Κίνηση και ηρεμία

Φαντάσου ότι κάθεσαι στο τρένο από την Αθήνα για την Πάτρα και διαβάζεις. Κινείσαι; Ο συνεπιβάτης απέναντί σου θα έλεγε πως όχι. Όλη τη διαδρομή κάθεσαι στο ίδιο σημείο, ένα μέτρο από εκείνον, και ούτε μία φορά δεν κουνήθηκες. Μια κυρία όμως που στέκεται στην αποβάθρα του σταθμού της Κορίνθου θα υποστήριζε ότι περνάς μπροστά της με ταχύτητα 160 km/h. Και οι δύο έχουν δίκιο.

Πάνω κοιτάμε το τρένο από την αποβάθρα, κάτω από το βαγόνι. Και τα δύο κόκκινα βέλη δείχνουν την ίδια κίνηση, απλώς κάθε φορά τη βλέπουμε από αλλού.

Αυτή την ψευδαίσθηση τη γνωρίζει όποιος έχει καθίσει ποτέ σε τρένο που στέκεται στο σταθμό: το τρένο στη διπλανή γραμμή ξεκινά αργά και για μια στιγμή νομίζεις ότι ξεκινάς εσύ. Μόνο όταν κοιτάξεις το κτίριο του σταθμού, καταλαβαίνεις ότι στέκεσαι. Το μάτι απλώς χρειάζεται κάτι ως προς το οποίο να αναφέρει την κίνηση.

Σύστημα αναφοράς

Το αν ένα σώμα κινείται ή ηρεμεί δεν μπορεί να καθοριστεί από μόνο του. Πάντα πρέπει να προσθέτουμε ως προς τι. Το σώμα ως προς το οποίο κρίνουμε την κίνηση το λέμε σώμα αναφοράς. Για τον συνεπιβάτη στο τρένο είναι το βαγόνι, για την κυρία στην αποβάθρα η Γη.

Ένα σώμα ηρεμεί, όταν δεν αλλάζει τη θέση του ως προς το σώμα αναφοράς. Ως προς το βαγόνι ηρεμείς, ως προς τη Γη κινείσαι. Η κυρία στην αποβάθρα, αντίθετα, ηρεμεί ως προς τη Γη, αλλά ως προς εσένα απομακρύνεται προς τα πίσω με ταχύτητα 160 km/h. Η κίνηση και η ηρεμία είναι σχετικές, δηλαδή εξαρτώνται από το σημείο απ' όπου κοιτάμε.

Για να μπορέσουμε να περιγράψουμε τη θέση με αριθμούς, στερεώνουμε στο σώμα αναφοράς ένα σύστημα συντεταγμένων. Διαλέγουμε ένα σημείο, που το λέμε αρχή των αξόνων, και από αυτό φέρνουμε τους άξονες x και y, όπως όταν σχεδιάζεις στα μαθηματικά μια γραφική παράσταση. Στο σταθμό η αρχή των αξόνων θα μπορούσε να είναι για παράδειγμα στον σταθμάρχη, ο άξονας x κατά μήκος των γραμμών και ο άξονας y κάθετα προς αυτές. Η θέση του σώματος δίνεται τότε με δύο αριθμούς: πόσο μακριά βρίσκεται κατά τη διεύθυνση του ενός άξονα και πόσο μακριά κατά τη διεύθυνση του άλλου. Στο τρένο διαλέγουμε την αρχή των αξόνων π.χ. στην πόρτα του βαγονιού. Το σώμα αναφοράς μαζί με το σύστημα συντεταγμένων και με το ρολόι που μετράει τον χρόνο λέγονται όλα μαζί σύστημα αναφοράς.

Τη θέση σου στο βαγόνι, τη μαύρη τελεία, την καθορίζουν έτσι η κόκκινη απόσταση κατά μήκος του άξονα x και η μπλε απόσταση κατά μήκος του άξονα y.

