Liike ja lepo

Kuvittele istuvasi junassa Prahasta Brnoon ja lukevasi. Liikutko? Vastapäätä istuva naapuri sanoisi, ettet. Istut koko matkan samassa paikassa, metrin päässä hänestä, etkä ole kertaakaan liikahtanut. Mutta Pardubicen laiturilla seisova rouva väittäisi, että viilet juuri hänen ohitseen nopeudella 160 km/h. Ja molemmat ovat oikeassa.

Ylhäällä junaa katsotaan laiturilta, alhaalla vaunusta. Molemmat punaiset nuolet esittävät samaa liikettä, vain katsottuna joka kerta eri paikasta.

Tämän harhan tuntee jokainen, joka on joskus istunut asemalla seisovassa junassa: viereisellä raiteella oleva juna lähtee hitaasti liikkeelle, ja hetken sinusta tuntuu, että liikkeelle lähdit sinä. Vasta kun katsot asemarakennusta, huomaat seisovasi paikallasi. Silmä tarvitsee jotain, mihin liikkeen voi suhteuttaa.

Vertailujärjestelmä

Sitä, liikkuuko kappale vai onko se levossa, ei voi määrittää sinänsä. Aina on lisättävä, minkä suhteen. Kappaletta, jonka suhteen liikettä tarkastellaan, sanotaan vertailukappaleeksi. Junassa istuvalle naapurille se on vaunu, laiturilla seisovalle rouvalle Maa.

Kappale on levossa, kun sen paikka vertailukappaleen suhteen ei muutu. Vaunun suhteen olet levossa, Maan suhteen liikut. Laiturilla seisova rouva taas on levossa Maan suhteen, mutta sinun suhteesi hän liukuu taaksepäin nopeudella 160 km/h. Sekä liike että lepo ovat suhteellisia, eli ne riippuvat siitä, mistä katsotaan.

Jotta paikan voi kuvata luvuilla, vertailukappaleeseen kiinnitetään koordinaatisto. Valitaan piste, jota sanotaan origoksi, ja piirretään siitä akselit x ja y, kuten matematiikassa piirtäessäsi kuvaajaa. Asemalla origo voisi olla vaikka liikenteenohjaajan luona, x-akseli raiteiden suuntaisesti ja y-akseli niitä vastaan kohtisuorassa. Kappaleen paikan määrää silloin kaksi lukua: kuinka kaukana se on toisen akselin suunnassa ja kuinka kaukana toisen. Junassa origon voi valita vaikka vaunun oven kohdalta. Vertailukappaletta yhdessä koordinaatiston ja ajan mittaavien kellojen kanssa sanotaan vertailujärjestelmäksi.

Paikkasi vaunussa, musta piste, määräävät siis punainen etäisyys x-akselin suunnassa ja sininen etäisyys y-akselin suunnassa.

Arjessa vertailujärjestelmän muodostaa lähes aina Maa, ja siksi sitä ei usein edes mainita. Kun sanotaan, että auto ajaa nopeudella 90 km/h tai että talo seisoo, tarkoitetaan Maan suhteen. Mutta ei ”liikkumaton” talokaan ole täysin levossa. Maa pyörii akselinsa ympäri, joten talo Tšekissä kiertää vuorokaudessa noin 26 000 km pitkän ympyrän. Tunnissa se siis kulkee yli 1 000 km. Lisäksi Maa kiertää Aurinkoa nopeudella noin 30 km/s. Ennen kuin ehdit lukea tämän lauseen loppuun, olet Maan mukana talosi ja sohvasi kanssa lentänyt jotakuinkin sataviisikymmentä kilometriä. Eikä Aurinkokaan ole levossa, se kiertää Linnunradan keskustaa. ”Oikeasti” levossa olevaa kappaletta, eli sellaista, jolle ei kerrota, minkä suhteen, ei yksinkertaisesti ole.

