Movimento e repouso

Imagine que você está sentado num trem de Praga a Brno, lendo. Você está se movendo? O vizinho à sua frente diria que não. Durante toda a viagem você está sentado no mesmo lugar, a um metro dele, e não se mexeu nem uma vez. Mas a senhora que está na plataforma de uma estação no meio do caminho diria que você está passando por ela agora mesmo a 160 km/h. E os dois têm razão.

Em cima, olhamos para o trem a partir da plataforma e, embaixo, a partir do vagão. As duas setas vermelhas mostram o mesmo movimento, só que visto de lugares diferentes.

Essa ilusão é conhecida de todo mundo que já ficou sentado num trem parado na estação: o trem da linha ao lado começa a andar devagar e, por um instante, você tem a impressão de que é você quem está partindo. Só quando olha para o prédio da estação você percebe que está parado. O olho simplesmente precisa de algo a que possa relacionar o movimento.

Referencial

Se um corpo está em movimento ou em repouso, isso não se pode determinar por si só. Sempre precisamos acrescentar em relação a quê. Chamamos de corpo de referência o corpo em relação ao qual julgamos o movimento. Para o vizinho no trem, é o vagão, e para a senhora na plataforma, a Terra.

Um corpo está em repouso quando não muda de posição em relação ao corpo de referência. Em relação ao vagão, você está em repouso e, em relação à Terra, você está em movimento. A senhora na plataforma, ao contrário, está parada em relação à Terra, mas em relação a você se afasta para trás a 160 km/h. O movimento e o repouso são relativos, ou seja, dependem do lugar de onde olhamos.

Para podermos descrever a posição com números, fixamos ao corpo de referência um sistema de coordenadas. Escolhemos um ponto, que chamamos de origem, e a partir dele traçamos os eixos x e y, como quando você desenha um gráfico na matemática. Na estação, a origem poderia ser, por exemplo, junto ao chefe da estação, o eixo x ao longo dos trilhos e o eixo y perpendicular a eles. A posição do corpo é então dada por dois números: a que distância ele está na direção de um eixo e a que distância na direção do outro. No trem, escolhemos a origem, por exemplo, na porta do vagão. O corpo de referência, junto com o sistema de coordenadas e com o relógio que mede o tempo, se chama referencial.

A sua posição no vagão, o ponto preto, é determinada, portanto, pela distância vermelha ao longo do eixo x e pela distância azul ao longo do eixo y.

Na vida cotidiana, o referencial é quase sempre a Terra, e por isso muitas vezes nem a mencionamos. Quando dizemos que um carro anda a 90 km/h ou que uma casa está parada, queremos dizer em relação à Terra. Mas nem a casa “imóvel” está completamente em repouso. A Terra gira em torno do próprio eixo, de modo que uma casa na Tchéquia descreve num dia uma circunferência de cerca de 26.000 km de comprimento. Em uma hora, portanto, percorre mais de 1.000 km. Além disso, a Terra orbita o Sol a cerca de 30 km/s. Antes de você terminar de ler esta frase, você, com a Terra, a casa e o sofá, já terá voado uns cento e cinquenta quilômetros. Mas nem o Sol está em repouso, ele orbita o centro da Galáxia. Um corpo em repouso “de verdade”, isto é, sem indicar em relação a quê, simplesmente não existe.

Ponto material

Um carro na rodovia D1 entre Praga e Brno tem cerca de 4,5 m de comprimento. O trajeto inteiro mede aproximadamente 205 km. Se você desenhasse a rodovia inteira no papel como uma linha de 20 cm, o carro nessa figura mediria cerca de 4 µm, dezesseis vezes menos que a espessura de um fio de cabelo. Se queremos saber quando o carro chegará a Brno, não importa qual é o seu comprimento, onde fica o volante e se a janela está aberta. Podemos imaginá-lo como um único ponto que se desloca pelo mapa.

Essa simplificação se chama ponto material. É um corpo cujas dimensões podemos desprezar na situação dada. Substituímos o corpo por um ponto, ao qual atribuímos a massa do corpo inteiro. Na física, é muito mais fácil calcular com pontos materiais do que com corpos reais, que podem girar, se curvar ou mudar de forma.

