir niemand die gelaufenen Kilometer wieder ab.

Verschiebung

Der Wanderer Peter ging von der Hütte los, lief 3 km nach Osten und dann 4 km nach Norden. Insgesamt ist er 7 km gelaufen, aber von der Hütte war er nur 5 km entfernt. Der Pfeil von dem Ort, an dem er begonnen hat, zu dem Ort, an dem er angekommen ist, ist seine Verschiebung. Jetzt können wir beide Größen genau benennen: Der Weg betrug 7 km, der Betrag der Verschiebung 5 km.

Die Verschiebung schreibt man mit Vektoren geschickt auf. Die Position eines Körpers im Bezugssystem beschreiben wir durch einen Pfeil, der vom Ursprung zu dem Ort führt, an dem sich der Körper gerade befindet. Dieser Pfeil heißt Ortsvektor und wird mit $\overrightarrow{r}$ bezeichnet.

Die schwarze Linie im Bild ist die Bahn, und orange sind zwei Orte markiert, durch die der Körper nacheinander gekommen ist. Die blauen Pfeile sind Ortsvektoren: ${\overrightarrow{r}}_1$ zeigt, wo der Körper am Anfang war, und ${\overrightarrow{r}}_2$, wo er am Ende war. Rot hervorgehoben ist der Abschnitt der Bahn dazwischen, also der Weg, den der Körper zurückgelegt hat. Der grüne Pfeil, der vom ersten Ort zum zweiten führt, ist die Verschiebung.

Die Verschiebung sagt, um wie viel sich die Position geändert hat. Die Änderung einer physikalischen Größe bezeichnen wir mit dem großen griechischen Buchstaben Δ (Delta) vor ihrem Formelzeichen, und deshalb schreibt man die Verschiebung

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$$

Man liest es „Delta r“, und zusammen ist es ein einziges Zeichen, kein Produkt. Warum Änderung? Schau dir das Bild an. Der blaue Pfeil ${\overrightarrow{r}}_1$ und hinter ihm der grüne Pfeil ergeben zusammen den blauen Pfeil ${\overrightarrow{r}}_2$. So funktioniert das bei Vektoren, der zweite Pfeil beginnt dort, wo der erste endet:

$${\overrightarrow{r}}_1+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2$$

Wir ziehen auf beiden Seiten ${\overrightarrow{r}}_1$ ab:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$$

Die Verschiebung ist die Differenz von End- und Anfangsposition. Würden wir den Ursprung O woandershin legen, änderten sich beide blauen Pfeile, aber der grüne bliebe gleich. Die Verschiebung hängt also nicht davon ab, wohin wir den Ursprung legen, sondern nur davon, wo der Körper gestartet und wo er angekommen ist. Den Betrag der Verschiebung, also die Länge des grünen Pfeils, schreiben wir $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$.

Zwischen Weg und Verschiebung gibt es zwei Unterschiede. Der Weg ist ein Skalar, die Verschiebung ein Vektor, der auch eine Richtung hat. Und der Weg zählt die ganze Strecke, die Verschiebung nur Anfang und Ende. Ob Peter einen Umweg gegangen ist oder auf dem Weg dreimal umgekehrt ist, weil er sein Handy vergessen hatte, die Verschiebung bleibt dieselbe. Die kürzeste Verbindung zweier Punkte ist eine Strecke, und deshalb überschreitet der Betrag der Verschiebung nie den Weg, $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\le s$. Gleich groß sind sie nur, wenn sich der Körper auf einer Geraden bewegt und kein einziges Mal umkehrt.

Eine Runde um den Sportplatz

Um den Schulsportplatz führt eine kreisförmige Laufbahn von 400 m Länge. Julia startet und läuft eine ganze Runde. Welchen Weg hat sie zurückgelegt, und wie groß ist ihre Verschiebung?

Der Weg ist klar, die ganze Bahn ist 400 m lang, also s = 400 m. Aber Julia ist genau dort angekommen, wo sie losgelaufen ist. Anfang und Ende fallen zusammen, und ein Pfeil von einem Punkt zu demselben Punkt hat keine Länge. Das ist der Nullvektor:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$$

Julia ist vierhundert Meter gelaufen, und trotzdem ist ihre Verschiebung null. Wäre sie die ganze Zeit am Start stehen geblieben, käme dieselbe Verschiebung heraus. Verwechsle also Weg und Verschiebung nie.