Massapiste

Auto Prahan ja Brnon välisellä moottoritiellä D1 on noin 4,5 m pitkä. Koko reitti on noin 205 km. Jos piirtäisit koko moottoritien paperille 20 cm pitkänä viivana, auto olisi kuvassa noin 4 µm pitkä, kuudestoistaosa hiuksen paksuudesta. Kun halutaan tietää, milloin auto saapuu Brnoon, ei ole väliä, kuinka pitkä se on, missä sen ohjauspyörä on ja onko ikkuna auki. Sen voi kuvitella yhdeksi pisteeksi, joka liikkuu kartalla.

Tällaista yksinkertaistusta sanotaan massapisteeksi. Se on kappale, jonka mitat voidaan kyseisessä tilanteessa jättää huomiotta. Se korvataan pisteellä, jolle jätetään koko kappaleen massa. Fysiikassa massapisteillä on paljon helpompi laskea kuin oikeilla kappaleilla, jotka voivat pyöriä, taipua tai muuttaa muotoaan.

Se, saako kappaletta pitää massapisteenä, ei kuitenkaan riipu itse kappaleesta vaan esitettävästä kysymyksestä. Pysäköitäessä sama auto ei ole massapiste. Silloin ratkaisevat juuri sen mitat: mahtuuko se kahden muun auton väliin ja kuinka monta senttimetriä reunakivelle jää. Maa taas on massapiste kiertäessään Aurinkoa. Sen halkaisija, noin 12 700 km, on mitätön verrattuna etäisyyteen Auringosta, 150 000 000 km. Mutta kun kiinnostuksen kohteena on yön ja päivän vuorottelu, on otettava huomioon, että se on pyörivä pallo, eikä sitä voi korvata pisteellä.

Pitkällä matkalla vasemmalla auton voi korvata pisteellä, pysäköitäessä oikealla ratkaisevat sen mitat.

Rata

Viivaa, jonka massapiste liikkuessaan piirtää, sanotaan radaksi. Joskus sen jopa näkee: korkealla taivaalla lentävä kone jättää jälkeensä valkoisen lauhtumisjuovan, hiihtäjä lumeen ladun. Rata voi olla suora, ympyrä tai mikä tahansa muu käyrä.

Kuten liike ja lepo, myös rata riippuu vertailujärjestelmästä. Katsotaan polkupyörän etupyörän venttiiliä. Kun pyöräilijä katsoo ajaessaan alas etupyörään, hän näkee, että pyörä pyörii paikallaan ja venttiili kiertää ympyrää. Sen rata on ympyrä. Ystävä, joka seisoo jalkakäytävällä ja katsoo pyöräilijän ajavan ohi, ei kuitenkaan näe mitään ympyrää. Pyörä vierii eteenpäin, venttiili liikkuu sen mukana, ja niin se piirtää sarjan kaaria.

Kuvassa ylhäällä on pyörä pyöräilijän näkökulmasta, eli pyörän runkoon kiinnitetyssä vertailujärjestelmässä. Oranssi venttiili kiertää punaista ympyrää. Alhaalla on sama pyörä maahan kiinnitetyssä vertailujärjestelmässä. Harmaa katkoviivaympyrä näyttää, missä pyörä oli, kun venttiili oli alhaalla tien kohdalla. Ennen kuin pyörä on pyörähtänyt kerran ympäri, venttiili piirtää punaisen kaaren. Kuvan molemmat puolet esittävät samaa venttiilin liikettä, vain kahden eri vertailujärjestelmän näkökulmasta. Animaatio näyttää sen vaihe vaiheelta: pyörä pyörii ylhäällä ja vierii samalla alhaalla, ja venttiili piirtää molemmat jäljet yhtä aikaa.