Quem decide se podemos considerar um corpo um ponto material, porém, não é o corpo em si, mas a pergunta que fazemos. Ao estacionar, o mesmo carro não é um ponto material. Ali justamente as dimensões dele é que decidem: se ele cabe entre dois outros carros e quantos centímetros sobram até o meio-fio. Já a Terra, ao orbitar o Sol, é um ponto material. O seu diâmetro, cerca de 12.700 km, é desprezível diante da distância até o Sol, 150.000.000 km. Mas quando nos interessa a alternância entre o dia e a noite, precisamos levar em conta que ela é uma esfera que gira, e não dá para substituí-la por um ponto.

Numa viagem longa, à esquerda, basta substituir o carro por um ponto; ao estacionar, à direita, as dimensões dele é que decidem.

Trajetória

Chamamos de trajetória a linha que o ponto material descreve ao se mover. Às vezes até a vemos: um avião no alto do céu deixa atrás de si um rastro branco de condensação, um esquiador deixa um rastro na neve. A trajetória pode ser uma reta, uma circunferência ou qualquer outra curva.

Assim como o movimento e o repouso, a trajetória também depende do referencial. Vamos olhar para a válvula do pneu dianteiro de uma bicicleta. Quando o ciclista, durante o percurso, olha para baixo, para a roda dianteira, ele vê que a roda gira no lugar e a válvula dá voltas e voltas. A trajetória dela é uma circunferência. Já a amiga que está na calçada, vendo o ciclista passar, não vê nenhuma circunferência. A roda rola para a frente, a válvula se desloca junto com ela e, assim, desenha uma série de arcos.

Na imagem, em cima está a roda do ponto de vista do ciclista, ou seja, num referencial ligado ao quadro da bicicleta. A válvula laranja gira na circunferência vermelha. Embaixo está a mesma roda num referencial ligado ao chão. A circunferência cinza tracejada mostra onde a roda estava quando a válvula estava embaixo, junto à rua. Antes de a roda dar uma volta, a válvula desenha o arco vermelho. As duas metades da imagem registram o mesmo movimento da mesma válvula, só que do ponto de vista de dois referenciais diferentes. A animação mostra isso passo a passo: em cima a roda gira e, embaixo, ao mesmo tempo, rola, e a válvula desenha os dois rastros simultaneamente.

A curva que a válvula desenha vista da calçada se chama cicloide. Ela tem pontas embaixo, nos lugares em que a válvula toca a rua. A roda não escorrega pela rua, ela rola sobre ela, de modo que o ponto que está tocando o chão fica por um instante parado. A válvula para ali e logo em seguida sobe, primeiro quase na vertical. A rigor, a válvula fica no aro uns poucos centímetros mais perto do centro do que a superfície do pneu, de modo que não toca a rua e a curva dela, embaixo, em vez de pontas, tem apenas uma curva fechada. Uma pedrinha presa no sulco do pneu, por exemplo, desenharia uma cicloide quase exata.

Quanto a roda percorre em uma volta? Se não escorrega, todo o comprimento da sua circunferência se desenrola sobre a rua como a fita de uma trena. O comprimento da circunferência de raio r é 2π · r, onde π ≈ 3,14, de modo que o centro da roda, em uma volta, se desloca exatamente 2π · r. A roda de uma bicicleta tem circunferência de pouco mais de 2 m, então em um quilômetro dá quase quinhentas voltas.

O mesmo princípio vale no trem. Se o trem anda com velocidade constante em linha reta e você, no vagão, solta uma maçã, ela cai direto aos seus pés, na vertical, para baixo. A senhora na plataforma a vê cair e, ao mesmo tempo, avançar com o trem, de modo que para ela a maçã voa num arco oblíquo.

À esquerda está a queda da maçã como você a vê no vagão e, à direita, como a vê a senhora na plataforma.

