Rörelse och vila

Tänk dig att du sitter på tåget från Stockholm till Örebro och läser. Rör du dig? Mannen mittemot skulle säga nej. Du har suttit på samma plats hela resan, en meter från honom, och inte flyttat dig en enda gång. Men kvinnan som står på perrongen i Eskilstuna skulle hävda att du just far förbi henne med hastigheten 160 km/h. Och båda har rätt.

Överst ser vi tåget från perrongen, underst från vagnen. De båda röda pilarna visar samma rörelse, bara sedd från olika håll.

Den här synvillan känner alla som någon gång suttit på ett stillastående tåg på stationen: tåget på spåret bredvid börjar långsamt rulla, och för ett ögonblick känns det som om det är du som sätter dig i rörelse. Först när du tittar på stationshuset märker du att du står stilla. Ögat behöver helt enkelt något att relatera rörelsen till.

Referensram

Om en kropp rör sig eller är i vila går inte att avgöra isolerat. Vi måste alltid tillägga i förhållande till vad. Den kropp som vi bedömer rörelsen i förhållande till kallar vi referenskropp. För mannen på tåget är det vagnen, för kvinnan på perrongen är det jorden.

En kropp är i vila när den inte ändrar sitt läge i förhållande till referenskroppen. I förhållande till vagnen är du i vila, i förhållande till jorden rör du dig. Kvinnan på perrongen står däremot stilla i förhållande till jorden, men i förhållande till dig glider hon bakåt med hastigheten 160 km/h. Både rörelse och vila är relativa, alltså beroende av varifrån vi tittar.

För att kunna beskriva ett läge med tal fäster vi ett koordinatsystem vid referenskroppen. Vi väljer en punkt, som vi kallar origo, och drar från den axlarna x och y, som när du ritar en graf i matematiken. På stationen skulle origo till exempel kunna ligga vid tågklareraren, x-axeln längs spåren och y-axeln vinkelrätt mot dem. En kropps läge ges då av två tal: hur långt den ligger i en axels riktning och hur långt i den andras riktning. På tåget väljer vi origo till exempel vid vagnens dörr. Referenskroppen med koordinatsystemet och en klocka som mäter tiden kallas tillsammans en referensram.

Ditt läge i vagnen, den svarta pricken, bestäms alltså av det röda avståndet längs x-axeln och det blå avståndet längs y-axeln.

I vardagen utgör nästan alltid jorden referensramen, och därför nämner vi den ofta inte ens. När vi säger att bilen kör 90 km/h eller att huset står stilla menar vi i förhållande till jorden. Men inte ens ett ”orörligt” hus är helt i vila. Jorden roterar kring sin axel, så ett hus i Tjeckien beskriver på ett dygn en cirkel som är ungefär 26 000 km lång. På en timme rör det sig alltså över 1000 km. Dessutom kretsar jorden runt solen med en hastighet på ungefär 30 km/s. Innan du har läst klart den här meningen har du tillsammans med jorden, huset och soffan farit ungefär hundrafemtio kilometer. Och inte heller solen står stilla, den kretsar kring Vintergatans mitt. En kropp som är i vila ”på riktigt”, alltså utan att ange i förhållande till vad, finns helt enkelt inte.

Punktformig kropp

En bil på motorvägen E20 mellan Stockholm och Örebro är ungefär 4,5 m lång. Hela sträckan är ungefär 205 km. Om du ritade hela motorvägen på ett papper som en linje på 20 cm skulle bilen på ritningen vara ungefär 4 µm, sexton gånger mindre än tjockleken på ett hårstrå. Om vi vill veta när bilen kommer fram till Örebro spelar det ingen roll hur lång den är, var ratten sitter och om fönstret är öppet. Vi kan tänka oss bilen som en enda punkt som förflyttar sig över kartan.

En sådan förenkling kallas punktformig kropp. Det är en kropp vars storlek vi i den aktuella situationen kan bortse från. Vi ersätter den med en punkt som behåller hela kroppens massa. I fysiken är det mycket enklare att räkna med punktformiga kroppar än med verkliga kroppar, som kan rotera, böjas eller ändra form.