Käyrää, jonka venttiili piirtää jalkakäytävältä katsottuna, sanotaan sykloidiksi. Sen kärjet ovat alhaalla, kohdissa, joissa venttiili koskettaa tietä. Pyörä ei liu'u tiellä vaan vierii sitä pitkin, joten kohta, joka juuri koskettaa maata, on hetken paikallaan. Venttiili pysähtyy siinä ja nousee heti perään, ensin melkein pystysuoraan ylöspäin. Tarkkaan ottaen venttiili on vanteella muutaman sentin lähempänä keskipistettä kuin renkaan pinta, joten se ei kosketa tietä ja sen käyrässä on alhaalla kärkien sijasta vain jyrkkä mutka. Lähes täsmällisen sykloidin piirtäisi esimerkiksi renkaan kuvioon juuttunut pieni kivi.

Kuinka pitkän matkan pyörä kulkee yhdellä kierroksella? Kun se ei liu'u, sen koko ympärysmitta rullautuu auki tiellä kuin mitta rullamitasta. Ympyrän, jonka säde on r, kehä on 2π · r, missä π ≈ 3,14, joten pyörän keskipiste siirtyy yhdellä kierroksella täsmälleen 2π · r. Polkupyörän ympärysmitta on vähän yli 2 m, joten kilometrillä se pyörähtää lähes viisisataa kierrosta.

Sama periaate pätee junassa. Jos juna ajaa tasaisella nopeudella suoralla radalla ja pudotat vaunussa omenan, se putoaa suoraan jalkojesi juureen, pystysuoraan alas. Laiturilla seisova rouva näkee sen putoavan ja samalla etenevän junan mukana eteenpäin, joten hänelle se lentää vinoa kaarta pitkin.

Vasemmalla on omenan putoaminen sellaisena kuin sinä näet sen vaunussa, oikealla sellaisena kuin laiturilla seisova rouva sen näkee.

Matka

Kappaleen kulkeman radan pituutta sanotaan matkaksi, ja se merkitään s. Matka on skalaari, eli luku ja yksikkö. Sen mittaa auton matkamittari: se laskee jokaisen metrin, jonka auto kulkee, ajoi se suoraan, mutkitteli tai peruutti. Matka ei siksi koskaan pienene ajan kuluessa. Kotiin palattuasi kukaan ei vähennä kävelemiäsi kilometrejä.

Siirtymä

Retkeilijä Eino lähti mökiltä, käveli 3 km itään ja sitten 4 km pohjoiseen. Hän käveli yhteensä 7 km, mutta oli mökistä vain 5 km päässä. Nuoli lähtöpaikasta päätepaikkaan on hänen siirtymänsä. Nyt molemmat suureet voidaan nimetä tarkasti: matka oli 7 km, siirtymän suuruus 5 km.

Siirtymä on kätevä kirjoittaa vektoreiden avulla. Kappaleen paikka vertailujärjestelmässä kuvataan nuolella, joka kulkee origosta paikkaan, jossa kappale juuri on. Tätä nuolta sanotaan paikkavektoriksi, ja se merkitään $\overline{r}$.

Kuvan musta viiva on rata, ja oranssilla on merkitty kaksi paikkaa, joiden kautta kappale kulki peräkkäin. Siniset nuolet ovat paikkavektoreita: ${\overline{r}}_1$ näyttää, missä kappale oli alussa, ja ${\overline{r}}_2$, missä se oli lopussa. Punaisella on korostettu niiden välinen radan osa, eli matka, jonka kappale kulki. Vihreä nuoli, joka kulkee ensimmäisestä paikasta toiseen, on siirtymä.

