Рух і спокій

Уяви, що ти сидиш у поїзді з Києва до Вінниці й читаєш. Ти рухаєшся? Сусід навпроти сказав би, що ні. Усю дорогу ти сидиш на тому самому місці, за метр від нього, і жодного разу не зрушуєш із місця. Проте жінка, що стоїть на пероні в Козятині, твердила б, що ти саме пролітаєш повз неї зі швидкістю 160 км/год. І обоє мають рацію.

Угорі ми дивимося на поїзд із перона, унизу — з вагона. Обидві червоні стрілки показують той самий рух, лише побачений щоразу з іншого місця.

Ця ілюзія знайома кожному, хто колись сидів у поїзді, що стоїть на вокзалі: поїзд на сусідній колії повільно рушає, і тобі на мить здається, що рушаєш ти. Лише коли поглянеш на будівлю вокзалу, розумієш, що стоїш. Оку просто потрібне щось, до чого можна віднести рух.

Система відліку

Чи рухається тіло, чи перебуває в спокої, саме по собі визначити не можна. Завжди треба додати, відносно чого. Тіло, відносно якого розглядаємо рух, називаємо тілом відліку. Для сусіда в поїзді це вагон, для жінки на пероні — Земля.

Тіло перебуває в спокої, коли не змінює свого положення відносно тіла відліку. Відносно вагона ти в спокої, відносно Землі рухаєшся. Жінка на пероні, навпаки, відносно Землі стоїть, але відносно тебе від'їжджає назад зі швидкістю 160 км/год. Рух і спокій відносні, тобто залежать від того, звідки ми дивимося.

Щоб положення можна було описати числами, до тіла відліку прикріплюємо систему координат. Вибираємо точку, яку називаємо початком координат, і проводимо з неї осі x та y, як у математиці, коли будуєш графік. На вокзалі початком могло б бути місце біля чергового по станції, вісь x — уздовж колій, а вісь y — перпендикулярно до них. Положення тіла тоді задають два числа: як далеко воно лежить у напрямку однієї осі й як далеко в напрямку другої. У поїзді початок виберемо, наприклад, біля дверей вагона. Тіло відліку разом із системою координат і з годинником, що вимірює час, називається системою відліку.

Твоє положення у вагоні, чорну крапку, так визначає червона відстань уздовж осі x і синя відстань уздовж осі y.

У повсякденному житті системою відліку майже завжди слугує Земля, тому ми її часто навіть не згадуємо. Коли кажемо, що авто їде 90 км/год або що будинок стоїть, маємо на увазі відносно Землі. Але навіть «нерухомий» будинок не перебуває в цілковитому спокої. Земля обертається навколо своєї осі, тож будинок в Україні за добу описує коло завдовжки приблизно 26 000 км. За годину він, отже, долає понад 1 000 км. До того ж Земля обертається навколо Сонця зі швидкістю приблизно 30 км/с. Поки дочитаєш це речення, ти разом із Землею, будинком і диваном пролетиш якихось сто п'ятдесят кілометрів. Та й Сонце не стоїть, воно обертається навколо центра Галактики. Тіла, яке перебуває в спокої «насправді», тобто без уточнення, відносно чого, просто не існує.

Матеріальна точка

Автомобіль на трасі М-05 між Києвом і Уманню має довжину приблизно 4,5 м. Увесь маршрут сягає приблизно 205 км. Якби накреслити всю трасу на папері як лінію завдовжки 20 см, авто на цьому малюнку мало б близько 4 мкм, у шістнадцять разів менше за товщину волосини. Якщо ми хочемо знати, коли авто доїде до Умані, не має значення, яка в нього довжина, де кермо й чи відчинене вікно. Можемо уявити його як єдину точку, що пересувається картою.

Таке спрощення називається матеріальною точкою. Це тіло, розмірами якого в даній ситуації можна знехтувати. Замінюємо його точкою, якій залишаємо масу всього тіла. У фізиці з матеріальними точками рахувати значно легше, ніж зі справжніми тілами, які можуть обертатися, прогинатися чи змінювати форму.

