Ruch i spoczynek

Wyobraź sobie, że siedzisz w pociągu z Warszawy do Krakowa i czytasz. Poruszasz się? Sąsiad naprzeciwko powiedziałby, że nie. Przez całą podróż siedzisz w tym samym miejscu, metr od niego, i ani razu się nie ruszyłeś. Ale pani, która stoi na peronie we Włoszczowie, twierdziłaby, że właśnie przelatujesz obok niej z prędkością 160 km/h. I oboje mają rację.

U góry patrzymy na pociąg z peronu, na dole z wagonu. Obie czerwone strzałki pokazują ten sam ruch, tylko za każdym razem widziany z innego miejsca.

To złudzenie zna każdy, kto kiedyś siedział w stojącym pociągu na stacji: pociąg na sąsiednim torze powoli rusza, a tobie przez chwilę wydaje się, że to ty ruszasz. Dopiero gdy spojrzysz na budynek dworca, przekonujesz się, że stoisz. Oko po prostu potrzebuje czegoś, do czego może odnieść ruch.

Układ odniesienia

Czy ciało się porusza, czy spoczywa, nie da się stwierdzić w oderwaniu od innych ciał. Zawsze musimy dodać, względem czego. Ciało, względem którego oceniamy ruch, nazywamy ciałem odniesienia. Dla sąsiada w pociągu jest nim wagon, dla pani na peronie Ziemia.

Ciało jest w spoczynku, gdy nie zmienia swojego położenia względem ciała odniesienia. Względem wagonu jesteś w spoczynku, względem Ziemi się poruszasz. Pani na peronie odwrotnie: względem Ziemi stoi, ale względem ciebie odjeżdża do tyłu z prędkością 160 km/h. Ruch i spoczynek są względne, czyli zależą od tego, skąd patrzymy.

Żeby móc opisać położenie liczbami, wiążemy z ciałem odniesienia układ współrzędnych. Wybieramy punkt, który nazywamy początkiem układu, i prowadzimy z niego osie x i y, tak jak przy rysowaniu wykresu na matematyce. Na stacji początek mógłby być na przykład przy dyżurnym ruchu, oś x wzdłuż torów, a oś y prostopadle do nich. Położenie ciała jest wtedy określone dwiema liczbami: jak daleko leży w kierunku jednej osi i jak daleko w kierunku drugiej. W pociągu wybierzemy początek na przykład przy drzwiach wagonu. Ciało odniesienia razem z układem współrzędnych i zegarem, który mierzy czas, nazywa się układem odniesienia.

Twoje położenie w wagonie, czarną kropkę, wyznacza więc czerwona odległość wzdłuż osi x i niebieska odległość wzdłuż osi y.

W codziennym życiu układem odniesienia jest prawie zawsze Ziemia, dlatego często w ogóle o niej nie wspominamy. Kiedy mówimy, że samochód jedzie 90 km/h albo że dom stoi, mamy na myśli: względem Ziemi. Ale nawet „nieruchomy” dom nie jest w spoczynku całkowicie. Ziemia obraca się wokół własnej osi, więc dom w Krakowie zakreśla w ciągu doby okrąg długości około 26 000 km. W ciągu godziny przebywa więc ponad 1000 km. Do tego Ziemia obiega Słońce z prędkością około 30 km/s. Zanim doczytasz to zdanie, odlecisz razem z Ziemią, domem i kanapą jakieś sto pięćdziesiąt kilometrów. Ale i Słońce nie jest w spoczynku, krąży wokół środka Galaktyki. Ciało w spoczynku „naprawdę”, czyli bez podania, względem czego, po prostu nie istnieje.

Punkt materialny

Samochód na drodze ekspresowej S8 między Warszawą a Białymstokiem ma długość około 4,5 m. Cała trasa liczy około 205 km. Gdybyś narysował całą drogę na papierze jako linię długości 20 cm, samochód miałby na tym rysunku około 4 µm, szesnaście razy mniej niż grubość włosa. Jeśli chcemy wiedzieć, kiedy samochód dotrze do Białegostoku, nie ma znaczenia, jak jest długi, gdzie ma kierownicę i czy ma otwarte okno. Możemy go sobie wyobrazić jako pojedynczy punkt, który przesuwa się po mapie.

Takie uproszczenie nazywa się punktem materialnym. To ciało, którego rozmiary możemy w danej sytuacji pominąć. Zastępujemy je punktem, któremu zostawiamy masę całego ciała. W fizyce z punktami materialnymi liczy się znacznie łatwiej niż z prawdziwymi ciałami, które mogą się obracać, wyginać albo zmieniać kształt.