Siirtymä kertoo, kuinka paljon paikka muuttui. Fysikaalisen suureen muutos merkitään suuren kreikkalaisen kirjaimen Δ (delta) avulla tunnuksen edessä, ja siksi siirtymä kirjoitetaan

$$\mathrm{\Delta }\overline{r}$$

Se luetaan ”delta är”, ja kokonaisuudessaan se on yksi tunnus, ei tulo. Miksi muutos? Katso kuvaa. Sininen nuoli ${\overline{r}}_1$ ja sen perässä vihreä nuoli antavat yhdessä sinisen nuolen ${\overline{r}}_2$. Näin vektorit toimivat, toinen nuoli alkaa siitä, mihin ensimmäinen päättyy:

$${\overline{r}}_1+\mathrm{\Delta }\overline{r}={\overline{r}}_2$$

Vähennetään molemmilta puolilta ${\overline{r}}_1$:

$$\mathrm{\Delta }\overline{r}={\overline{r}}_2-{\overline{r}}_1$$

Siirtymä on loppu- ja alkupaikan erotus. Jos origo O olisi jossain muualla, molemmat siniset nuolet muuttuisivat, mutta vihreä pysyisi samana. Siirtymä ei siis riipu siitä, minne origo valitaan, vaan ainoastaan siitä, missä kappale aloitti ja missä lopetti. Siirtymän suuruuden, eli vihreän nuolen pituuden, merkitään $|\mathrm{\Delta }\overline{r}|$.

Matkan ja siirtymän välillä on kaksi eroa. Matka on skalaari, siirtymä vektori, jolla on myös suunta. Ja matka laskee koko reitin, kun taas siirtymä vain alun ja lopun. Kulkiko Eino kiertotietä vai palasiko hän matkalla kolme kertaa hakemaan unohtunutta puhelinta, siirtymä pysyy samana. Kahden pisteen lyhin yhdistäjä on jana, ja siksi siirtymän suuruus ei koskaan ylitä matkaa, $|\mathrm{\Delta }\overline{r}|\le s$. Yhtä suuret ne ovat vain silloin, kun kappale liikkuu suoraa pitkin eikä käänny kertaakaan takaisin.

Kierros kentän ympäri

Koulun kenttää kiertää ympyrän muotoinen juoksurata, jonka pituus on 400 m. Emma lähtee juoksemaan lähtöviivalta ja juoksee koko kierroksen. Kuinka pitkän matkan hän kulki ja mikä on hänen siirtymänsä?

Matka on selvä, koko rata on 400 m pitkä, joten s = 400 m. Emma kuitenkin tuli täsmälleen sinne, mistä lähti. Alku ja loppu ovat samat, ja nuolella pisteestä samaan pisteeseen ei ole pituutta. Se on nollavektori:

$$\mathrm{\Delta }\overline{r}=\overline{0}$$

Emma juoksi neljäsataa metriä, ja silti hänen siirtymänsä on nolla. Jos hän olisi koko ajan pysynyt lähtöpaikassa, siirtymä olisi sama. Älä siis koskaan sekoita matkaa ja siirtymää.

Nyt Emma juoksee vain puoli kierrosta. Matka on puolet luvusta 400 m, eli s = 200 m. Emma päätyi ympyrän toiselle puolelle, täsmälleen lähtöä vastapäätä. Siirtymää esittävä vihreä nuoli kulkee ympyrän keskipisteen kautta, joten sen pituus on halkaisija, eli kaksi kertaa säde r. Säde saadaan kehästä. Ympyrän kehä on 2π · r, ja sen tiedetään olevan 400 m:

$$\begin{array}{rcl}2\pi \cdot r& =& 400\mathrm{m}/:2\pi \\ r& =& \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\end{array}$$

Siirtymän suuruus on kaksinkertainen säde. Osoittajan kakkonen supistuu nimittäjän kakkosen kanssa:

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }\overline{r}|& =2\cdot r=2\cdot \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\\ & =\frac{400\mathrm{m}}{\pi }\end{array}$$

Sijoitetaan π:n tilalle likimain 3,14:

$$|\mathrm{\Delta }\overline{r}|\approx \frac{400\mathrm{m}}{3,14}\approx 127\mathrm{m}$$

Puolen kierroksen jälkeen Emma on lähdöstä noin 127 m päässä, vaikka hän juoksi 200 m. Radan säde on muuten puolet tästä, noin 63,7 m.

