Movimiento y reposo

Imagina que vas sentado en el tren de Sevilla a Málaga, leyendo. ¿Te estás moviendo? El vecino de enfrente diría que no. Durante todo el viaje estás sentado en el mismo sitio, a un metro de él, y ni una sola vez te has movido. Pero la señora que está en el andén de la estación de Antequera aseguraría que pasas junto a ella a una velocidad de 160 km/h. Y los dos tienen razón.

Arriba miramos el tren desde el andén y abajo desde el vagón. Las dos flechas rojas muestran el mismo movimiento, solo que visto cada vez desde un sitio distinto.

Este engaño lo conoce cualquiera que alguna vez haya estado sentado en un tren parado en la estación: el tren de la vía de al lado arranca despacio y por un momento te parece que arrancas tú. Solo cuando miras el edificio de la estación compruebas que estás parado. El ojo simplemente necesita algo con lo que relacionar el movimiento.

Sistema de referencia

Si un cuerpo se mueve o está en reposo no se puede determinar sin más. Siempre tenemos que añadir respecto a qué. Al cuerpo respecto al cual juzgamos el movimiento lo llamamos cuerpo de referencia. Para el vecino del tren es el vagón; para la señora del andén, la Tierra.

Un cuerpo está en reposo cuando no cambia su posición respecto al cuerpo de referencia. Respecto al vagón estás en reposo; respecto a la Tierra te mueves. La señora del andén, en cambio, está en reposo respecto a la Tierra, pero respecto a ti se aleja hacia atrás a 160 km/h. El movimiento y el reposo son relativos, es decir, dependen del lugar desde el que miramos.

Para poder describir la posición con números, asociamos al cuerpo de referencia un sistema de coordenadas. Elegimos un punto, que llamamos origen, y desde él trazamos los ejes x e y, como cuando dibujas una gráfica en matemáticas. En la estación el origen podría estar, por ejemplo, junto al jefe de estación, el eje x a lo largo de las vías y el eje y perpendicular a ellas. La posición de un cuerpo queda entonces dada por dos números: a qué distancia está en la dirección de un eje y a qué distancia en la del otro. En el tren elegimos, por ejemplo, el origen junto a la puerta del vagón. El cuerpo de referencia junto con el sistema de coordenadas y con un reloj que mide el tiempo se llama, todo junto, sistema de referencia.

Tu posición en el vagón, el punto negro, queda así determinada por la distancia roja a lo largo del eje x y la distancia azul a lo largo del eje y.

En la vida diaria el sistema de referencia lo forma casi siempre la Tierra, y por eso a menudo ni la mencionamos. Cuando decimos que un coche va a 90 km/h o que una casa está quieta, nos referimos a la Tierra. Pero ni siquiera la casa «inmóvil» está del todo en reposo. La Tierra gira sobre su eje, así que una casa de Sevilla describe en un día una circunferencia de unos 32.000 km de longitud. En una hora recorre, pues, más de 1300 km. Además, la Tierra gira alrededor del Sol a una velocidad de unos 30 km/s. Antes de que termines de leer esta frase, avanzas con la Tierra, con tu casa y con tu sofá unos ciento cincuenta kilómetros. Pero tampoco el Sol está en reposo: gira alrededor del centro de la Vía Láctea. Un cuerpo en reposo «de verdad», es decir, sin indicar respecto a qué, sencillamente no existe.

Partícula

Un coche en la autovía A-92 entre Sevilla y Málaga mide unos 4,5 m. Todo el trayecto mide aproximadamente 205 km. Si dibujaras toda la autovía en un papel como una línea de 20 cm, el coche en ese dibujo mediría unos 4 µm, dieciséis veces menos que el grosor de un cabello. Si queremos saber cuándo llegará el coche a Málaga, no importa cuánto mida, dónde tenga el volante ni si lleva la ventanilla abierta. Podemos imaginarlo como un único punto que se desplaza por el mapa.

A esta simplificación se le llama partícula (o masa puntual). Es un cuerpo cuyas dimensiones podemos despreciar en la situación dada. Lo sustituimos por un punto al que asignamos la masa de todo el cuerpo. En física es mucho más fácil calcular con partículas que con cuerpos reales, que pueden girar, doblarse o cambiar de forma.