Στην καθημερινή ζωή σύστημα αναφοράς αποτελεί σχεδόν πάντα η Γη, και γι' αυτό συχνά δεν την αναφέρουμε καν. Όταν λέμε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται με 90 km/h ή ότι ένα σπίτι στέκεται, εννοούμε ως προς τη Γη. Ούτε το «ακίνητο» σπίτι όμως ηρεμεί απόλυτα. Η Γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της, άρα ένα σπίτι στην Ελλάδα διαγράφει μέσα σε μία ημέρα κύκλο μήκους περίπου 31.600 km. Σε μία ώρα διανύει επομένως πάνω από 1.000 km. Επιπλέον η Γη κινείται γύρω από τον Ήλιο με ταχύτητα περίπου 30 km/s. Μέχρι να διαβάσεις αυτή την πρόταση, διανύεις μαζί με τη Γη, το σπίτι και τον καναπέ κάπου εκατόν πενήντα χιλιόμετρα. Ούτε ο Ήλιος όμως ηρεμεί, κινείται γύρω από το κέντρο του Γαλαξία. Σώμα που ηρεμεί «πραγματικά», δηλαδή χωρίς να πούμε ως προς τι, απλώς δεν υπάρχει.

Σωμάτιο

Ένα αυτοκίνητο στην Ολυμπία Οδό ανάμεσα στην Αθήνα και την Πάτρα έχει μήκος περίπου 4,5 m. Ολόκληρη η διαδρομή έχει μήκος περίπου 205 km. Αν σχεδίαζες όλον τον αυτοκινητόδρομο στο χαρτί ως γραμμή μήκους 20 cm, το αυτοκίνητο θα είχε σε αυτό το σχέδιο μήκος περίπου 4 µm, δεκαέξι φορές λιγότερο από το πάχος μιας τρίχας. Αν θέλουμε να ξέρουμε πότε θα φτάσει το αυτοκίνητο στην Πάτρα, δεν έχει σημασία πόσο μακρύ είναι, πού έχει το τιμόνι και αν έχει ανοιχτό παράθυρο. Μπορούμε να το φανταστούμε ως ένα μόνο σημείο που μετακινείται πάνω στον χάρτη.

Μια τέτοια απλούστευση τη λέμε σωμάτιο. Είναι ένα σώμα του οποίου τις διαστάσεις μπορούμε στη συγκεκριμένη περίπτωση να αγνοήσουμε. Το αντικαθιστούμε με ένα σημείο, στο οποίο αφήνουμε τη μάζα ολόκληρου του σώματος. Στη φυσική με τα σωμάτια υπολογίζουμε πολύ πιο εύκολα παρά με τα πραγματικά σώματα, που μπορούν να περιστρέφονται, να κάμπτονται ή να αλλάζουν σχήμα.

Το αν επιτρέπεται να θεωρήσουμε ένα σώμα σωμάτιο δεν το αποφασίζει όμως το ίδιο το σώμα, αλλά το ερώτημα που θέτουμε. Στο παρκάρισμα το ίδιο αυτοκίνητο δεν είναι σωμάτιο. Εκεί μετράνε ακριβώς οι διαστάσεις του: αν χωράει ανάμεσα σε δύο άλλα αυτοκίνητα και πόσα εκατοστά μένουν μέχρι το πεζοδρόμιο. Η Γη, αντίθετα, είναι κατά την κίνησή της γύρω από τον Ήλιο σωμάτιο. Η διάμετρός της, περίπου 12.700 km, είναι αμελητέα μπροστά στην απόσταση από τον Ήλιο, 150.000.000 km. Όταν όμως μας ενδιαφέρει η εναλλαγή μέρας και νύχτας, πρέπει να λάβουμε υπόψη ότι είναι μια σφαίρα που περιστρέφεται, και δεν μπορούμε να την αντικαταστήσουμε με σημείο.

Στη μακρινή διαδρομή αριστερά αρκεί να αντικαταστήσουμε το αυτοκίνητο με σημείο, στο παρκάρισμα δεξιά μετράνε οι διαστάσεις του.

Τροχιά

Τη γραμμή που διαγράφει το σωμάτιο κατά την κίνησή του την ονομάζουμε τροχιά. Μερικές φορές τη βλέπουμε ακόμη και με τα μάτια: ένα αεροπλάνο ψηλά στον ουρανό αφήνει πίσω του μια λευκή γραμμή συμπύκνωσης, ένας σκιέρ αφήνει ίχνος στο χιόνι. Η τροχιά μπορεί να είναι ευθεία, κύκλος ή οποιαδήποτε άλλη καμπύλη.