Distância percorrida

O comprimento da trajetória que o corpo percorre se chama distância percorrida e se indica por s. A distância percorrida é um escalar, isto é, um número com unidade. Ela é medida pelo hodômetro do carro: soma cada metro que o carro percorre, quer ele ande em linha reta, faça curvas ou dê ré. Por isso a distância percorrida nunca diminui com o tempo. Quando você volta para casa, ninguém desconta os quilômetros que você andou.

Deslocamento

O caminhante Pedro saiu de um chalé, andou 3 km para o leste e depois 4 km para o norte. Ao todo ele andou 7 km, mas estava a apenas 5 km do chalé. A seta do lugar onde ele começou até o lugar onde terminou é o seu deslocamento. Agora já podemos nomear as duas grandezas com precisão: a distância percorrida foi 7 km e o módulo do deslocamento, 5 km.

O deslocamento se escreve de modo prático por meio de vetores. Descrevemos a posição de um corpo no referencial por uma seta que vai da origem até o lugar onde o corpo está naquele momento. Essa seta se chama vetor posição e se indica por $\overrightarrow{r}$.

A linha preta na imagem é a trajetória, e em laranja estão marcados dois lugares pelos quais o corpo passou sucessivamente. As setas azuis são os vetores posição: ${\overrightarrow{r}}_1$ mostra onde o corpo estava no início e ${\overrightarrow{r}}_2$, onde estava no fim. Em vermelho está destacado o trecho da trajetória entre eles, ou seja, a distância que o corpo percorreu. A seta verde, que vai do primeiro lugar ao segundo, é o deslocamento.

O deslocamento diz quanto a posição mudou. Indicamos a variação de uma grandeza física com a letra grega maiúscula Δ (delta) antes do seu símbolo e, por isso, o deslocamento se escreve

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$$

Lê-se “delta erre” e o conjunto todo é um único símbolo, não um produto. Por que variação? Olhe para a imagem. A seta azul ${\overrightarrow{r}}_1$ e, depois dela, a seta verde dão juntas a seta azul ${\overrightarrow{r}}_2$. É assim que funciona com os vetores, a segunda seta começa onde termina a primeira:

$${\overrightarrow{r}}_1+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2$$

Subtraímos ${\overrightarrow{r}}_1$ dos dois lados:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$$

O deslocamento é a diferença entre a posição final e a inicial. Se colocássemos a origem O em outro lugar, as duas setas azuis mudariam, mas a verde continuaria a mesma. O deslocamento, portanto, não depende de onde escolhemos a origem, apenas de onde o corpo começou e onde terminou. Escrevemos o módulo do deslocamento, isto é, o comprimento da seta verde, como $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$.

Entre a distância percorrida e o deslocamento há duas diferenças. A distância percorrida é um escalar, e o deslocamento é um vetor, que tem também direção e sentido. E a distância percorrida conta o caminho todo, enquanto o deslocamento conta só o início e o fim. Quer Pedro tenha feito um desvio, quer tenha voltado três vezes no caminho para buscar o celular que esqueceu, o deslocamento continua o mesmo. A ligação mais curta entre dois pontos é o segmento de reta e, por isso, o módulo do deslocamento nunca ultrapassa a distância percorrida, $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\le s$. Eles são iguais apenas quando o corpo se move em linha reta e nem uma vez volta para trás.

Uma volta na pista da escola

Em volta da quadra da escola há uma pista de corrida em forma de circunferência, com 400 m de comprimento. Juliana começa a correr na largada e completa a volta inteira. Que distância ela percorreu e qual é o seu deslocamento?

A distância percorrida é clara, a trajetória inteira tem 400 m de comprimento, então s = 400 m. Mas Juliana chegou exatamente ao lugar de onde saiu. O início e o fim coincidem, e a seta de um ponto para o mesmo ponto não tem comprimento nenhum. É o vetor nulo:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$$

Juliana correu quatrocentos metros e, mesmo assim, o seu deslocamento é nulo. Se ela tivesse ficado parada na largada o tempo todo, o deslocamento sairia igual. Nunca confunda, portanto, a distância percorrida com o deslocamento.