Pero que podamos considerar un cuerpo como una partícula no lo decide el cuerpo mismo, sino la pregunta que nos hacemos. Al aparcar, ese mismo coche no es una partícula. Ahí lo que cuenta son precisamente sus dimensiones: si cabe entre otros dos coches y cuántos centímetros quedan hasta el bordillo. La Tierra, a su vez, es una partícula en su órbita alrededor del Sol. Su diámetro, de unos 12.700 km, es despreciable frente a la distancia al Sol, 150.000.000 km. Pero cuando nos interesa la sucesión del día y la noche, tenemos que contar con que es una esfera que gira, y no se puede sustituir por un punto.

En el viaje largo de la izquierda basta sustituir el coche por un punto; al aparcar, a la derecha, deciden sus dimensiones.

Trayectoria

La línea que describe una partícula al moverse se llama trayectoria. A veces incluso la vemos: un avión en lo alto del cielo deja tras de sí una estela blanca de condensación, y un esquiador, su huella en la nieve. La trayectoria puede ser una recta, una circunferencia o cualquier otra curva.

Igual que el movimiento y el reposo, también la trayectoria depende del sistema de referencia. Fijémonos en la válvula de la rueda delantera de una bicicleta. Cuando el ciclista mira hacia abajo, a la rueda delantera, ve que la rueda gira en el sitio y que la válvula da vueltas. Su trayectoria es una circunferencia. Su amiga, que está en la acera y ve pasar al ciclista, no ve ninguna circunferencia. La rueda avanza rodando, la válvula se desplaza con ella y así dibuja una serie de arcos.

En la figura vemos arriba la rueda desde el punto de vista del ciclista, es decir, en el sistema de referencia unido al cuadro de la bicicleta. La válvula naranja gira por la circunferencia roja. Abajo está la misma rueda en el sistema de referencia unido al suelo. La circunferencia gris discontinua muestra dónde estaba la rueda cuando la válvula estaba abajo, junto a la carretera. Antes de que la rueda dé una vuelta, la válvula dibuja el arco rojo. Las dos mitades de la figura recogen el mismo movimiento de la misma válvula, solo que desde dos sistemas de referencia distintos. La animación lo muestra paso a paso: la rueda de arriba gira y la de abajo, a la vez, rueda, y la válvula dibuja las dos huellas al mismo tiempo.

La curva que dibuja la válvula desde la acera se llama cicloide. Tiene las puntas abajo, en los lugares donde la válvula toca la carretera. La rueda no desliza sobre la carretera, rueda sobre ella, de modo que el punto que en ese momento toca el suelo se detiene un instante. La válvula se para allí y enseguida se levanta, al principio casi en vertical. En rigor, la válvula está en la llanta unos centímetros más cerca del centro que la superficie del neumático, así que no toca la carretera y su curva, abajo, en lugar de puntas solo tiene una curvatura muy cerrada. Una cicloide casi exacta la dibujaría, por ejemplo, una piedrecita atascada en el dibujo del neumático.

¿Cuánto avanza la rueda en una vuelta? Si no desliza, toda su circunferencia se desenrolla sobre la carretera como una cinta métrica. La longitud de una circunferencia de radio r es 2π · r, donde π ≈ 3,14, así que el centro de la rueda avanza en una vuelta exactamente 2π · r. La rueda de una bicicleta tiene una circunferencia algo superior a 2 m, de modo que en un kilómetro da casi quinientas vueltas.

El mismo principio vale en el tren. Si el tren va a velocidad constante por una vía recta y tú dejas caer en el vagón una manzana, cae justo a tus pies, en vertical hacia abajo. La señora del andén la ve caer y a la vez avanzar con el tren, de modo que para ella vuela describiendo un arco oblicuo.

A la izquierda está la caída de la manzana tal como la ves tú en el vagón, y a la derecha tal como la ve la señora del andén.

Distancia recorrida

La longitud de la trayectoria que recorre un cuerpo se llama distancia recorrida y se escribe s. La distancia recorrida es un escalar, es decir, un número con una unidad. La mide el cuentakilómetros del coche: suma cada metro que recorre el coche, tanto si va recto, como si gira o como si da marcha atrás. Por eso la distancia recorrida nunca disminuye con el tiempo. Al volver a casa, nadie te resta los kilómetros que has caminado.