Όπως η κίνηση και η ηρεμία, έτσι και η τροχιά εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς. Ας κοιτάξουμε τη βαλβίδα στον μπροστινό τροχό ενός ποδηλάτου. Όταν ο ποδηλάτης κοιτάξει προς τα κάτω στον μπροστινό τροχό την ώρα που πηγαίνει, βλέπει ότι ο τροχός γυρίζει επιτόπου και η βαλβίδα περιστρέφεται γύρω γύρω. Η τροχιά της είναι κύκλος. Η φίλη του που στέκεται στο πεζοδρόμιο και βλέπει τον ποδηλάτη να περνά δεν βλέπει κανέναν κύκλο. Ο τροχός κυλά προς τα εμπρός, η βαλβίδα μετακινείται μαζί του, και έτσι σχεδιάζει μια σειρά από τόξα.

Στην εικόνα βλέπουμε πάνω τον τροχό από τη σκοπιά του ποδηλάτη, δηλαδή στο σύστημα αναφοράς που συνδέεται με το πλαίσιο του ποδηλάτου. Η πορτοκαλί βαλβίδα κινείται πάνω στον κόκκινο κύκλο. Κάτω είναι ο ίδιος τροχός στο σύστημα αναφοράς που συνδέεται με το έδαφος. Ο γκρίζος διακεκομμένος κύκλος δείχνει πού βρισκόταν ο τροχός, όταν η βαλβίδα ήταν κάτω, στο δρόμο. Μέχρι να κάνει ο τροχός μία περιστροφή, η βαλβίδα σχεδιάζει το κόκκινο τόξο. Και τα δύο μισά της εικόνας δείχνουν την ίδια κίνηση της ίδιας βαλβίδας, μόνο από τη σκοπιά δύο διαφορετικών συστημάτων αναφοράς. Η κινούμενη εικόνα το δείχνει βήμα βήμα: ο τροχός πάνω γυρίζει και κάτω ταυτόχρονα κυλά, και η βαλβίδα σχεδιάζει και τα δύο ίχνη την ίδια στιγμή.

Η καμπύλη που σχεδιάζει η βαλβίδα από το πεζοδρόμιο λέγεται κυκλοειδής. Έχει αιχμές κάτω, στα σημεία όπου η βαλβίδα αγγίζει το δρόμο. Ο τροχός δεν γλιστράει στο δρόμο, κυλά πάνω του, άρα το σημείο που αγγίζει εκείνη τη στιγμή το έδαφος για μια στιγμή ηρεμεί. Η βαλβίδα σταματά εκεί και αμέσως μετά ανεβαίνει, στην αρχή σχεδόν κατακόρυφα προς τα πάνω. Στην πραγματικότητα η βαλβίδα κάθεται στη ζάντα λίγα εκατοστά πιο κοντά στο κέντρο από την επιφάνεια του ελαστικού, οπότε δεν αγγίζει το δρόμο και η καμπύλη της κάτω, αντί για αιχμές, απλώς καμπυλώνεται απότομα. Σχεδόν ακριβή κυκλοειδή θα σχεδίαζε για παράδειγμα ένα χαλικάκι σφηνωμένο στα αυλάκια του ελαστικού.

Πόσο διανύει ο τροχός σε μία περιστροφή; Όταν δεν γλιστράει, ξετυλίγεται ολόκληρη η περιφέρειά του πάνω στο δρόμο, σαν το μέτρο από μια μεζούρα. Το μήκος του κύκλου με ακτίνα R είναι 2π · R, όπου π ≈ 3,14, άρα το κέντρο του τροχού μετακινείται σε μία περιστροφή ακριβώς κατά 2π · R. Ο τροχός ενός ποδηλάτου έχει περιφέρεια λίγο πάνω από 2 m, άρα σε ένα χιλιόμετρο κάνει σχεδόν πεντακόσιες περιστροφές.

Η ίδια αρχή ισχύει και στο τρένο. Αν το τρένο κινείται με σταθερή ταχύτητα σε ίσιο κομμάτι της γραμμής και εσύ στο βαγόνι αφήσεις να πέσει ένα μήλο, πέφτει ακριβώς στα πόδια σου, κατακόρυφα προς τα κάτω. Η κυρία στην αποβάθρα το βλέπει να πέφτει και ταυτόχρονα να προχωρά με το τρένο προς τα εμπρός, άρα για εκείνη κινείται σε πλάγιο τόξο.