Jetzt läuft Julia nur eine halbe Runde. Der Weg ist die Hälfte von 400 m, also s = 200 m. Julia ist auf der anderen Seite des Kreises angekommen, genau gegenüber dem Start. Der grüne Verschiebungspfeil führt durch den Mittelpunkt des Kreises, seine Länge ist also der Durchmesser, das heißt zweimal der Radius r. Den Radius bestimmen wir aus dem Umfang. Der Umfang des Kreises ist 2π · r, und wir wissen, dass er 400 m misst:

$$\begin{array}{rcl}2\pi \cdot r& =& 400\mathrm{m}/:2\pi \\ r& =& \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\end{array}$$

Der Betrag der Verschiebung ist das Doppelte des Radius. Die Zwei im Zähler kürzt sich mit der Zwei im Nenner:

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =2\cdot r=2\cdot \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\\ & =\frac{400\mathrm{m}}{\pi }\end{array}$$

Für π setzen wir näherungsweise 3,14 ein:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \frac{400\mathrm{m}}{3,14}\approx 127\mathrm{m}$$

Nach einer halben Runde ist Julia etwa 127 m vom Start entfernt, obwohl sie 200 m gelaufen ist. Der Radius der Laufbahn ist übrigens die Hälfte davon, etwa 63,7 m.

Und eine Viertelrunde? Der Weg ist ein Viertel von 400 m, also s = 100 m. Die Verschiebung führt diesmal nicht durch die Mitte, sondern schräg.

Wir verbinden den Start und Julias neuen Ort mit dem Mittelpunkt des Kreises. Beide blauen Radien stehen senkrecht aufeinander, weil Julia ein Viertel des Kreises gelaufen ist, und bilden mit der Verschiebung ein rechtwinkliges Dreieck. Die Radien sind seine Katheten und die Verschiebung die Hypotenuse. Wir verwenden den Satz des Pythagoras wie bei Peters Wanderung:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2=r^2+r^2=2\cdot r^2.$$

Wir ziehen die Wurzel. Die Wurzel aus r² ist r, also

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=\sqrt{2}\cdot r.$$

Wir setzen den Radius 63,7 m und $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$ ein:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \mathrm{1,414}\cdot 63,7\mathrm{m}\approx 90\mathrm{m}$$

Alle drei Fälle zusammen:

Während der Weg ständig wächst, wächst der Betrag der Verschiebung zuerst und sinkt dann wieder bis auf null. Am weitesten vom Start entfernt ist Julia in der Mitte der Runde, und am Ende ist sie wieder am Start.

Arten von Bewegungen

Bewegungen teilt man nach zwei Gesichtspunkten ein. Der erste ist die Form der Bahn. Wenn die Bahn eine Gerade ist, sprechen wir von einer geradlinigen Bewegung. So bewegt sich ein Aufzug oder ein Apfel, der vom Baum fällt. Wenn die Bahn gekrümmt ist, handelt es sich um eine krummlinige Bewegung. Unter den krummlinigen Bewegungen ist die Kreisbewegung die wichtigste, zum Beispiel auf einem Karussell oder an der Spitze eines Uhrzeigers.

Der zweite Gesichtspunkt ist, wie schnell sich der Körper bewegt. Wenn er in gleich langen Zeiten immer denselben Weg zurücklegt (in jeder Sekunde gleich viel, aber auch in jeder Zehntel- oder Hundertstelsekunde), ist die Bewegung gleichförmig. So fährt eine Rolltreppe in der U-Bahn oder ein in Schwung gebrachtes Karussell. Wenn sich die Wege, die in gleich langen Zeiten zurückgelegt werden, unterscheiden, der Körper also schneller oder langsamer wird, ist die Bewegung ungleichförmig. Ein Apfel wird beim Fallen schneller, ein Aufzug fährt an und bremst vor dem Stockwerk ab, und ein Auto im Stau kriecht mal dahin und steht mal.

Beide Gesichtspunkte können wir beliebig kombinieren:

Beachte, dass auch diese Einteilung vom Bezugssystem abhängt. Das Ventil bewegt sich aus der Sicht des Radfahrers, der mit gleichbleibender Geschwindigkeit fährt, gleichförmig auf einem Kreis. Vom Gehweg aus ist seine Bewegung krummlinig und ungleichförmig: An der Straße bleibt es fast stehen, während es oben fast doppelt so schnell vorwärtsstürmt wie die Mitte des Rades. Oben addiert sich nämlich zur Vorwärtsbewegung des Rades die Bewegung des Ventils um die Mitte, die dort ebenfalls nach vorn zeigt, unten dagegen zeigt sie nach hinten und hebt die Bewegung des Rades fast auf. Das Ventil ist immer dasselbe, wir betrachten es nur von einem anderen Ort aus.

Gleichförmige und ungleichförmige Bewegung haben wir bisher nur daran erkannt, welche Wege ein Körper in gleich langen Zeiten zurücklegt. Uns fehlt eine Zahl, die sagt, wie schnell die Rolltreppe fährt und um wie viel schneller das Ventil oben ist als unten. Diese Zahl ist die Geschwindigkeit, und ihr widmet sich der nächste Artikel, Geschwindigkeit.