Desplazamiento

El senderista Pedro salió del refugio, caminó 3 km hacia el este y luego 4 km hacia el norte. En total caminó 7 km, pero del refugio estaba a solo 5 km. La flecha desde el lugar donde empezó hasta el lugar donde acabó es su desplazamiento. Ahora ya podemos nombrar con precisión las dos magnitudes: la distancia recorrida fue de 7 km y el módulo del desplazamiento, 5 km.

El desplazamiento se escribe cómodamente con vectores. La posición de un cuerpo en el sistema de referencia la describimos con una flecha que va del origen al lugar donde está el cuerpo en ese momento. A esa flecha se le llama vector de posición y se escribe $\overrightarrow{r}$.

La línea negra de la figura es la trayectoria y en naranja están marcados dos lugares por los que el cuerpo pasó sucesivamente. Las flechas azules son los vectores de posición: ${\overrightarrow{r}}_1$ indica dónde estaba el cuerpo al principio y ${\overrightarrow{r}}_2$ dónde estaba al final. En rojo está resaltado el tramo de la trayectoria entre ellos, es decir, la distancia que recorrió el cuerpo. La flecha verde, que va del primer lugar al segundo, es el desplazamiento.

El desplazamiento dice cuánto ha cambiado la posición. El cambio de una magnitud física lo escribimos con la letra griega mayúscula Δ (delta) delante de su símbolo, y por eso el desplazamiento se escribe

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$$

Se lee «delta erre» y, todo junto, es un único símbolo, no un producto. ¿Por qué un cambio? Mira la figura. La flecha azul ${\overrightarrow{r}}_1$ y, a continuación, la flecha verde dan juntas la flecha azul ${\overrightarrow{r}}_2$. Así funciona con los vectores: la segunda flecha empieza donde acaba la primera:

$${\overrightarrow{r}}_1+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2$$

Restamos ${\overrightarrow{r}}_1$ de ambos lados:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$$

El desplazamiento es la diferencia entre la posición final y la inicial. Si pusiéramos el origen O en otro sitio, cambiarían las dos flechas azules, pero la verde seguiría igual. El desplazamiento no depende, pues, de dónde elijamos el origen, sino solo de dónde empezó el cuerpo y dónde acabó. El módulo del desplazamiento, es decir, la longitud de la flecha verde, lo escribimos $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$.

Entre la distancia recorrida y el desplazamiento hay dos diferencias. La distancia recorrida es un escalar y el desplazamiento un vector, que tiene también dirección y sentido. Y la distancia recorrida cuenta todo el camino, mientras que el desplazamiento solo el principio y el final. Tanto si Pedro dio un rodeo como si por el camino volvió tres veces a por el móvil olvidado, el desplazamiento sigue siendo el mismo. La línea más corta entre dos puntos es el segmento, y por eso el módulo del desplazamiento nunca supera la distancia recorrida, $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\le s$. Solo son iguales cuando el cuerpo se mueve por una recta y no da media vuelta ni una vez.

Una vuelta a la pista

Alrededor del campo del colegio hay una pista de atletismo con forma de circunferencia, de 400 m. Laura sale de la línea de salida y da la vuelta completa. ¿Qué distancia recorrió y cuál es su desplazamiento?

La distancia recorrida está clara: toda la trayectoria mide 400 m, así que s = 400 m. Pero Laura llegó exactamente al lugar de donde salió. El principio y el final coinciden y una flecha de un punto al mismo punto no tiene longitud. Es el vector nulo:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$$

Laura ha corrido cuatrocientos metros y, aun así, su desplazamiento es nulo. Si no se hubiera movido de la salida en todo el rato, el desplazamiento habría salido igual. Así que no confundas nunca la distancia recorrida con el desplazamiento.