O tym, czy wolno nam traktować ciało jako punkt materialny, nie decyduje jednak samo ciało, lecz pytanie, które sobie zadajemy. Przy parkowaniu ten sam samochód punktem materialnym już nie jest. Tam decydują właśnie jego rozmiary: czy zmieści się między dwoma innymi samochodami i ile centymetrów zostaje do krawężnika. Z kolei Ziemia w ruchu wokół Słońca jest punktem materialnym. Jej średnica, około 12 700 km, jest w porównaniu z odległością od Słońca, 150 000 000 km, do pominięcia. Gdy jednak interesuje nas następstwo dnia i nocy, musimy uwzględnić, że jest obracającą się kulą, i nie da się jej zastąpić punktem.

W długiej podróży po lewej wystarczy zastąpić samochód punktem, przy parkowaniu po prawej decydują jego rozmiary.

Tor ruchu

Linię, którą punkt materialny zakreśla podczas ruchu, nazywamy torem ruchu albo krótko torem. Czasem nawet go widzimy: samolot wysoko na niebie zostawia za sobą białą smugę kondensacyjną, narciarz ślad w śniegu. Tor może być prostą, okręgiem albo dowolną inną krzywą.

Tak samo jak ruch i spoczynek, także tor zależy od układu odniesienia. Przyjrzyjmy się wentylowi na przednim kole roweru. Gdy rowerzysta podczas jazdy spojrzy w dół na przednie koło, widzi, że koło kręci się w miejscu, a wentyl krąży dookoła. Jego torem jest okrąg. Koleżanka, która stoi na chodniku i patrzy, jak rowerzysta przejeżdża obok, żadnego okręgu jednak nie widzi. Koło toczy się do przodu, wentyl przesuwa się razem z nim i tak rysuje szereg łuków.

Na rysunku u góry jest koło z perspektywy rowerzysty, czyli w układzie odniesienia związanym z ramą roweru. Pomarańczowy wentyl krąży po czerwonym okręgu. Na dole jest to samo koło w układzie odniesienia związanym z ziemią. Szary przerywany okrąg pokazuje, gdzie było koło, gdy wentyl znajdował się na dole przy jezdni. Zanim koło obróci się raz, wentyl narysuje czerwony łuk. Obie połowy rysunku przedstawiają ten sam ruch tego samego wentyla, tylko z perspektywy dwóch różnych układów odniesienia. Animacja pokazuje to krok po kroku: koło u góry się kręci, a na dole jednocześnie toczy, a wentyl rysuje przy tym oba ślady naraz.

Krzywa, którą wentyl rysuje oglądany z chodnika, nazywa się cykloidą. Ostrza ma na dole, w miejscach, w których wentyl dotyka jezdni. Koło nie ślizga się po jezdni, tylko się po niej toczy, więc miejsce, które akurat dotyka ziemi, na chwilę stoi. Wentyl zatrzymuje się tam i zaraz potem unosi, najpierw niemal pionowo w górę. Ściśle biorąc, wentyl siedzi na obręczy o kilka centymetrów bliżej środka niż powierzchnia opony, więc jezdni nie dotyka, a jego krzywa jest na dole zamiast ostrzy tylko ostro zagięta. Prawie dokładną cykloidę narysowałby na przykład kamyk uwięziony w bieżniku opony.

Ile przejedzie koło w ciągu jednego obrotu? Gdy się nie ślizga, cały jego obwód odwija się po jezdni jak taśma z miarki zwijanej. Obwód okręgu o promieniu r wynosi 2π · r, gdzie π ≈ 3,14, więc środek koła przesuwa się w ciągu jednego obrotu dokładnie o 2π · r. Koło roweru ma obwód trochę ponad 2 m, więc na jednym kilometrze wykonuje prawie pięćset obrotów.

Ta sama zasada działa w pociągu. Jeśli pociąg jedzie ze stałą prędkością po prostym torze, a ty upuścisz w wagonie jabłko, spada ci prosto pod nogi, pionowo w dół. Pani na peronie widzi, jak spada i jednocześnie odjeżdża razem z pociągiem do przodu, więc dla niej leci po ukośnym łuku.

Po lewej jest spadek jabłka tak, jak widzisz go ty w wagonie, po prawej tak, jak widzi go pani na peronie.

