Mișcare și repaus

Imaginează-ți că stai în trenul de la București la Constanța și citești. Te miști? Vecinul din fața ta ar spune că nu. Tot drumul stai în același loc, la un metru de el, și nu te-ai clintit nici o dată. Numai că doamna care stă pe peronul din Fetești ar susține că tocmai treci pe lângă ea cu viteza 160 km/h. Și amândoi au dreptate.

Sus ne uităm la tren de pe peron, jos din vagon. Cele două săgeți roșii arată aceeași mișcare, văzută de fiecare dată din alt loc.

Această iluzie o știe oricine a stat vreodată într-un tren oprit în gară: trenul de pe linia alăturată pornește încet și pentru o clipă ți se pare că pornești tu. Abia când te uiți la clădirea gării îți dai seama că stai pe loc. Ochiul are pur și simplu nevoie de ceva la care să raporteze mișcarea.

Sistemul de referință

Dacă un corp se mișcă sau este în repaus nu se poate stabili de la sine. Trebuie să adăugăm mereu față de ce. Corpul față de care judecăm mișcarea îl numim corp de referință. Pentru vecinul din tren este vagonul, pentru doamna de pe peron este Pământul.

Corpul este în repaus când nu își schimbă poziția față de corpul de referință. Față de vagon ești în repaus, față de Pământ te miști. Doamna de pe peron, dimpotrivă, stă față de Pământ, dar față de tine se îndepărtează înapoi cu viteza 160 km/h. Atât mișcarea, cât și repausul sunt relative, adică depind de locul din care ne uităm.

Ca să putem descrie poziția prin numere, atașăm corpului de referință un sistem de coordonate. Alegem un punct, pe care îl numim origine, și din el ducem axele Ox și Oy, ca atunci când desenezi un grafic la matematică. În gară, originea ar putea fi, de exemplu, lângă șeful de gară, axa Ox de-a lungul șinelor și axa Oy perpendiculară pe ele. Poziția corpului este atunci dată de două numere: cât de departe se află în direcția unei axe și cât de departe în direcția celeilalte. În tren alegem originea, să zicem, lângă ușa vagonului. Corpul de referință împreună cu sistemul de coordonate și cu un ceas care măsoară timpul se numește, la un loc, sistem de referință.

Poziția ta în vagon, punctul negru, este astfel determinată de distanța roșie de-a lungul axei Ox și de distanța albastră de-a lungul axei Oy.

În viața de zi cu zi, sistemul de referință este aproape întotdeauna Pământul și de aceea adesea nici nu-l mai pomenim. Când spunem că o mașină merge cu 90 km/h sau că o casă stă pe loc, ne referim la Pământ. Dar nici casa „nemișcată” nu este în repaus cu totul. Pământul se rotește în jurul axei sale, așa că o casă din România descrie într-o zi un cerc lung de aproximativ 28.000 km. Într-o oră parcurge deci peste 1.000 km. În plus, Pământul se mișcă în jurul Soarelui cu o viteză de aproximativ 30 km/s. Până termini de citit fraza asta, ai zburat odată cu Pământul, cu casa și cu canapeaua vreo o sută cincizeci de kilometri. Dar nici Soarele nu stă în repaus, ci se mișcă în jurul centrului Galaxiei. Un corp în repaus „cu adevărat”, adică fără să precizăm față de ce, pur și simplu nu există.

Punctul material

O mașină pe autostrada A2 dintre București și Constanța are aproximativ 4,5 m lungime. Tot traseul măsoară cam 205 km. Dacă ai desena toată autostrada pe hârtie ca o linie lungă de 20 cm, mașina ar măsura în desenul acela cam 4 µm, de șaisprezece ori mai puțin decât grosimea unui fir de păr. Dacă vrem să știm când ajunge mașina la Constanța, nu contează cât de lungă este, unde are volanul și dacă are geamul deschis. Ne-o putem închipui ca pe un singur punct care se deplasează pe hartă.

Unei astfel de simplificări i se spune punct material. Este un corp ale cărui dimensiuni le putem neglija în situația dată. Îl înlocuim cu un punct căruia îi lăsăm masa întregului corp. În fizică se calculează cu puncte materiale mult mai ușor decât cu corpuri reale, care se pot roti, încovoia sau schimba forma.

