Bevægelse og hvile

Forestil dig, at du sidder i toget fra Aalborg til Aarhus og læser. Bevæger du dig? Din medpassager over for dig ville sige nej. Du har siddet på samme sted hele turen, en meter fra ham, og du har ikke rørt dig en eneste gang. Men damen, der står på perronen i Randers, ville påstå, at du lige nu flyver forbi hende med 160 km/h. Og begge har ret.

Øverst ser vi på toget fra perronen, nederst fra vognen. Begge røde pile viser den samme bevægelse, bare set hver gang fra et andet sted.

Det synsbedrag kender alle, der nogensinde har siddet i et holdende tog på en station: Toget på sporet ved siden af sætter langsomt i gang, og et øjeblik virker det, som om det er dig, der kører. Først når du kigger på stationsbygningen, opdager du, at du står stille. Øjet har simpelthen brug for noget, som det kan henføre bevægelsen til.

Henførelsessystem

Om et legeme bevæger sig, eller om det er i hvile, kan ikke afgøres i sig selv. Vi må altid tilføje, i forhold til hvad. Det legeme, som vi bedømmer bevægelsen i forhold til, kalder vi henførelseslegemet. For medpassageren i toget er det vognen, for damen på perronen Jorden.

Et legeme er i hvile, når det ikke ændrer position i forhold til henførelseslegemet. I forhold til vognen er du i hvile, i forhold til Jorden bevæger du dig. Damen på perronen står omvendt stille i forhold til Jorden, men i forhold til dig kører hun bagud med 160 km/h. Bevægelse og hvile er relative, altså afhængige af, hvorfra vi ser på dem.

For at kunne beskrive positionen med tal fæstner vi et koordinatsystem til henførelseslegemet. Vi vælger et punkt, som vi kalder origo, og tegner derfra akserne x og y, ligesom når du tegner en graf i matematik. På stationen kunne origo for eksempel være ved stationsforstanderen, x-aksen langs sporene og y-aksen vinkelret på dem. Legemets position er så givet ved to tal: hvor langt det ligger i retning af den ene akse, og hvor langt i retning af den anden. I toget vælger vi origo for eksempel ved vognens dør. Henførelseslegemet sammen med koordinatsystemet og et ur, der måler tiden, kaldes tilsammen et henførelsessystem.

Din position i vognen, den sorte prik, er således bestemt af den røde afstand langs x-aksen og den blå afstand langs y-aksen.

I hverdagen er det næsten altid Jorden, der udgør henførelsessystemet, og derfor nævner vi det ofte slet ikke. Når vi siger, at en bil kører 90 km/h, eller at et hus står stille, mener vi i forhold til Jorden. Men heller ikke et »ubevægeligt« hus er helt i hvile. Jorden roterer om sin akse, så et hus i Centraleuropa beskriver på et døgn en cirkel på cirka 26.000 km. På en time tilbagelægger det altså over 1000 km. Dertil kommer, at Jorden kredser om Solen med cirka 30 km/s. Inden du har læst denne sætning færdig, har du sammen med Jorden, huset og sofaen fløjet nogle hundrede og halvtreds kilometer. Men heller ikke Solen er i hvile, den kredser om centrum af Mælkevejen. Et legeme i hvile »i virkeligheden«, altså uden at angive i forhold til hvad, findes simpelthen ikke.

Massepunkt

En bil på motorvejen E45 mellem Aalborg og Vejle er cirka 4,5 m lang. Hele strækningen er omkring 205 km. Hvis du tegnede hele motorvejen på et stykke papir som en streg på 20 cm, ville bilen på tegningen være cirka 4 µm, seksten gange mindre end tykkelsen af et hår. Hvis vi vil vide, hvornår bilen når frem til Vejle, er det ligegyldigt, hvor lang den er, hvor rattet sidder, og om vinduet er åbent. Vi kan forestille os den som et enkelt punkt, der flytter sig hen over kortet.

Sådan en forenkling kaldes et massepunkt. Det er et legeme, hvis dimensioner vi i den givne situation kan se bort fra. Vi erstatter det med et punkt, som vi lader beholde hele legemets masse. I fysik er det langt nemmere at regne med massepunkter end med virkelige legemer, som kan dreje, bøje eller ændre form.