Те, чи можна вважати тіло матеріальною точкою, визначає не саме тіло, а питання, яке ми ставимо. Під час паркування це саме авто матеріальною точкою не є. Там вирішують саме його розміри: чи вміститься воно між двома іншими авто і скільки сантиметрів лишається до бордюру. Земля ж під час обертання навколо Сонця — матеріальна точка. Її діаметр, приблизно 12 700 км, порівняно з відстанню до Сонця, 150 000 000 км, незначний. Але коли нас цікавить зміна дня й ночі, мусимо враховувати, що це куля, яка обертається, і замінити її точкою не вдасться.

У довгій подорожі ліворуч авто досить замінити точкою, а під час паркування праворуч вирішують його розміри.

Траєкторія

Лінію, яку матеріальна точка описує під час руху, називаємо траєкторією. Іноді її навіть видно: літак високо в небі лишає за собою білий конденсаційний слід, лижник — слід на снігу. Траєкторія може бути прямою, колом або будь-якою іншою кривою.

Так само як рух і спокій, від системи відліку залежить і траєкторія. Подивімося на вентиль на передньому колесі велосипеда. Коли велосипедист під час їзди дивиться вниз на переднє колесо, він бачить, що колесо крутиться на місці, а вентиль обертається по колу. Його траєкторія — коло. Подруга, що стоїть на тротуарі й дивиться, як велосипедист проїжджає повз, жодного кола не бачить. Колесо котиться вперед, вентиль рухається разом із ним, і тому креслить низку дуг.

На рисунку вгорі колесо з погляду велосипедиста, тобто в системі відліку, пов'язаній з рамою велосипеда. Помаранчевий вентиль обертається по червоному колу. Унизу те саме колесо в системі відліку, пов'язаній із землею. Сіре пунктирне коло показує, де було колесо, коли вентиль стояв унизу біля дороги. Поки колесо робить один оберт, вентиль креслить червону дугу. Обидві половини рисунка зображують один і той самий рух того самого вентиля, лише з погляду двох різних систем відліку. Анімація показує це крок за кроком: колесо вгорі крутиться, а внизу водночас котиться, і вентиль при цьому креслить обидва сліди одночасно.

Крива, яку вентиль креслить з тротуару, називається циклоїдою. Гострі вістря вона має внизу, в місцях, де вентиль торкається дороги. Колесо по дорозі не ковзає, воно по ній перекочується, тож місце, яке саме торкається землі, на мить стоїть. Вентиль там зупиняється і одразу піднімається, спершу майже вертикально вгору. Якщо точно, вентиль сидить на ободі на кілька сантиметрів ближче до центра, ніж поверхня шини, тому дороги не торкається, і його крива внизу не має вістря, а лише різко загинається. Майже точну циклоїду накреслив би, наприклад, камінець, що застряг у протекторі шини.

Скільки проїжджає колесо за один оберт? Якщо воно не ковзає, по дорозі розмотується весь його обвід, наче метр з рулетки. Довжина кола радіуса r дорівнює 2π · r, де π ≈ 3,14, тож центр колеса за один оберт зміщується рівно на 2π · r. Колесо велосипеда має обвід трохи більше 2 м, тож на одному кілометрі робить майже п'ятсот обертів.

Той самий принцип діє й у поїзді. Якщо поїзд їде сталою швидкістю по прямій колії, а ти у вагоні випустиш яблуко, воно падає просто тобі до ніг, вертикально вниз. Жінка на пероні бачить, що воно падає й водночас їде разом із поїздом уперед, тому для неї воно летить по похилій дузі.

Ліворуч падіння яблука таким, яким його бачиш ти у вагоні, праворуч таким, яким його бачить жінка на пероні.