Dacă putem considera un corp punct material nu decide însă corpul în sine, ci întrebarea pe care ne-o punem. La parcare, aceeași mașină nu mai este punct material. Acolo contează tocmai dimensiunile ei: dacă încape între două mașini și câți centimetri mai rămân până la bordură. Pământul este, la rândul lui, punct material în mișcarea sa în jurul Soarelui. Diametrul lui, de aproximativ 12.700 km, este neglijabil față de distanța până la Soare, 150.000.000 km. Dar când ne interesează succesiunea zilei și a nopții, trebuie să ținem cont că este o sferă în rotație și nu îl putem înlocui cu un punct.

Pe un drum lung, în stânga, ajunge să înlocuim mașina cu un punct, la parcare, în dreapta, contează dimensiunile ei.

Traiectoria

Linia pe care o descrie punctul material în mișcare o numim traiectorie. Uneori o și vedem: avionul de pe cerul înalt lasă în urmă o dâră albă de condensare, schiorul lasă o urmă în zăpadă. Traiectoria poate fi o dreaptă, un cerc sau orice altă curbă.

La fel ca mișcarea și repausul, și traiectoria depinde de sistemul de referință. Să ne uităm la ventilul de pe roata din față a unei biciclete. Când ciclistul se uită în timpul mersului în jos la roata din față, vede că roata se învârte pe loc, iar ventilul se rotește în cerc. Traiectoria lui este un cerc. O prietenă care stă pe trotuar și se uită cum trece ciclistul nu vede însă niciun cerc. Roata se rostogolește înainte, ventilul înaintează odată cu ea și desenează astfel un șir de arce.

În figură, sus, este roata din punctul de vedere al ciclistului, adică într-un sistem de referință legat de cadrul bicicletei. Ventilul portocaliu se rotește pe cercul roșu. Jos este aceeași roată într-un sistem de referință legat de sol. Cercul gri punctat arată unde era roata când ventilul se afla jos, lângă șosea. Până când roata face o rotație, ventilul desenează arcul roșu. Ambele jumătăți ale figurii redau aceeași mișcare a aceluiași ventil, doar din punctul de vedere al a două sisteme de referință diferite. Animația arată asta pas cu pas: roata se învârte sus și în același timp se rostogolește jos, iar ventilul desenează simultan ambele urme.

Curba pe care o desenează ventilul de pe trotuar se numește cicloidă. Are vârfurile jos, în locurile în care ventilul atinge șoseaua. Roata nu alunecă pe șosea, ci se rostogolește pe ea, așa că locul care atinge chiar atunci pământul stă o clipă pe loc. Ventilul se oprește acolo și imediat se ridică, la început aproape vertical în sus. Pentru a fi exacți, ventilul se află pe jantă la câțiva centimetri mai aproape de centru decât suprafața anvelopei, deci nu atinge șoseaua, iar curba lui este jos, în loc de vârfuri, doar brusc curbată. O cicloidă aproape exactă ar desena, de exemplu, o pietricică prinsă în profilul anvelopei.

Cât parcurge roata într-o rotație? Dacă nu alunecă, își desfășoară pe șosea toată circumferința, ca banda unei rulete. Lungimea cercului de rază r este 2π · r, unde π ≈ 3,14, deci centrul roții se deplasează într-o rotație exact cu 2π · r. Circumferința roții de bicicletă are ceva peste 2 m, așa că pe un kilometru face aproape cinci sute de rotații.

Același principiu este valabil și în tren. Dacă trenul merge cu viteză constantă pe o linie dreaptă și tu scapi în vagon un măr, el cade direct la picioarele tale, vertical în jos. Doamna de pe peron îl vede căzând și în același timp înaintând odată cu trenul, așa că pentru ea zboară pe un arc oblic.

În stânga este căderea mărului așa cum o vezi tu în vagon, în dreapta așa cum o vede doamna de pe peron.