Om vi må betragte et legeme som et massepunkt, afgøres dog ikke af legemet selv, men af det spørgsmål, vi stiller. Ved parkering er den samme bil ikke et massepunkt. Dér afgør netop dens dimensioner: om den kan være mellem to andre biler, og hvor mange centimeter der er tilbage til kantstenen. Jorden er derimod et massepunkt, når den kredser om Solen. Dens diameter, cirka 12.700 km, er ubetydelig i forhold til afstanden til Solen, 150.000.000 km. Men når vi interesserer os for skiftet mellem dag og nat, må vi regne med, at den er en roterende kugle, og den kan ikke erstattes af et punkt.

På den lange tur til venstre er det nok at erstatte bilen med et punkt, ved parkering til højre afgør dens dimensioner.

Bane

Den linje, som et massepunkt beskriver under bevægelsen, kalder vi banen. Nogle gange kan vi endda se den: Et fly højt på himlen efterlader en hvid kondensstribe, en skiløber et spor i sneen. Banen kan være en ret linje, en cirkel eller en hvilken som helst anden kurve.

Ligesom bevægelse og hvile afhænger også banen af henførelsessystemet. Lad os se på ventilen på forhjulet af en cykel. Når cyklisten under kørslen kigger ned på forhjulet, ser han, at hjulet drejer rundt på stedet, og ventilen kredser rundt. Dens bane er en cirkel. En veninde, der står på fortovet og ser cyklisten køre forbi, ser derimod ingen cirkel. Hjulet ruller fremad, ventilen følger med, og dermed tegner den en række buer.

På figuren er hjulet øverst set fra cyklistens synspunkt, altså i det henførelsessystem, der er knyttet til cyklens stel. Den orange ventil kredser på den røde cirkel. Nederst er det samme hjul i det henførelsessystem, der er knyttet til jorden. Den grå stiplede cirkel viser, hvor hjulet var, da ventilen stod nederst ved vejen. Inden hjulet har drejet én gang rundt, tegner ventilen den røde bue. Begge halvdele af figuren viser den samme bevægelse af den samme ventil, bare set fra to forskellige henførelsessystemer. Animationen viser det trin for trin: Hjulet drejer øverst og ruller nederst på samme tid, og ventilen tegner begge spor samtidig.

Den kurve, som ventilen tegner set fra fortovet, hedder en cykloide. Den har spidser nederst, dér hvor ventilen rører vejen. Hjulet glider ikke hen ad vejen, det ruller på den, så det sted, der lige rører jorden, står et øjeblik stille. Ventilen standser dér og stiger straks efter, først næsten lodret opad. Helt præcist sidder ventilen på fælgen et par centimeter tættere på midten, end dækkets overflade ligger, så den ikke rører vejen, og dens kurve er nederst i stedet for en spids bare skarpt buet. En næsten præcis cykloide ville for eksempel blive tegnet af en lille sten, der sidder fast i mønstret på dækket.

Hvor langt kører hjulet ved én omdrejning? Når det ikke glider, rulles hele dets omkreds ud på vejen som et målebånd fra en rulle. Omkredsen af en cirkel med radius r er 2π · r, hvor π ≈ 3,14, så hjulets midte flytter sig ved én omdrejning præcis 2π · r. Et cykelhjul har en omkreds på lidt over 2 m, så på én kilometer udfører det næsten fem hundrede omdrejninger.

Det samme princip gælder i toget. Hvis toget kører med konstant fart på et lige spor, og du taber et æble i vognen, falder det lige ned ved dine fødder, lodret nedad. Damen på perronen ser det falde og samtidig følge med toget fremad, så for hende flyver det i en skrå bue.

Til venstre er æblets fald, som du ser det i vognen, til højre, som damen på perronen ser det.