Agora Juliana corre só meia volta. A distância percorrida é metade de 400 m, ou seja, s = 200 m. Juliana terminou do outro lado da circunferência, exatamente em frente à largada. A seta verde do deslocamento passa pelo centro da circunferência, de modo que o seu comprimento é o diâmetro, isto é, duas vezes o raio r. Determinamos o raio a partir do comprimento da circunferência. O comprimento da circunferência é 2π · r e sabemos que mede 400 m:

$$\begin{array}{rcl}2\pi \cdot r& =& 400\mathrm{m}/:2\pi \\ r& =& \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\end{array}$$

O módulo do deslocamento é o dobro do raio. O dois do numerador se cancela com o dois do denominador:

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =2\cdot r=2\cdot \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\\ & =\frac{400\mathrm{m}}{\pi }\end{array}$$

Substituímos π por aproximadamente 3,14:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \frac{400\mathrm{m}}{3,14}\approx 127\mathrm{m}$$

Depois de meia volta, Juliana está a cerca de 127 m da largada, embora tenha corrido 200 m. O raio da pista, aliás, é metade disso, cerca de 63,7 m.

E um quarto de volta? A distância percorrida é um quarto de 400 m, ou seja, s = 100 m. O deslocamento, desta vez, não passa pelo centro, mas vai na diagonal.

Ligamos a largada e o novo lugar de Juliana ao centro da circunferência. Os dois raios azuis são perpendiculares entre si, porque Juliana correu um quarto da circunferência, e formam com o deslocamento um triângulo retângulo. Os raios são os catetos e o deslocamento é a hipotenusa. Usamos o teorema de Pitágoras como na caminhada de Pedro:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2=r^2+r^2=2\cdot r^2.$$

Extraímos a raiz quadrada. A raiz quadrada de r² é r, então

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=\sqrt{2}\cdot r.$$

Substituímos o raio 63,7 m e $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \mathrm{1,414}\cdot 63,7\mathrm{m}\approx 90\mathrm{m}$$

Os três casos juntos:

Enquanto a distância percorrida só cresce, o módulo do deslocamento primeiro cresce e depois cai de novo até zero. Juliana está mais longe da largada na metade da volta e, no fim, está de novo na largada.

Tipos de movimento

Os movimentos se classificam por dois critérios. O primeiro deles é a forma da trajetória. Quando a trajetória é uma reta, falamos de movimento retilíneo. É assim que se move um elevador ou uma maçã que cai da árvore. Quando a trajetória é curva, trata-se de um movimento curvilíneo. Entre os movimentos curvilíneos, o mais importante é o movimento em uma circunferência, por exemplo num carrossel ou na ponta do ponteiro de um relógio.

O segundo critério é a rapidez com que o corpo se move. Quando, em intervalos de tempo iguais, ele percorre sempre a mesma distância (a cada segundo igual, mas também a cada décimo ou centésimo de segundo), o movimento é uniforme. É assim que anda a escada rolante do metrô ou um carrossel já em rotação. Quando as distâncias percorridas em intervalos de tempo iguais diferem, ou seja, o corpo acelera ou desacelera, o movimento é variado. A maçã acelera na queda, o elevador arranca e freia antes do andar e o carro no congestionamento ora se arrasta, ora para.

Os dois critérios podem ser combinados livremente:

Atenção, essa classificação também depende do referencial. Do ponto de vista do ciclista, que anda com velocidade constante, a válvula se move uniformemente numa circunferência. Da calçada, o movimento dela é curvilíneo e variado: junto à rua ela quase para, enquanto em cima corre quase duas vezes mais depressa que o centro da roda. Em cima, afinal, ao movimento da roda para a frente soma-se o movimento da válvula em torno do centro, que ali também aponta para a frente, enquanto embaixo aponta para trás e quase anula o movimento da roda. A válvula é sempre a mesma, só que olhamos para ela de outro lugar.

Por enquanto, só reconhecemos o movimento uniforme e o variado pelas distâncias que o corpo percorre em intervalos de tempo iguais. Falta-nos um número que diga com que rapidez a escada rolante anda e quanto mais depressa a válvula corre em cima do que embaixo. Esse número é a velocidade, e a ela se dedica o próximo artigo, Velocidade.