Droga

Długość toru, który ciało przebywa, nazywa się drogą i oznacza się ją s. Droga jest skalarem, czyli liczbą z jednostką. Mierzy ją licznik kilometrów w samochodzie: dodaje każdy metr, który samochód przejedzie, czy jedzie prosto, skręca, czy cofa. Dlatego droga z upływem czasu nigdy nie maleje. Po powrocie do domu nikt nie odejmie ci przebytych kilometrów.

Przemieszczenie

Turysta Piotr wyszedł z domku letniskowego, przeszedł 3 km na wschód, a potem 4 km na północ. Przeszedł razem 7 km, ale od domku był oddalony tylko o 5 km. Strzałka z miejsca, w którym zaczął, do miejsca, w którym skończył, to jego przemieszczenie. Teraz możemy już nazwać obie wielkości dokładnie: droga wynosiła 7 km, wartość przemieszczenia 5 km.

Przemieszczenie zgrabnie zapisuje się za pomocą wektorów. Położenie ciała w układzie odniesienia opisujemy strzałką, która prowadzi od początku układu do miejsca, w którym ciało właśnie jest. Tę strzałkę nazywamy wektorem położenia i oznaczamy $\overrightarrow{r}$.

Czarna linia na rysunku to tor, a na pomarańczowo zaznaczone są dwa miejsca, przez które ciało kolejno przeszło. Niebieskie strzałki to wektory położenia: ${\overrightarrow{r}}_1$ pokazuje, gdzie ciało było na początku, a ${\overrightarrow{r}}_2$, gdzie było na końcu. Na czerwono wyróżniony jest odcinek toru między nimi, czyli droga, którą ciało przebyło. Zielona strzałka, która prowadzi od pierwszego miejsca do drugiego, to przemieszczenie.

Przemieszczenie mówi, o ile zmieniło się położenie. Zmianę wielkości fizycznej oznaczamy wielką grecką literą Δ (delta) przed jej symbolem, dlatego przemieszczenie zapisujemy

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$$

Czyta się to „delta er” i całość jest jednym symbolem, a nie iloczynem. Dlaczego zmiana? Spójrz na rysunek. Niebieska strzałka ${\overrightarrow{r}}_1$ i za nią zielona strzałka dają razem niebieską strzałkę ${\overrightarrow{r}}_2$. Tak to działa przy wektorach, druga strzałka zaczyna się tam, gdzie kończy się pierwsza:

$${\overrightarrow{r}}_1+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2$$

Odejmujemy ${\overrightarrow{r}}_1$ od obu stron:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$$

Przemieszczenie to różnica położenia końcowego i początkowego. Gdybyśmy początek układu O umieścili gdzie indziej, zmieniłyby się obie niebieskie strzałki, ale zielona zostałaby taka sama. Przemieszczenie nie zależy więc od tego, gdzie wybierzemy początek układu, tylko od tego, gdzie ciało zaczęło i gdzie skończyło. Wartość przemieszczenia, czyli długość zielonej strzałki, zapisujemy $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$.

Między drogą a przemieszczeniem są dwie różnice. Droga jest skalarem, przemieszczenie wektorem, który ma też kierunek i zwrot. A droga liczy całą trasę, przemieszczenie zaś tylko początek i koniec. Czy Piotr szedł okrężną drogą, czy po drodze trzy razy wracał po zapomnianą komórkę, przemieszczenie pozostanie takie samo. Najkrótszym połączeniem dwóch punktów jest odcinek, dlatego wartość przemieszczenia nigdy nie przekroczy drogi, $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\le s$. Równe są tylko wtedy, gdy ciało porusza się po prostej i ani razu nie zawraca.

Okrążenie boiska

Szkolne boisko otacza bieżnia w kształcie okręgu o długości 400 m. Ania rusza ze startu i przebiega całe okrążenie. Jaką przebyła drogę i jakie jest jej przemieszczenie?

Droga jest jasna, cały tor ma długość 400 m, więc s = 400 m. Ania dobiegła jednak dokładnie tam, skąd wybiegła. Początek i koniec się pokrywają, a strzałka z punktu do tego samego punktu nie ma żadnej długości. To wektor zerowy:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$$

Ania przebiegła czterysta metrów, a mimo to jej przemieszczenie jest zerowe. Gdyby przez cały czas nie ruszyła się ze startu, przemieszczenie wyszłoby takie samo. Drogi z przemieszczeniem więc nigdy nie myl.