Strækning

Længden af den bane, som legemet tilbagelægger, kaldes strækningen og skrives s. Strækning er en skalar, altså et tal med en enhed. Den måles af kilometertælleren i bilen: Den lægger hver meter til, som bilen kører, hvad enten den kører ligeud, drejer eller bakker. Strækningen aftager derfor aldrig med tiden. Når du kommer hjem, trækker ingen de tilbagelagte kilometer fra igen.

Forskydning

Vandreren William tog af sted fra sin hytte og gik 3 km mod øst og derefter 4 km mod nord. Han gik i alt 7 km, men han var kun 5 km fra hytten. Pilen fra det sted, hvor han startede, til det sted, hvor han sluttede, er hans forskydning. Nu kan vi give begge størrelser præcise navne: Strækningen var 7 km, forskydningens størrelse 5 km.

Forskydningen skrives smart ved hjælp af vektorer. Et legemes position i henførelsessystemet beskriver vi med en pil, der går fra origo til det sted, hvor legemet lige nu er. Den pil kaldes stedvektoren og skrives $\overrightarrow{r}$.

Den sorte kurve på figuren er banen, og med orange er markeret to steder, som legemet efter hinanden er kommet forbi. De blå pile er stedvektorer: ${\overrightarrow{r}}_1$ viser, hvor legemet var i begyndelsen, og ${\overrightarrow{r}}_2$, hvor det var til sidst. Med rødt er stykket af banen mellem dem fremhævet, altså den strækning, som legemet har tilbagelagt. Den grønne pil, der går fra det første sted til det andet, er forskydningen.

Forskydningen fortæller, hvor meget positionen har ændret sig. En ændring af en fysisk størrelse betegner vi med det store græske bogstav Δ (delta) foran dens symbol, og derfor skrives forskydningen

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$$

Det læses »delta r«, og hele udtrykket er ét symbol, ikke et produkt. Hvorfor en ændring? Se på figuren. Den blå pil ${\overrightarrow{r}}_1$ og efter den den grønne pil giver tilsammen den blå pil ${\overrightarrow{r}}_2$. Sådan virker det med vektorer, den anden pil starter, hvor den første slutter:

$${\overrightarrow{r}}_1+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2$$

Vi trækker ${\overrightarrow{r}}_1$ fra på begge sider:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$$

Forskydningen er forskellen på slutpositionen og startpositionen. Hvis vi lagde origo O et andet sted, ville begge blå pile ændre sig, men den grønne ville forblive den samme. Forskydningen afhænger altså ikke af, hvor vi vælger origo, kun af hvor legemet startede, og hvor det sluttede. Forskydningens størrelse, altså længden af den grønne pil, skriver vi $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$.

Der er to forskelle på strækning og forskydning. Strækning er en skalar, forskydning en vektor, der også har en retning. Og strækningen tæller hele vejen, mens forskydningen kun tæller begyndelsen og slutningen. Hvad enten William tog en omvej, eller han undervejs tre gange vendte om efter en glemt mobil, forbliver forskydningen den samme. Den korteste forbindelse mellem to punkter er et linjestykke, og derfor overstiger forskydningens størrelse aldrig strækningen, $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\le s$. De er kun lige store, når legemet bevæger sig langs en ret linje og aldrig vender om.

En runde rundt om sportspladsen

Rundt om skolens sportsplads går en løbebane i form af en cirkel på 400 m. Emma løber fra startstregen og løber hele runden rundt. Hvilken strækning har hun tilbagelagt, og hvad er hendes forskydning?

Strækningen er klar, hele banen er 400 m lang, så s = 400 m. Men Emma kom præcis tilbage til det sted, hun løb fra. Begyndelsen og enden falder sammen, og en pil fra et punkt til det samme punkt har ingen længde. Det er nulvektoren:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$$

Emma har løbet fire hundrede meter, og alligevel er hendes forskydning nul. Hvis hun slet ikke havde flyttet sig fra starten, ville forskydningen have været den samme. Forveksl derfor aldrig strækning med forskydning.