Om vi får betrakta en kropp som punktformig avgör dock inte kroppen själv utan den fråga vi ställer. Vid parkering är samma bil inte en punktformig kropp. Där är det just dess mått som avgör: om den ryms mellan två andra bilar och hur många centimeter som återstår till trottoarkanten. Jorden är däremot en punktformig kropp när den kretsar runt solen. Dess diameter, ungefär 12 700 km, är försumbar jämfört med avståndet till solen, 150 000 000 km. Men när vi är intresserade av växlingen mellan dag och natt måste vi räkna med att jorden är ett roterande klot, och då går det inte att ersätta den med en punkt.

På den långa resan till vänster räcker det att ersätta bilen med en punkt, vid parkeringen till höger avgör dess mått.

Bana

Den linje som en punktformig kropp beskriver när den rör sig kallar vi bana. Ibland kan vi till och med se den: ett flygplan högt på himlen lämnar efter sig ett vitt kondensstreck, en skidåkare ett spår i snön. En bana kan vara en rät linje, en cirkel eller vilken annan kurva som helst.

Precis som rörelse och vila beror också banan på referensramen. Titta på ventilen på cykelns framhjul. När cyklisten under färden tittar ner på framhjulet ser han att hjulet snurrar på stället och ventilen går runt, runt. Dess bana är en cirkel. Men en kompis som står på trottoaren och tittar när cyklisten åker förbi ser ingen cirkel. Hjulet rullar framåt, ventilen förflyttar sig med det och ritar en rad bågar.

Överst i figuren ser vi hjulet från cyklistens håll, alltså i en referensram som är fäst vid cykelns ram. Den orangea ventilen går runt längs den röda cirkeln. Underst är samma hjul i en referensram som är fäst vid marken. Den grå streckade cirkeln visar var hjulet var när ventilen stod längst ner vid vägen. Innan hjulet har snurrat ett varv ritar ventilen den röda bågen. Båda halvorna av figuren visar samma rörelse hos samma ventil, bara sedd i två olika referensramar. Animationen visar det steg för steg: hjulet snurrar överst och rullar samtidigt underst, och ventilen ritar båda spåren på en gång.

Den kurva som ventilen ritar sedd från trottoaren heter cykloid. Dess spetsar ligger längst ner, där ventilen nuddar vägen. Hjulet glider inte på vägen utan rullar på den, så den punkt som just nu rör marken står stilla ett ögonblick. Ventilen stannar där och lyfts strax därefter, först nästan lodrätt uppåt. Strängt taget sitter ventilen på fälgen några centimeter närmare mitten än däckets yta, så den nuddar inte vägen, och dess kurva har längst ner bara en skarp böj i stället för spetsar. En nästan exakt cykloid skulle till exempel ritas av en liten sten som har fastnat i däckmönstret.

Hur långt kommer hjulet under ett varv? Om det inte glider rullas hela dess omkrets ut på vägen som ett måttband. Omkretsen av en cirkel med radien r är 2π · r, där π ≈ 3,14, så hjulets mitt förflyttar sig under ett varv precis 2π · r. En cykel har en hjulomkrets på något över 2 m, så på en kilometer hinner hjulet snurra nästan femhundra varv.

Samma princip gäller på tåget. Om tåget kör med konstant hastighet på ett rakt spår och du släpper ett äpple i vagnen faller det rakt ner vid dina fötter, lodrätt nedåt. Kvinnan på perrongen ser det falla och samtidigt följa med tåget framåt, så för henne flyger det i en sned båge.

Till vänster är äpplets fall så som du ser det i vagnen, till höger så som kvinnan på perrongen ser det.