Distanța parcursă

Lungimea traiectoriei pe care o parcurge corpul se numește distanță parcursă și se notează s. Distanța parcursă este un scalar, adică un număr cu unitate de măsură. O măsoară kilometrajul mașinii: adună fiecare metru pe care îl parcurge mașina, indiferent dacă merge drept, virează sau dă înapoi. De aceea distanța parcursă nu scade niciodată în timp. După ce te întorci acasă, nimeni nu-ți scade kilometrii parcurși.

Deplasarea

Turistul Mihai a plecat de la cabană, a mers 3 km spre est și apoi 4 km spre nord. A parcurs în total 7 km, dar se afla la doar 5 km de cabană. Săgeata trasă din locul de unde a pornit până în locul unde s-a oprit este deplasarea lui. Acum putem numi cu exactitate ambele mărimi: distanța parcursă a fost 7 km, modulul deplasării 5 km.

Deplasarea se scrie comod cu ajutorul vectorilor. Poziția corpului în sistemul de referință o descriem printr-o săgeată care duce din origine în locul în care se află corpul chiar atunci. Acestei săgeți i se spune vector de poziție și se notează $\overrightarrow{r}$.

Linia neagră din figură este traiectoria, iar cu portocaliu sunt marcate două locuri prin care a trecut corpul pe rând. Săgețile albastre sunt vectorii de poziție: ${\overrightarrow{r}}_1$ arată unde era corpul la început, iar ${\overrightarrow{r}}_2$ unde era la sfârșit. Cu roșu este evidențiat tronsonul de traiectorie dintre ele, adică distanța parcursă de corp. Săgeata verde, care duce din primul loc în al doilea, este deplasarea.

Deplasarea spune cu cât s-a schimbat poziția. Schimbarea unei mărimi fizice o notăm cu litera grecească mare Δ (delta) în fața simbolului ei și de aceea deplasarea se scrie

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$$

Se citește „delta r” și, luat împreună, este un singur simbol, nu un produs. De ce schimbare? Uită-te la figură. Săgeata albastră ${\overrightarrow{r}}_1$ și după ea săgeata verde dau împreună săgeata albastră ${\overrightarrow{r}}_2$. Așa funcționează la vectori, a doua săgeată începe unde se termină prima:

$${\overrightarrow{r}}_1+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2$$

Scădem ${\overrightarrow{r}}_1$ din ambele părți:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$$

Deplasarea este diferența dintre poziția finală și cea inițială. Dacă am pune originea O în altă parte, ambele săgeți albastre s-ar schimba, dar cea verde ar rămâne aceeași. Deplasarea nu depinde deci de locul în care alegem originea, ci doar de locul unde a început corpul și de locul unde s-a oprit. Modulul deplasării, adică lungimea săgeții verzi, îl scriem $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$.

Între distanța parcursă și deplasare sunt două deosebiri. Distanța parcursă este un scalar, deplasarea un vector, care are și direcție. În plus, distanța parcursă ține cont de tot drumul, pe când deplasarea doar de început și de sfârșit. Fie că Mihai a mers pe ocolite, fie că pe drum s-a întors de trei ori după telefonul uitat, deplasarea rămâne aceeași. Cea mai scurtă legătură dintre două puncte este segmentul și de aceea modulul deplasării nu depășește niciodată distanța parcursă, $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\le s$. Sunt la fel de mari numai când corpul se mișcă pe o dreaptă și nu se întoarce nici o dată înapoi.

Un tur în jurul terenului

În jurul terenului de sport al școlii se află o pistă de alergare în formă de cerc, lungă de 400 m. Maria o ia la fugă de la start și face un tur întreg. Ce distanță a parcurs și care este deplasarea ei?

Distanța parcursă e limpede, toată traiectoria are 400 m, deci s = 400 m. Dar Maria a ajuns exact unde a plecat. Începutul și sfârșitul coincid, iar o săgeată dintr-un punct în același punct nu are nicio lungime. Este vectorul nul:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$$

Maria a alergat patru sute de metri și totuși deplasarea ei este nulă. Dacă nu s-ar fi mișcat deloc de la start, deplasarea ar fi ieșit la fel. Așadar, nu confunda niciodată distanța parcursă cu deplasarea.