Nu løber Emma kun en halv runde. Strækningen er halvdelen af 400 m, altså s = 200 m. Emma endte på den anden side af cirklen, præcis over for starten. Den grønne forskydningspil går gennem cirklens centrum, så dens længde er diameteren, altså to gange radius r. Radius finder vi ud fra omkredsen. Cirklens omkreds er 2π · r, og vi ved, at den er 400 m:

$$\begin{array}{rcl}2\pi \cdot r& =& 400\mathrm{m}/:2\pi \\ r& =& \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\end{array}$$

Forskydningens størrelse er det dobbelte af radius. Tallet 2 i tælleren forkortes med tallet 2 i nævneren:

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =2\cdot r=2\cdot \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\\ & =\frac{400\mathrm{m}}{\pi }\end{array}$$

For π sætter vi cirka 3,14 ind:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \frac{400\mathrm{m}}{3,14}\approx 127\mathrm{m}$$

Efter en halv runde er Emma cirka 127 m fra starten, selv om hun har løbet 200 m. Banens radius er i øvrigt halvdelen af det, cirka 63,7 m.

Og hvad med en kvart runde? Strækningen er en fjerdedel af 400 m, altså s = 100 m. Forskydningen går denne gang ikke gennem centrum, men skråt.

Vi forbinder både starten og Emmas nye sted med cirklens centrum. De to blå radier står vinkelret på hinanden, fordi Emma har løbet en fjerdedel af cirklen, og sammen med forskydningen danner de en retvinklet trekant. Radierne er dens kateter og forskydningen hypotenusen. Vi bruger Pythagoras' sætning som ved Williams gåtur:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2=r^2+r^2=2\cdot r^2.$$

Vi uddrager kvadratroden. Kvadratroden af r² er r, så

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=\sqrt{2}\cdot r.$$

Vi sætter radius 63,7 m og $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$ ind:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \mathrm{1,414}\cdot 63,7\mathrm{m}\approx 90\mathrm{m}$$

Alle tre tilfælde samlet:

Mens strækningen hele tiden vokser, vokser forskydningens størrelse først og falder så igen helt til nul. Længst fra starten er Emma midtvejs i runden, og til sidst er hun igen ved starten.

Typer af bevægelse

Bevægelser inddeles efter to synspunkter. Det første er banens form. Når banen er en ret linje, taler vi om retlinet bevægelse. Sådan bevæger en elevator sig, og det samme gør et æble, der falder ned fra et træ. Når banen er krum, er der tale om kurvelinjet bevægelse. Blandt de kurvelinjede bevægelser er cirkelbevægelsen den vigtigste, for eksempel på en karrusel eller ved spidsen af en urviser.

Det andet synspunkt er, hvor hurtigt legemet bevæger sig. Når det i lige lange tidsrum tilbagelægger den samme strækning (i hvert sekund det samme, men også i hver tiendedel eller hundrededel sekund), er bevægelsen jævn. Sådan kører rulletrappen i metroen eller en karrusel, der er kommet op i fart. Når de strækninger, der tilbagelægges i lige lange tidsrum, er forskellige, altså når legemet accelererer eller bremser, er bevægelsen ujævn. Et æble accelererer under faldet, en elevator sætter i gang og bremser ned før etagen, og en bil i kø kravler et stykke tid og står stille et stykke tid.

De to synspunkter kan vi frit kombinere:

Pas på, også den inddeling afhænger af henførelsessystemet. Set fra cyklisten, der kører med konstant fart, bevæger ventilen sig jævnt på en cirkel. Fra fortovet er dens bevægelse kurvelinjet og ujævn: Ved vejen standser den næsten, mens den foroven jager af sted med næsten dobbelt så stor fart som hjulets midte. Foroven lægges nemlig ventilens bevægelse omkring midten oven i hjulets bevægelse fremad, og den peger også fremad dér, mens den nederst peger bagud og næsten ophæver hjulets bevægelse. Ventilen er hele tiden den samme, vi ser bare på den fra et andet sted.

Jævn og ujævn bevægelse har vi hidtil kun kunnet skelne ud fra, hvilke strækninger legemet tilbagelægger i lige lange tidsrum. Vi mangler et tal, der kan sige, hvor hurtigt rulletrappen kører, og hvor meget hurtigere ventilen jager af sted foroven end nederst. Det tal er farten, og den handler den næste artikel om, Fart og hastighed.