Entä neljännes kierrosta? Matka on neljäsosa luvusta 400 m, eli s = 100 m. Siirtymä ei tällä kertaa kulje keskipisteen kautta vaan vinosti.

Yhdistetään sekä lähtö että Emman uuden paikan ympyrän keskipisteeseen. Molemmat siniset säteet ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, koska Emma juoksi neljänneksen ympyrästä, ja ne muodostavat siirtymän kanssa suorakulmaisen kolmion. Säteet ovat sen kateetit ja siirtymä hypotenuusa. Käytetään Pythagoraan lausetta kuten Einon kävelyn kohdalla:

$$|\mathrm{\Delta }\overline{r}{|}^2=r^2+r^2=2\cdot r^2.$$

Otetaan neliöjuuri. Luvun r² neliöjuuri on r, joten

$$|\mathrm{\Delta }\overline{r}|=\sqrt{2}\cdot r.$$

Sijoitetaan säde 63,7 m ja $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$:

$$|\mathrm{\Delta }\overline{r}|\approx \mathrm{1,414}\cdot 63,7\mathrm{m}\approx 90\mathrm{m}$$

Kaikki kolme tapausta yhdessä:

Matka kasvaa koko ajan, mutta siirtymän suuruus ensin kasvaa ja pienenee sitten taas nollaan. Kauimpana lähdöstä Emma on kierroksen puolivälissä, ja lopussa hän on taas lähdössä.

Liikkeiden lajit

Liikkeet jaetaan kahden näkökulman mukaan. Ensimmäinen on radan muoto. Kun rata on suora, puhutaan suoraviivaisesta liikkeestä. Niin liikkuu hissi tai puusta putoava omena. Kun rata on kaareva, kyseessä on käyräviivainen liike. Käyräviivaisista liikkeistä tärkein on liike ympyrää pitkin, esimerkiksi karusellissa tai kellon viisarin kärjessä.

Toinen näkökulma on, kuinka nopeasti kappale liikkuu. Kun se kulkee yhtä pitkinä aikoina aina saman matkan (joka sekunti yhtä pitkän, mutta myös joka kymmenesosa- tai sadasosasekunti), liike on tasaista. Niin kulkevat rullaportaat metrossa tai pyörimään pantu karuselli. Kun yhtä pitkinä aikoina kuljetut matkat poikkeavat toisistaan, kappale siis kiihtyy tai hidastuu, liike on epätasaista. Omena kiihtyy pudotessaan, hissi lähtee liikkeelle ja jarruttaa ennen kerrosta, ja ruuhkassa auto välillä matelee ja välillä seisoo.

Molempia näkökulmia voi vapaasti yhdistellä:

Huomaa, että tämäkin jako riippuu vertailujärjestelmästä. Tasaisella nopeudella ajavan pyöräilijän näkökulmasta venttiili liikkuu tasaisesti ympyrää pitkin. Jalkakäytävältä katsottuna sen liike on käyräviivaista ja epätasaista: tien kohdalla se melkein pysähtyy, kun taas ylhäällä se kiitää lähes kaksi kertaa nopeammin kuin pyörän keskipiste. Ylhäällä pyörän etenemisliikkeeseen nimittäin lisätään venttiilin liike keskipisteen ympäri, joka osoittaa siellä myös eteenpäin, kun taas alhaalla se osoittaa taaksepäin ja kumoaa pyörän liikkeen lähes kokonaan. Venttiili on koko ajan sama, sitä vain katsotaan eri paikasta.

Tasainen ja epätasainen liike on toistaiseksi tunnistettu vain siitä, minkä matkan kappale kulkee yhtä pitkinä aikoina. Tarvitaan luku, joka kertoo, kuinka nopeasti rullaportaat kulkevat ja kuinka paljon nopeammin venttiili kiitää ylhäällä kuin alhaalla. Se luku on nopeus, ja sitä käsittelee seuraava artikkeli, Nopeus.