Acum Maria aleargă doar jumătate de tur. Distanța parcursă este jumătate din 400 m, adică s = 200 m. Maria a ajuns pe partea cealaltă a cercului, diametral opus startului. Săgeata verde a deplasării trece prin centrul cercului, deci lungimea ei este diametrul, adică de două ori raza r. Raza o aflăm din lungimea cercului. Lungimea cercului este 2π · r și știm că măsoară 400 m:

$$\begin{array}{rcl}2\pi \cdot r& =& 400\mathrm{m}/:2\pi \\ r& =& \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\end{array}$$

Modulul deplasării este dublul razei. Cifra 2 de la numărător se simplifică cu cifra 2 de la numitor:

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =2\cdot r=2\cdot \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\\ & =\frac{400\mathrm{m}}{\pi }\end{array}$$

Pe π îl înlocuim cu aproximativ 3,14:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \frac{400\mathrm{m}}{3,14}\approx 127\mathrm{m}$$

După jumătate de tur, Maria se află la aproximativ 127 m de start, deși a alergat 200 m. Raza pistei este, apropo, jumătate din asta, aproximativ 63,7 m.

Și un sfert de tur? Distanța parcursă este un sfert din 400 m, adică s = 100 m. Deplasarea de data aceasta nu trece prin centru, ci oblic.

Unim atât startul, cât și noul loc al Mariei cu centrul cercului. Cele două raze albastre sunt perpendiculare una pe alta, pentru că Maria a alergat un sfert din cerc, și formează cu deplasarea un triunghi dreptunghic. Razele sunt catetele lui, iar deplasarea ipotenuza. Folosim teorema lui Pitagora, ca la plimbarea lui Mihai:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2=r^2+r^2=2\cdot r^2.$$

Extragem rădăcina pătrată. Rădăcina pătrată din r² este r, deci

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=\sqrt{2}\cdot r.$$

Înlocuim raza 63,7 m și $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \mathrm{1,414}\cdot 63,7\mathrm{m}\approx 90\mathrm{m}$$

Toate cele trei cazuri la un loc:

În timp ce distanța parcursă tot crește, modulul deplasării crește mai întâi și apoi scade din nou până la zero. Cel mai departe de start se află Maria la jumătatea turului, iar la sfârșit este din nou la start.

Tipuri de mișcări

Mișcările se împart după două criterii. Primul este forma traiectoriei. Când traiectoria este o dreaptă, vorbim de mișcare rectilinie. Așa se mișcă liftul sau un măr care cade din copac. Când traiectoria este curbată, este vorba de mișcare curbilinie. Dintre mișcările curbilinii cea mai importantă este mișcarea pe cerc, de exemplu la un carusel sau la vârful acului unui ceas.

Al doilea criteriu este cât de repede se mișcă corpul. Când în intervale de timp la fel de lungi parcurge mereu aceeași distanță (în fiecare secundă la fel, dar și în fiecare zecime sau sutime de secundă), mișcarea este uniformă. Așa merge scara rulantă de la metrou sau un carusel pus în rotație. Când distanțele parcurse în intervale de timp la fel de lungi diferă, deci corpul accelerează sau încetinește, mișcarea este neuniformă. Mărul accelerează în cădere, liftul pornește și frânează înainte de etaj, iar mașina din coloană când se târăște, când stă pe loc.

Cele două criterii se pot combina liber:

Atenție, și această împărțire depinde de sistemul de referință. Ventilul se mișcă, din punctul de vedere al ciclistului care merge cu viteză constantă, uniform pe un cerc. De pe trotuar, mișcarea lui este curbilinie și neuniformă: lângă șosea aproape se oprește, în timp ce sus aleargă de aproape două ori mai repede decât centrul roții. Sus, la mișcarea roții înainte se adaugă mișcarea ventilului în jurul centrului, care acolo este îndreptată tot înainte, pe când jos este îndreptată înapoi și aproape anulează mișcarea roții. Ventilul este mereu același, doar că ne uităm la el din alt loc.

Mișcarea uniformă și cea neuniformă le-am recunoscut până acum doar după distanțele pe care le parcurge corpul în intervale de timp la fel de lungi. Ne lipsește un număr care să spună cât de repede merge scara rulantă și cu cât aleargă mai repede ventilul sus decât jos. Acest număr este viteza și îi este dedicat articolul următor, Viteza.