Αριστερά είναι η πτώση του μήλου όπως τη βλέπεις εσύ στο βαγόνι, δεξιά όπως τη βλέπει η κυρία στην αποβάθρα.

Διάστημα

Το μήκος της τροχιάς που διανύει το σώμα λέγεται διάστημα και συμβολίζεται s. Το διάστημα είναι μονόμετρο μέγεθος, δηλαδή ένας αριθμός με μονάδα. Το μετράει το κοντέρ του αυτοκινήτου: προσθέτει κάθε μέτρο που διανύει το αυτοκίνητο, είτε πηγαίνει ευθεία, είτε στρίβει, είτε κάνει όπισθεν. Γι' αυτό το διάστημα δεν μειώνεται ποτέ με τον χρόνο. Όταν γυρίσεις σπίτι, κανείς δεν σου αφαιρεί τα χιλιόμετρα που περπάτησες.

Μετατόπιση

Ο πεζοπόρος Πέτρος ξεκίνησε από το εξοχικό, περπάτησε 3 km προς ανατολάς και μετά 4 km προς βορρά. Περπάτησε συνολικά 7 km, αλλά από το εξοχικό απείχε μόνο 5 km. Το βέλος από το σημείο όπου ξεκίνησε ως το σημείο όπου κατέληξε είναι η μετατόπισή του. Τώρα μπορούμε να ονομάσουμε με ακρίβεια και τα δύο μεγέθη: το διάστημα ήταν 7 km, το μέτρο της μετατόπισης 5 km.

Η μετατόπιση γράφεται εύκολα με διανύσματα. Τη θέση του σώματος στο σύστημα αναφοράς την περιγράφουμε με ένα βέλος που πηγαίνει από την αρχή των αξόνων ως το σημείο όπου βρίσκεται εκείνη τη στιγμή το σώμα. Αυτό το βέλος λέγεται διάνυσμα θέσης και συμβολίζεται $\overrightarrow{r}$.

Η μαύρη γραμμή στην εικόνα είναι η τροχιά και με πορτοκαλί σημειώνονται δύο σημεία από τα οποία πέρασε διαδοχικά το σώμα. Τα μπλε βέλη είναι τα διανύσματα θέσης: το ${\overrightarrow{r}}_1$ δείχνει πού βρισκόταν το σώμα στην αρχή και το ${\overrightarrow{r}}_2$ πού βρισκόταν στο τέλος. Με κόκκινο τονίζεται το τμήμα της τροχιάς ανάμεσά τους, δηλαδή το διάστημα που διένυσε το σώμα. Το πράσινο βέλος, που πηγαίνει από το πρώτο σημείο στο δεύτερο, είναι η μετατόπιση.

Η μετατόπιση λέει κατά πόσο άλλαξε η θέση. Τη μεταβολή ενός φυσικού μεγέθους τη συμβολίζουμε με το κεφαλαίο ελληνικό γράμμα Δ (δέλτα) μπροστά από το σύμβολό του, και γι' αυτό η μετατόπιση γράφεται

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$$

Διαβάζεται «ντέλτα ερ» και όλο μαζί είναι ένα σύμβολο, όχι γινόμενο. Γιατί μεταβολή; Κοίτα την εικόνα. Το μπλε βέλος ${\overrightarrow{r}}_1$ και μετά από αυτό το πράσινο βέλος δίνουν μαζί το μπλε βέλος ${\overrightarrow{r}}_2$. Έτσι λειτουργούν τα διανύσματα, το δεύτερο βέλος αρχίζει εκεί όπου τελειώνει το πρώτο:

$${\overrightarrow{r}}_1+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2$$

Αφαιρούμε το ${\overrightarrow{r}}_1$ και από τα δύο μέλη:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$$

Η μετατόπιση είναι η διαφορά της τελικής και της αρχικής θέσης. Αν βάζαμε την αρχή O αλλού, θα άλλαζαν και τα δύο μπλε βέλη, αλλά το πράσινο θα έμενε το ίδιο. Η μετατόπιση δεν εξαρτάται λοιπόν από το πού διαλέγουμε την αρχή, αλλά μόνο από το πού ξεκίνησε και πού τελείωσε το σώμα. Το μέτρο της μετατόπισης, δηλαδή το μήκος του πράσινου βέλους, το γράφουμε $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$.

