Beweging en rust

Stel je voor dat je in de trein van Praag naar Brno zit en een boek leest. Beweeg je? De buurman tegenover je zou zeggen van niet. De hele reis zit je op dezelfde plek, een meter bij hem vandaan, en je hebt je geen moment verroerd. Maar een mevrouw die op het perron in Pardubice staat, zou beweren dat je op dat moment met 160 km/h langs haar heen vliegt. En ze hebben allebei gelijk.

Boven kijken we vanaf het perron naar de trein, onder vanuit de wagon. Beide rode pijlen laten dezelfde beweging zien, telkens vanaf een andere plek bekeken.

Deze illusie kent iedereen die weleens in een stilstaande trein op het station zat: de trein op het naastgelegen spoor zet zich langzaam in beweging en heel even lijkt het alsof jij wegrijdt. Pas als je naar het stationsgebouw kijkt, merk je dat je stilstaat. Het oog heeft nu eenmaal iets nodig om de beweging aan te relateren.

Referentiestelsel

Of een voorwerp beweegt of in rust is, kun je niet op zichzelf bepalen. We moeten altijd aangeven ten opzichte van wat. Het voorwerp ten opzichte waarvan we de beweging beoordelen, noemen we het referentielichaam. Voor de buurman in de trein is dat de wagon, voor de mevrouw op het perron de aarde.

Een voorwerp is in rust als het zijn plaats ten opzichte van het referentielichaam niet verandert. Ten opzichte van de wagon ben je in rust, ten opzichte van de aarde beweeg je. De mevrouw op het perron staat daarentegen stil ten opzichte van de aarde, maar ten opzichte van jou schuift ze met 160 km/h achteruit. Beweging en rust zijn relatief, dus afhankelijk van waar we vandaan kijken.

Om de plaats met getallen te kunnen beschrijven, koppelen we aan het referentielichaam een assenstelsel. We kiezen een punt, de oorsprong, en trekken daarvandaan de x-as en de y-as, zoals wanneer je in de wiskunde een grafiek tekent. Op het station zou de oorsprong bijvoorbeeld bij de stationschef kunnen liggen, met de x-as langs de sporen en de y-as loodrecht daarop. De plaats van een voorwerp is dan gegeven door twee getallen: hoe ver het ligt in de richting van de ene as en hoe ver in de richting van de andere. In de trein kiezen we de oorsprong bijvoorbeeld bij de deur van de wagon. Het referentielichaam samen met een assenstelsel en een klok die de tijd meet, heet samen een referentiestelsel.

Jouw plaats in de wagon, de zwarte stip, wordt dus bepaald door de rode afstand langs de x-as en de blauwe afstand langs de y-as.

In het dagelijks leven vormt bijna altijd de aarde het referentiestelsel, en daarom noemen we haar vaak niet eens. Als we zeggen dat een auto 90 km/h rijdt of dat een huis stilstaat, bedoelen we ten opzichte van de aarde. Maar ook een “onbeweeglijk” huis staat niet helemaal stil. De aarde draait om haar as, dus een huis in Tsjechië beschrijft per dag een cirkel met een lengte van ongeveer 26 000 km. Per uur legt het dus meer dan 1000 km af. Daarbij draait de aarde met ongeveer 30 km/s om de zon. Voordat je deze zin uit hebt, ben je met de aarde, je huis en je bank zo'n honderdvijftig kilometer verder. Maar ook de zon staat niet stil, ze draait om het centrum van de Melkweg. Een voorwerp dat “echt” in rust is, dus zonder aan te geven ten opzichte van wat, bestaat gewoon niet.

Puntmassa

Een auto op de snelweg D1 tussen Praag en Brno is ongeveer 4,5 m lang. Het hele traject meet ruwweg 205 km. Als je de hele snelweg op papier tekent als een lijn van 20 cm, zou de auto op die tekening ongeveer 4 µm meten, zestien keer zo klein als de dikte van een haar. Als we willen weten wanneer de auto in Brno aankomt, maakt het niet uit hoe lang hij is, waar het stuur zit en of het raam openstaat. We kunnen hem zien als één punt dat zich over de kaart verplaatst.

Zo'n vereenvoudiging heet een puntmassa. Het is een voorwerp waarvan we de afmetingen in de gegeven situatie kunnen verwaarlozen. We vervangen het door een punt waaraan we de massa van het hele voorwerp laten. In de natuurkunde reken je veel gemakkelijker met puntmassa's dan met echte voorwerpen, die kunnen draaien, buigen of van vorm veranderen.

Of we een voorwerp als puntmassa mogen beschouwen, wordt echter niet door het voorwerp zelf bepaald, maar door de vraag die we stellen. Bij het inparkeren is dezelfde auto bijvoorbeeld geen puntmassa. Daar zijn juist de afmetingen beslissend: of hij tussen twee andere auto's past en hoeveel centimeter er overblijft tot de stoeprand. De aarde is bij haar baan om de zon weer wel een puntmassa. Haar diameter, ongeveer 12 700 km, is verwaarloosbaar ten opzichte van de afstand tot de zon, 150 000 000 km. Maar als we geïnteresseerd zijn in de wisseling van dag en nacht, moeten we rekening houden met het feit dat ze een draaiende bol is, en dan kunnen we haar niet door een punt vervangen.