Sträcka

Längden av den bana som kroppen tillryggalägger kallas sträcka och betecknas s. Sträckan är en skalär, alltså ett tal med enhet. Den mäts av bilens vägmätare: den lägger till varje meter som bilen kör, vare sig den kör rakt, svänger eller backar. Sträckan minskar därför aldrig med tiden. När du kommer hem igen är det ingen som drar av de kilometrar du har gått.

Förflyttning

Vandraren Oscar gick ut från stugan, gick 3 km österut och sedan 4 km norrut. Han gick sammanlagt 7 km, men var bara 5 km från stugan. Pilen från platsen där han började till platsen där han slutade är hans förflyttning. Nu kan vi namnge båda storheterna exakt: sträckan var 7 km, förflyttningens storlek 5 km.

Förflyttningen skriver vi smidigt med hjälp av vektorer. En kropps läge i en referensram beskriver vi med en pil som går från origo till den plats där kroppen just är. Den pilen kallas ortsvektor och betecknas $\overrightarrow{r}$.

Den svarta linjen i figuren är banan, och med orange är två platser markerade som kroppen passerade efter varandra. De blå pilarna är ortsvektorer: ${\overrightarrow{r}}_1$ visar var kroppen var i början och ${\overrightarrow{r}}_2$ var den var i slutet. Med rött är den del av banan mellan dem markerad, alltså den sträcka som kroppen tillryggalade. Den gröna pilen, som går från den första platsen till den andra, är förflyttningen.

Förflyttningen anger hur mycket läget har ändrats. En ändring av en fysikalisk storhet betecknar vi med den stora grekiska bokstaven Δ (delta) framför storhetens beteckning, och därför skrivs förflyttningen

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$$

Det läses ”delta r”, och hela uttrycket är en enda beteckning, inte en produkt. Varför en ändring? Titta på figuren. Den blå pilen ${\overrightarrow{r}}_1$ och efter den den gröna pilen ger tillsammans den blå pilen ${\overrightarrow{r}}_2$. Så fungerar det med vektorer, den andra pilen börjar där den första slutar:

$${\overrightarrow{r}}_1+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2$$

Vi subtraherar ${\overrightarrow{r}}_1$ från båda led:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$$

Förflyttningen är skillnaden mellan slutläget och startläget. Om vi placerade origo O någon annanstans skulle båda blå pilar ändras, men den gröna skulle förbli densamma. Förflyttningen beror alltså inte på var vi väljer origo, bara på var kroppen började och var den slutade. Förflyttningens storlek, alltså den gröna pilens längd, skriver vi $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$.

Mellan sträcka och förflyttning finns två skillnader. Sträckan är en skalär, förflyttningen en vektor som också har en riktning. Och sträckan räknar hela vägen, medan förflyttningen bara räknar början och slutet. Oavsett om Oscar tog en omväg eller på vägen vände tre gånger för att hämta sin bortglömda mobil förblir förflyttningen densamma. Den kortaste vägen mellan två punkter är den räta linjen, och därför överstiger förflyttningens storlek aldrig sträckan, $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\le s$. De är lika stora bara när kroppen rör sig längs en rät linje och aldrig vänder tillbaka.

Ett varv runt idrottsplatsen

Runt skolans idrottsplats går en löparbana i form av en cirkel, 400 m lång. Emma springer iväg från starten och springer ett helt varv. Vilken sträcka har hon tillryggalagt och hur stor är hennes förflyttning?

Sträckan är självklar, hela banan är 400 m lång, så s = 400 m. Men Emma kom tillbaka precis dit hon startade. Början och slutet sammanfaller, och en pil från en punkt till samma punkt har ingen längd. Det är nollvektorn:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$$

Emma sprang fyrahundra meter och ändå är hennes förflyttning noll. Om hon hade stått kvar vid starten hela tiden hade förflyttningen blivit densamma. Blanda därför aldrig ihop sträcka och förflyttning.