Ανάμεσα στο διάστημα και τη μετατόπιση υπάρχουν δύο διαφορές. Το διάστημα είναι μονόμετρο μέγεθος, η μετατόπιση διάνυσμα, που έχει και κατεύθυνση. Και το διάστημα μετράει ολόκληρη τη διαδρομή, ενώ η μετατόπιση μόνο την αρχή και το τέλος. Είτε ο Πέτρος πήρε τον μεγάλο γύρο, είτε γύρισε στη διαδρομή τρεις φορές για να πάρει το κινητό που ξέχασε, η μετατόπιση παραμένει η ίδια. Η συντομότερη διαδρομή ανάμεσα σε δύο σημεία είναι το ευθύγραμμο τμήμα, και γι' αυτό το μέτρο της μετατόπισης δεν ξεπερνά ποτέ το διάστημα, $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\le s$. Είναι ίσα μόνο όταν το σώμα κινείται σε ευθεία και δεν γυρίζει πίσω ούτε μία φορά.

Γύρος του γηπέδου

Γύρω από το σχολικό γήπεδο υπάρχει στίβος δρομέων σε σχήμα κύκλου, με μήκος 400 m. Η Ιωάννα ξεκινά να τρέχει από την αφετηρία και κάνει ολόκληρο τον γύρο. Ποιο διάστημα διένυσε και ποια είναι η μετατόπισή της;

Το διάστημα είναι σαφές, ολόκληρη η τροχιά έχει μήκος 400 m, άρα s = 400 m. Η Ιωάννα όμως έφτασε ακριβώς εκεί από όπου ξεκίνησε. Η αρχή και το τέλος συμπίπτουν και το βέλος από ένα σημείο στο ίδιο σημείο δεν έχει μήκος. Είναι το μηδενικό διάνυσμα:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$$

Η Ιωάννα έτρεξε τετρακόσια μέτρα, και παρ' όλα αυτά η μετατόπισή της είναι μηδέν. Αν δεν είχε κουνηθεί καθόλου από την αφετηρία, η μετατόπιση θα έβγαινε η ίδια. Το διάστημα και τη μετατόπιση λοιπόν να μην τα μπερδεύεις ποτέ.

Τώρα η Ιωάννα τρέχει μόνο μισό γύρο. Το διάστημα είναι το μισό των 400 m, δηλαδή s = 200 m. Η Ιωάννα κατέληξε στην άλλη πλευρά του κύκλου, ακριβώς απέναντι από την αφετηρία. Το πράσινο βέλος της μετατόπισης περνά από το κέντρο του κύκλου, άρα το μήκος του είναι η διάμετρος, δηλαδή το διπλάσιο της ακτίνας R. Την ακτίνα τη βρίσκουμε από την περιφέρεια. Η περιφέρεια του κύκλου είναι 2π · R και ξέρουμε ότι έχει μήκος 400 m:

$$\begin{array}{rcl}2\pi \cdot R& =& 400\mathrm{m}/:2\pi \\ R& =& \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\end{array}$$

Το μέτρο της μετατόπισης είναι το διπλάσιο της ακτίνας. Το δύο στον αριθμητή απλοποιείται με το δύο στον παρονομαστή:

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =2\cdot R=2\cdot \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\\ & =\frac{400\mathrm{m}}{\pi }\end{array}$$

Στη θέση του π βάζουμε περίπου 3,14:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \frac{400\mathrm{m}}{3,14}\approx 127\mathrm{m}$$

Μετά από μισό γύρο η Ιωάννα απέχει από την αφετηρία περίπου 127 m, παρότι έτρεξε 200 m. Η ακτίνα του στίβου είναι, παρεμπιπτόντως, το μισό από αυτό, περίπου 63,7 m.

Και ένας τέταρτος γύρος; Το διάστημα είναι το ένα τέταρτο των 400 m, δηλαδή s = 100 m. Η μετατόπιση αυτή τη φορά δεν περνά από το κέντρο, αλλά πλάγια.