Ahora Laura corre solo media vuelta. La distancia recorrida es la mitad de 400 m, es decir, s = 200 m. Laura acabó en el lado opuesto de la circunferencia, justo enfrente de la salida. La flecha verde del desplazamiento pasa por el centro de la circunferencia, así que su longitud es el diámetro, es decir, dos veces el radio r. El radio lo obtenemos de la longitud de la circunferencia. La longitud de la circunferencia es 2π · r y sabemos que mide 400 m:

$$\begin{array}{rcl}2\pi \cdot r& =& 400\mathrm{m}/:2\pi \\ r& =& \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\end{array}$$

El módulo del desplazamiento es el doble del radio. El dos del numerador se simplifica con el dos del denominador:

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =2\cdot r=2\cdot \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\\ & =\frac{400\mathrm{m}}{\pi }\end{array}$$

En lugar de π sustituimos aproximadamente 3,14:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \frac{400\mathrm{m}}{3,14}\approx 127\mathrm{m}$$

Tras media vuelta, Laura está a unos 127 m de la salida, aunque ha corrido 200 m. El radio de la pista es, por cierto, la mitad de eso, unos 63,7 m.

¿Y un cuarto de vuelta? La distancia recorrida es la cuarta parte de 400 m, es decir, s = 100 m. El desplazamiento esta vez no pasa por el centro, sino en oblicuo.

Unimos la salida y el nuevo lugar de Laura con el centro de la circunferencia. Los dos radios azules son perpendiculares entre sí, porque Laura corrió una cuarta parte de la circunferencia, y con el desplazamiento forman un triángulo rectángulo. Los radios son sus catetos y el desplazamiento la hipotenusa. Usamos el teorema de Pitágoras como en el paseo de Pedro:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2=r^2+r^2=2\cdot r^2.$$

Hallamos la raíz cuadrada. La raíz de r² es r, así que

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=\sqrt{2}\cdot r.$$

Sustituimos el radio 63,7 m y $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \mathrm{1,414}\cdot 63,7\mathrm{m}\approx 90\mathrm{m}$$

Los tres casos juntos:

Mientras la distancia recorrida no deja de crecer, el módulo del desplazamiento primero crece y después vuelve a disminuir hasta cero. Laura está más lejos de la salida a mitad de la vuelta y al final está otra vez en la salida.

Tipos de movimientos

Los movimientos se clasifican según dos criterios. El primero es la forma de la trayectoria. Cuando la trayectoria es una recta, hablamos de movimiento rectilíneo. Así se mueve un ascensor o una manzana que cae del árbol. Cuando la trayectoria es curva, se trata de un movimiento curvilíneo. Entre los movimientos curvilíneos, el más importante es el movimiento circular, por ejemplo en un tiovivo o en la punta de la manecilla de un reloj.

El segundo criterio es la rapidez con que se mueve el cuerpo. Cuando en tiempos iguales recorre siempre la misma distancia (la misma cada segundo, pero también cada décima o centésima de segundo), el movimiento es uniforme. Así va una escalera mecánica del metro o un tiovivo en marcha. Cuando las distancias recorridas en tiempos iguales difieren, es decir, el cuerpo acelera o frena, el movimiento es variado (no uniforme). La manzana, al caer, acelera; el ascensor arranca y frena antes de llegar a la planta; y el coche en un atasco avanza lentamente un rato y otro rato está parado.

Los dos criterios se pueden combinar libremente:

Ojo: también esta clasificación depende del sistema de referencia. Para un ciclista que va a velocidad constante, la válvula se mueve con movimiento uniforme por una circunferencia. Desde la acera, su movimiento es curvilíneo y variado: junto a la carretera casi se detiene, mientras que arriba va casi el doble de rápido que el centro de la rueda. Arriba, en efecto, al movimiento de la rueda hacia delante se suma el movimiento de la válvula alrededor del centro, que allí también apunta hacia delante, mientras que abajo apunta hacia atrás y casi anula el movimiento de la rueda. La válvula es siempre la misma, solo que la miramos desde otro lugar.

El movimiento uniforme y el variado los hemos reconocido hasta ahora solo por las distancias que recorre el cuerpo en tiempos iguales. Nos falta un número que diga a qué velocidad va la escalera mecánica y cuánto más rápido va la válvula arriba que abajo. Ese número es la velocidad, y de ella trata el siguiente artículo, Velocidad.