Шлях

Довжина траєкторії, яку тіло проходить, називається шляхом і позначається s. Шлях — скаляр, тобто число з одиницею. Його вимірює лічильник кілометрів в авто: додає кожен метр, який авто проїжджає, чи їде воно прямо, повертає чи рухається заднім ходом. Тому шлях із часом ніколи не зменшується. Після повернення додому пройдені кілометри ніхто не віднімає.

Переміщення

Турист Петро вийшов із хатини, пройшов 3 км на схід, а потім 4 км на північ. Пройшов він разом 7 км, але від хатини був віддалений лише на 5 км. Стрілка з місця, де він почав, до місця, де закінчив, — це його переміщення. Тепер можемо обидві величини назвати точно: шлях становив 7 км, модуль переміщення — 5 км.

Переміщення зручно записати за допомогою векторів. Положення тіла в системі відліку опишемо стрілкою, що веде від початку координат до місця, де тіло саме перебуває. Ця стрілка називається радіус-вектором і позначається $\overrightarrow{r}$.

Чорна лінія на рисунку — траєкторія, а помаранчевим позначено два місця, через які тіло проходило послідовно. Сині стрілки — радіус-вектори: ${\overrightarrow{r}}_1$ показує, де тіло було на початку, а ${\overrightarrow{r}}_2$ — де було наприкінці. Червоним виділено ділянку траєкторії між ними, тобто шлях, який тіло пройшло. Зелена стрілка, що веде з першого місця до другого, — це переміщення.

Переміщення показує, на скільки змінилося положення. Зміну фізичної величини позначаємо великою грецькою літерою Δ (дельта) перед її позначенням, тому переміщення записується

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$$

Читається «дельта ер», і все разом — це одне позначення, а не добуток. Чому зміна? Подивися на рисунок. Синя стрілка ${\overrightarrow{r}}_1$ і за нею зелена стрілка дають разом синю стрілку ${\overrightarrow{r}}_2$. Так працюють вектори: друга стрілка починається там, де закінчується перша:

$${\overrightarrow{r}}_1+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2$$

Віднімемо ${\overrightarrow{r}}_1$ від обох частин:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$$

Переміщення — це різниця кінцевого й початкового положення. Якби ми початок координат O поставили деінде, обидві сині стрілки змінилися б, але зелена лишилася б такою самою. Переміщення, отже, не залежить від того, де ми оберемо початок координат, а лише від того, де тіло почало і де закінчило. Модуль переміщення, тобто довжину зеленої стрілки, запишемо $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$.

Між шляхом і переміщенням є дві відмінності. Шлях — скаляр, переміщення — вектор, що має і напрямок. А шлях враховує всю дорогу, тоді як переміщення — лише початок і кінець. Чи йшов Петро манівцями, чи дорогою тричі повертався за забутим телефоном, переміщення залишиться тим самим. Найкоротша лінія між двома точками — відрізок, тому модуль переміщення ніколи не перевищує шлях, $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\le s$. Однакові вони лише тоді, коли тіло рухається по прямій і жодного разу не повертає назад.

Коло навколо стадіону

Навколо шкільного стадіону пролягає бігова доріжка у формі кола завдовжки 400 м. Яна розбігається зі старту й оббігає ціле коло. Який шлях вона пройшла і яке її переміщення?

Шлях очевидний, уся траєкторія має довжину 400 м, тож s = 400 м. Але Яна добігла точно туди, звідки вибігла. Початок і кінець збігаються, а стрілка з точки в ту саму точку не має жодної довжини. Це нульовий вектор:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$$

Яна набігала чотириста метрів, а її переміщення нульове. Якби вона весь час простояла на старті, переміщення вийшло б таке саме. Шлях і переміщення, отже, ніколи не плутай.