Ενώνουμε με το κέντρο του κύκλου τόσο την αφετηρία όσο και το νέο σημείο της Ιωάννας. Οι δύο μπλε ακτίνες είναι κάθετες μεταξύ τους, επειδή η Ιωάννα έτρεξε το ένα τέταρτο του κύκλου, και με τη μετατόπιση σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο. Οι ακτίνες είναι οι κάθετες πλευρές του και η μετατόπιση η υποτείνουσα. Χρησιμοποιούμε το Πυθαγόρειο θεώρημα όπως στη βόλτα του Πέτρου:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2=R^2+R^2=2\cdot R^2.$$

Παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα. Η ρίζα του R² είναι R, άρα

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=\sqrt{2}\cdot R.$$

Αντικαθιστούμε την ακτίνα 63,7 m και $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \mathrm{1,414}\cdot 63,7\mathrm{m}\approx 90\mathrm{m}$$

Και οι τρεις περιπτώσεις μαζί:

Ενώ το διάστημα αυξάνεται συνεχώς, το μέτρο της μετατόπισης πρώτα αυξάνεται και μετά ξανά μειώνεται ως το μηδέν. Η Ιωάννα απέχει περισσότερο από την αφετηρία στη μέση του γύρου και στο τέλος είναι πάλι στην αφετηρία.

Είδη κινήσεων

Οι κινήσεις χωρίζονται με βάση δύο κριτήρια. Το πρώτο είναι το σχήμα της τροχιάς. Όταν η τροχιά είναι ευθεία, μιλάμε για ευθύγραμμη κίνηση. Έτσι κινείται ένας ανελκυστήρας ή ένα μήλο που πέφτει από το δέντρο. Όταν η τροχιά είναι καμπύλη, πρόκειται για καμπυλόγραμμη κίνηση. Ανάμεσα στις καμπυλόγραμμες κινήσεις η πιο σημαντική είναι η κίνηση σε κύκλο, για παράδειγμα σε ένα καρουζέλ ή στην άκρη του δείκτη ενός ρολογιού.

Το δεύτερο κριτήριο είναι πόσο γρήγορα κινείται το σώμα. Όταν σε ίσους χρόνους διανύει πάντα το ίδιο διάστημα (σε κάθε δευτερόλεπτο το ίδιο, αλλά και σε κάθε δέκατο ή εκατοστό του δευτερολέπτου), η κίνηση είναι ομαλή. Έτσι κινείται η κυλιόμενη σκάλα στο μετρό ή ένα καρουζέλ που έχει πάρει στροφές. Όταν τα διαστήματα που διανύονται σε ίσους χρόνους διαφέρουν, το σώμα δηλαδή επιταχύνει ή επιβραδύνει, η κίνηση είναι μεταβαλλόμενη. Το μήλο κατά την πτώση επιταχύνει, ο ανελκυστήρας ξεκινά και πριν από τον όροφο φρενάρει, και το αυτοκίνητο στο μποτιλιάρισμα για λίγο σέρνεται και για λίγο στέκεται.

Τα δύο κριτήρια μπορούμε να τα συνδυάσουμε ελεύθερα:

Προσοχή, και αυτός ο διαχωρισμός εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς. Από τη σκοπιά του ποδηλάτη, που κινείται με σταθερή ταχύτητα, η βαλβίδα κινείται ομαλά σε κύκλο. Από το πεζοδρόμιο η κίνησή της είναι καμπυλόγραμμη και μεταβαλλόμενη: κοντά στο δρόμο σχεδόν σταματά, ενώ πάνω τρέχει σχεδόν δύο φορές πιο γρήγορα από το κέντρο του τροχού. Πάνω, στην κίνηση του τροχού προς τα εμπρός προστίθεται η κίνηση της βαλβίδας γύρω από το κέντρο, που και εκεί δείχνει προς τα εμπρός, ενώ κάτω δείχνει προς τα πίσω και σχεδόν εξουδετερώνει την κίνηση του τροχού. Η βαλβίδα είναι πάντα η ίδια, απλώς την κοιτάμε από άλλο σημείο.

Την ομαλή και τη μεταβαλλόμενη κίνηση τις αναγνωρίζαμε μέχρι τώρα μόνο από τα διαστήματα που διανύει το σώμα σε ίσους χρόνους. Μας λείπει ο αριθμός που θα έλεγε πόσο γρήγορα κινείται η κυλιόμενη σκάλα και κατά πόσο πιο γρήγορα τρέχει η βαλβίδα πάνω παρά κάτω. Αυτός ο αριθμός είναι η ταχύτητα και σε αυτήν είναι αφιερωμένο το επόμενο άρθρο, Ταχύτητα.