Nu springer Emma bara ett halvt varv. Sträckan är hälften av 400 m, alltså s = 200 m. Emma hamnade på andra sidan cirkeln, rakt mitt emot starten. Den gröna förflyttningspilen går genom cirkelns mitt, så dess längd är diametern, alltså två gånger radien r. Radien får vi fram ur omkretsen. Cirkelns omkrets är 2π · r och vi vet att den är 400 m:

$$\begin{array}{rcl}2\pi \cdot r& =& 400\mathrm{m}/:2\pi \\ r& =& \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\end{array}$$

Förflyttningens storlek är dubbelt så stor som radien. Tvåan i täljaren förkortas mot tvåan i nämnaren:

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =2\cdot r=2\cdot \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\\ & =\frac{400\mathrm{m}}{\pi }\end{array}$$

För π sätter vi in ungefär 3,14:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \frac{400\mathrm{m}}{3,14}\approx 127\mathrm{m}$$

Efter ett halvt varv är Emma ungefär 127 m från starten, fastän hon har sprungit 200 m. Banans radie är för övrigt hälften av det, ungefär 63,7 m.

Och ett kvarts varv? Sträckan är en fjärdedel av 400 m, alltså s = 100 m. Förflyttningen går den här gången inte genom mitten utan snett.

Vi förbinder både starten och Emmas nya plats med cirkelns mitt. De båda blå radierna är vinkelräta mot varandra, eftersom Emma har sprungit en fjärdedel av cirkeln, och bildar tillsammans med förflyttningen en rätvinklig triangel. Radierna är dess kateter och förflyttningen hypotenusan. Vi använder Pythagoras sats som i Oscars promenad:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2=r^2+r^2=2\cdot r^2.$$

Vi tar kvadratroten. Kvadratroten ur r² är r, så

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=\sqrt{2}\cdot r.$$

Vi sätter in radien 63,7 m och $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \mathrm{1,414}\cdot 63,7\mathrm{m}\approx 90\mathrm{m}$$

Alla tre fallen tillsammans:

Medan sträckan hela tiden växer ökar förflyttningens storlek först och minskar sedan igen ner till noll. Längst från starten är Emma halvvägs runt, och i slutet är hon åter vid starten.

Olika slags rörelser

Rörelser delas in efter två synpunkter. Den första är banans form. När banan är en rät linje talar vi om rätlinjig rörelse. Så rör sig en hiss eller ett äpple som faller från ett träd. När banan är krökt är det en krökt rörelse. Bland de krökta rörelserna är rörelse längs en cirkel den viktigaste, till exempel på en karusell eller vid spetsen på en timvisare.

Den andra synpunkten är hur fort kroppen rör sig. När den under lika långa tider alltid tillryggalägger samma sträcka (lika mycket varje sekund, men också varje tiondels eller hundradels sekund) är rörelsen likformig. Så går en rulltrappa i tunnelbanan eller en karusell som har fått full fart. När de sträckor som tillryggaläggs under lika långa tider skiljer sig åt, kroppen alltså accelererar eller bromsar, är rörelsen olikformig. Äpplet accelererar när det faller, hissen sätter igång och bromsar före våningen, och bilen i en bilkö kryper ibland fram och står ibland still.

De båda synpunkterna kan vi kombinera fritt:

Observera att också den här indelningen beror på referensramen. Sett från cyklisten, som kör med konstant hastighet, rör sig ventilen likformigt längs en cirkel. Från trottoaren är dess rörelse krökt och olikformig: vid vägen stannar den nästan, medan den högst upp far fram nästan dubbelt så fort som hjulets mitt. Högst upp läggs nämligen ventilens rörelse kring mitten, som där också pekar framåt, till hjulets rörelse framåt, medan den längst ner pekar bakåt och nästan tar ut hjulets rörelse. Ventilen är hela tiden densamma, vi tittar bara på den från en annan plats.

Likformig och olikformig rörelse har vi hittills känt igen bara på vilka sträckor kroppen tillryggalägger under lika långa tider. Vi saknar ett tal som skulle säga hur fort rulltrappan går och hur mycket fortare ventilen far högst upp än längst ner. Det talet är hastigheten, och den handlar nästa artikel om, Hastighet.