Bij de lange reis links volstaat het de auto door een punt te vervangen, bij het inparkeren rechts zijn zijn afmetingen beslissend.

Baan

De lijn die een puntmassa tijdens de beweging beschrijft, noemen we de baan. Soms zien we hem zelfs: een vliegtuig hoog aan de hemel laat een witte condensstreep achter, een skiër laat een spoor in de sneeuw na. De baan kan een rechte lijn zijn, een cirkel of een andere kromme.

Net als beweging en rust hangt ook de baan af van het referentiestelsel. Neem het ventiel op het voorwiel van een fiets. Als de fietser tijdens het fietsen omlaag kijkt naar het voorwiel, ziet hij dat het wiel op zijn plaats draait en het ventiel rondjes maakt. De baan van het ventiel is een cirkel. Een vriendin die op het trottoir staat en kijkt hoe de fietser voorbijrijdt, ziet echter geen cirkel. Het wiel rolt naar voren, het ventiel schuift mee en tekent zo een rij bogen.

In de afbeelding zie je boven het wiel vanuit de fietser, dus in het referentiestelsel dat aan het frame van de fiets vastzit. Het oranje ventiel draait rond over de rode cirkel. Onder staat hetzelfde wiel in het referentiestelsel dat aan de grond vastzit. De grijze gestippelde cirkel laat zien waar het wiel was toen het ventiel onderaan bij de weg stond. Voordat het wiel één keer is rondgedraaid, tekent het ventiel de rode boog. Beide helften van de afbeelding tonen dezelfde beweging van hetzelfde ventiel, alleen vanuit twee verschillende referentiestelsels. De animatie laat het stap voor stap zien: het wiel draait boven rond en rolt onder tegelijk vooruit, en het ventiel tekent daarbij beide sporen tegelijk.

De kromme die het ventiel vanaf het trottoir tekent, heet een cycloïde. Hij heeft punten onderaan, op de plaatsen waar het ventiel de weg raakt. Het wiel glijdt niet over de weg, maar rolt eroverheen, dus het punt dat op dat moment de grond raakt, staat even stil. Het ventiel stopt daar en gaat meteen weer omhoog, eerst bijna loodrecht. Strikt genomen zit het ventiel op de velg enkele centimeters dichter bij het midden dan het oppervlak van de band, dus het raakt de weg niet en zijn kromme heeft onderaan in plaats van punten alleen een scherpe bocht. Een steentje dat vastzit in het profiel van de band, zou bijvoorbeeld een bijna precieze cycloïde tekenen.

Hoeveel legt het wiel in één omwenteling af? Als het niet glijdt, rolt zijn hele omtrek zich over de weg af als een meter van een rolmaat. De omtrek van een cirkel met straal r is 2π · r, waarbij π ≈ 3,14, dus het midden van het wiel verplaatst zich in één omwenteling precies over 2π · r. Een fietswiel heeft een omtrek van iets meer dan 2 m, dus op één kilometer maakt het bijna vijfhonderd omwentelingen.

Hetzelfde principe geldt in de trein. Als de trein met constante snelheid over een recht stuk spoor rijdt en je in de wagon een appel laat vallen, valt hij recht naar je voeten, verticaal omlaag. De mevrouw op het perron ziet hem vallen en tegelijk met de trein vooruit schuiven, dus voor haar vliegt hij over een schuine boog.

Links valt de appel zoals jij hem in de wagon ziet, rechts zoals de mevrouw op het perron hem ziet.

Afgelegde weg

De lengte van de baan die een voorwerp aflegt, heet de afgelegde weg en wordt geschreven als s. De afgelegde weg is een scalair, dus een getal met een eenheid. De kilometerteller in de auto meet hem: hij telt elke meter die de auto aflegt, of hij nu rechtdoor rijdt, een bocht maakt of achteruitrijdt. De afgelegde weg wordt daarom met de tijd nooit kleiner. Als je thuiskomt, trekt niemand de gelopen kilometers van je af.

Verplaatsing

Wandelaar Pieter vertrok bij de hut, liep 3 km naar het oosten en daarna 4 km naar het noorden. In totaal liep hij 7 km, maar was maar 5 km van de hut verwijderd. De pijl van de plek waar hij begon naar de plek waar hij eindigde is zijn verplaatsing. Nu kunnen we beide grootheden precies benoemen: de afgelegde weg was 7 km, de grootte van de verplaatsing 5 km.

De verplaatsing schrijf je handig op met vectoren. De plaats van een voorwerp in het referentiestelsel beschrijven we met een pijl die van de oorsprong naar de plek loopt waar het voorwerp zich op dat moment bevindt. Die pijl heet de plaatsvector en wordt geschreven als $\overrightarrow{r}$.