Teraz Ania przebiega tylko pół okrążenia. Droga to połowa z 400 m, czyli s = 200 m. Ania skończyła po drugiej stronie okręgu, dokładnie naprzeciw startu. Zielona strzałka przemieszczenia przechodzi przez środek okręgu, więc jej długość to średnica, czyli dwa promienie r. Promień wyznaczymy z obwodu. Obwód okręgu wynosi 2π · r i wiemy, że ma 400 m:

$$\begin{array}{rcl}2\pi \cdot r& =& 400\mathrm{m}/:2\pi \\ r& =& \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\end{array}$$

Wartość przemieszczenia to podwojony promień. Dwójka w liczniku skraca się z dwójką w mianowniku:

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =2\cdot r=2\cdot \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\\ & =\frac{400\mathrm{m}}{\pi }\end{array}$$

Za π podstawiamy w przybliżeniu 3,14:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \frac{400\mathrm{m}}{3,14}\approx 127\mathrm{m}$$

Po pół okrążenia Ania jest oddalona od startu o około 127 m, choć przebiegła 200 m. Promień bieżni to przy okazji połowa tego, około 63,7 m.

A ćwierć okrążenia? Droga to ćwierć z 400 m, czyli s = 100 m. Przemieszczenie tym razem nie przechodzi przez środek, tylko biegnie ukośnie.

Łączymy start i nowe miejsce Ani ze środkiem okręgu. Oba niebieskie promienie są do siebie prostopadłe, bo Ania przebiegła ćwierć okręgu, i razem z przemieszczeniem tworzą trójkąt prostokątny. Promienie są jego przyprostokątnymi, a przemieszczenie przeciwprostokątną. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa jak przy spacerze Piotra:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2=r^2+r^2=2\cdot r^2.$$

Wyciągamy pierwiastek. Pierwiastek z r² to r, więc

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=\sqrt{2}\cdot r.$$

Podstawiamy promień 63,7 m i $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \mathrm{1,414}\cdot 63,7\mathrm{m}\approx 90\mathrm{m}$$

Wszystkie trzy przypadki razem:

Podczas gdy droga cały czas rośnie, wartość przemieszczenia najpierw rośnie, a potem znów maleje aż do zera. Najdalej od startu Ania jest w połowie okrążenia, a na końcu znów jest na starcie.

Rodzaje ruchów

Ruchy dzielimy według dwóch kryteriów. Pierwszym z nich jest kształt toru. Gdy tor jest prostą, mówimy o ruchu prostoliniowym. Tak porusza się winda albo jabłko, które spada z drzewa. Gdy tor jest zakrzywiony, chodzi o ruch krzywoliniowy. Wśród ruchów krzywoliniowych najważniejszy jest ruch po okręgu, na przykład na karuzeli albo na końcu wskazówki zegara.

Drugim kryterium jest to, jak szybko ciało się porusza. Gdy w jednakowych odstępach czasu przebywa zawsze taką samą drogę (w każdej sekundzie tyle samo, ale też w każdej dziesiątej czy setnej części sekundy), ruch jest jednostajny. Tak jadą schody ruchome w metrze albo rozkręcona karuzela. Gdy drogi przebyte w jednakowych odstępach czasu się różnią, czyli ciało przyspiesza albo zwalnia, ruch jest niejednostajny (zmienny). Jabłko podczas spadania przyspiesza, winda rusza i przed piętrem hamuje, a samochód w korku chwilę się wlecze, a chwilę stoi.

Oba kryteria możemy dowolnie ze sobą łączyć:

Uwaga, także ten podział zależy od układu odniesienia. Wentyl z perspektywy rowerzysty, który jedzie ze stałą prędkością, porusza się jednostajnie po okręgu. Z chodnika jego ruch jest krzywoliniowy i niejednostajny: przy jezdni prawie się zatrzymuje, a u góry pędzi prawie dwa razy szybciej niż środek koła. U góry do ruchu koła do przodu dodaje się bowiem ruch wentyla wokół środka, który jest tam skierowany również do przodu, a na dole jest skierowany do tyłu i ruch koła prawie znosi. Wentyl jest cały czas ten sam, tylko patrzymy na niego z innego miejsca.

Ruch jednostajny i niejednostajny rozpoznawaliśmy na razie tylko po tym, jakie drogi ciało przebywa w jednakowych odstępach czasu. Brakuje nam liczby, która powiedziałaby, jak szybko jadą schody ruchome i o ile szybciej pędzi wentyl u góry niż na dole. Tą liczbą jest prędkość i jej poświęcony jest kolejny artykuł, Prędkość.