Тепер Яна пробіжить лише півкола. Шлях — половина від 400 м, тобто s = 200 м. Яна опинилася на другому боці кола, точно навпроти старту. Зелена стрілка переміщення йде через центр кола, тож її довжина — діаметр, тобто двічі радіус r. Радіус знайдемо з довжини кола. Довжина кола дорівнює 2π · r, і ми знаємо, що вона становить 400 м:

$$\begin{array}{rcl}2\pi \cdot r& =& 400\mathrm{м}/:2\pi \\ r& =& \frac{400\mathrm{м}}{2\pi }\end{array}$$

Модуль переміщення — подвоєний радіус. Двійка в чисельнику скоротиться з двійкою в знаменнику:

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =2\cdot r=2\cdot \frac{400\mathrm{м}}{2\pi }\\ & =\frac{400\mathrm{м}}{\pi }\end{array}$$

Замість π підставимо приблизно 3,14:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \frac{400\mathrm{м}}{3,14}\approx 127\mathrm{м}$$

Після півкола Яна віддалена від старту приблизно на 127 м, хоча пробігла 200 м. Радіус доріжки, до речі, вдвічі менший за цю відстань, приблизно 63,7 м.

А як щодо чверті кола? Шлях — чверть від 400 м, тобто s = 100 м. Переміщення цього разу йде не через центр, а навскоси.

З'єднаємо старт і нове місце Яни з центром кола. Обидва сині радіуси перпендикулярні один до одного, бо Яна пробігла чверть кола, і разом із переміщенням утворюють прямокутний трикутник. Радіуси — його катети, а переміщення — гіпотенуза. Скористаємося теоремою Піфагора, як у Петровій прогулянці:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2=r^2+r^2=2\cdot r^2.$$

Добудемо корінь. Корінь із r² дорівнює r, тож

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=\sqrt{2}\cdot r.$$

Підставимо радіус 63,7 м і $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \mathrm{1,414}\cdot 63,7\mathrm{м}\approx 90\mathrm{м}$$

Усі три випадки разом:

Поки шлях увесь час зростає, модуль переміщення спершу зростає, а потім знову спадає до нуля. Найдалі від старту Яна посередині кола, а наприкінці вона знову на старті.

Види рухів

Рухи поділяють за двома ознаками. Перша з них — форма траєкторії. Коли траєкторія — пряма, говоримо про прямолінійний рух. Так рухається ліфт або яблуко, що падає з дерева. Коли траєкторія викривлена, це криволінійний рух. Серед криволінійних рухів найважливіший рух по колу, наприклад рух каруселі чи кінця годинникової стрілки.

Друга ознака — як швидко рухається тіло. Коли за однакові проміжки часу воно проходить завжди однаковий шлях (за кожну секунду однаково, але й за кожну десяту чи соту частку секунди), рух рівномірний. Так їде ескалатор у метро або розкручена карусель. Коли шляхи, пройдені за однакові проміжки часу, різняться, тобто тіло прискорюється або сповільнюється, рух нерівномірний. Яблуко під час падіння прискорюється, ліфт рушає й перед поверхом гальмує, а авто в заторі то повзе, то стоїть.

Обидві ознаки можна довільно комбінувати:

Зверни увагу, що й цей поділ залежить від системи відліку. Вентиль із погляду велосипедиста, що їде зі сталою швидкістю, рухається рівномірно по колу. З тротуару його рух криволінійний і нерівномірний: біля дороги він майже зупиняється, а нагорі мчить майже вдвічі швидше за центр колеса. Нагорі до руху колеса вперед додається рух вентиля навколо центра, який там теж спрямований уперед, тоді як унизу він спрямований назад і майже гасить рух колеса. Вентиль той самий, лише ми дивимося на нього з іншого місця.

Рівномірний і нерівномірний рух ми досі розрізняли лише за тим, які шляхи тіло проходить за однакові проміжки часу. Нам бракує числа, яке сказало б, як швидко їде ескалатор і наскільки швидше мчить вентиль нагорі, ніж унизу. Це число — швидкість, їй присвячена наступна стаття, Швидкість.