De zwarte lijn in de afbeelding is de baan en oranje zijn twee plaatsen aangegeven waar het voorwerp achtereenvolgens langskwam. De blauwe pijlen zijn plaatsvectoren: ${\overrightarrow{r}}_1$ laat zien waar het voorwerp aan het begin was en ${\overrightarrow{r}}_2$ waar het aan het einde was. Rood is het stuk van de baan daartussen gemarkeerd, dus de afgelegde weg van het voorwerp. De groene pijl, die van de eerste plek naar de tweede loopt, is de verplaatsing.

De verplaatsing geeft aan hoeveel de plaats is veranderd. Een verandering van een natuurkundige grootheid geven we aan met de Griekse hoofdletter Δ (delta) voor het symbool, en daarom schrijf je de verplaatsing als

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$$

Je leest dat als “delta r” en het geheel is één symbool, geen product. Waarom verandering? Kijk naar de afbeelding. De blauwe pijl ${\overrightarrow{r}}_1$ en daarachter de groene pijl geven samen de blauwe pijl ${\overrightarrow{r}}_2$. Zo werkt het bij vectoren, de tweede pijl begint waar de eerste eindigt:

$${\overrightarrow{r}}_1+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2$$

We trekken aan beide kanten ${\overrightarrow{r}}_1$ af:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$$

De verplaatsing is het verschil tussen de eind- en de beginplaats. Als we de oorsprong O ergens anders zouden leggen, zouden beide blauwe pijlen veranderen, maar de groene zou hetzelfde blijven. De verplaatsing hangt dus niet af van waar we de oorsprong kiezen, alleen van waar het voorwerp begon en waar het eindigde. De grootte van de verplaatsing, dus de lengte van de groene pijl, schrijven we als $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$.

Tussen afgelegde weg en verplaatsing zijn twee verschillen. De afgelegde weg is een scalair, de verplaatsing een vector, die ook een richting heeft. En de afgelegde weg telt de hele route, terwijl de verplaatsing alleen begin en einde telt. Of Pieter nu een omweg nam of onderweg drie keer terugliep om zijn vergeten telefoon te halen, de verplaatsing blijft hetzelfde. De kortste verbinding tussen twee punten is een lijnstuk, en daarom wordt de grootte van de verplaatsing nooit groter dan de afgelegde weg, $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\le s$. Ze zijn alleen even groot als het voorwerp zich langs een rechte lijn beweegt en geen enkele keer omkeert.

Een rondje om het sportveld

Om het schoolsportveld ligt een hardloopbaan in de vorm van een cirkel, 400 m lang. Julia begint te rennen bij de start en loopt een hele ronde. Welke weg heeft ze afgelegd en wat is haar verplaatsing?

De afgelegde weg is duidelijk, de hele baan is 400 m lang, dus s = 400 m. Maar Julia is precies aangekomen waar ze vertrok. Begin en einde vallen samen en een pijl van een punt naar hetzelfde punt heeft geen lengte. Het is de nulvector:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$$

Julia heeft vierhonderd meter gerend en toch is haar verplaatsing nul. Als ze de hele tijd bij de start was blijven staan, zou de verplaatsing hetzelfde zijn. Verwar afgelegde weg en verplaatsing dus nooit.

Nu rent Julia maar een halve ronde. De afgelegde weg is de helft van 400 m, dus s = 200 m. Julia is aan de andere kant van de cirkel terechtgekomen, precies tegenover de start. De groene pijl van de verplaatsing loopt door het middelpunt van de cirkel, dus zijn lengte is de middellijn, twee keer de straal r. De straal bepalen we uit de omtrek. De omtrek van de cirkel is 2π · r en we weten dat hij 400 m meet:

$$\begin{array}{rcl}2\pi \cdot r& =& 400\mathrm{m}/:2\pi \\ r& =& \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\end{array}$$

De grootte van de verplaatsing is twee keer de straal. De twee in de teller valt weg tegen de twee in de noemer:

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =2\cdot r=2\cdot \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\\ & =\frac{400\mathrm{m}}{\pi }\end{array}$$

Voor π vullen we ongeveer 3,14 in:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \frac{400\mathrm{m}}{3,14}\approx 127\mathrm{m}$$

Na een halve ronde is Julia ongeveer 127 m van de start verwijderd, hoewel ze 200 m heeft gerend. De straal van de baan is overigens de helft daarvan, ongeveer 63,7 m.

En een kwart ronde? De afgelegde weg is een kwart van 400 m, dus s = 100 m. De verplaatsing loopt deze keer niet door het middelpunt, maar schuin.

We verbinden zowel de start als Julia's nieuwe plek met het middelpunt van de cirkel. Beide blauwe stralen staan loodrecht op elkaar, omdat Julia een kwart van de cirkel heeft gerend, en vormen samen met de verplaatsing een rechthoekige driehoek. De stralen zijn zijn rechthoekszijden en de verplaatsing de schuine zijde. We gebruiken de stelling van Pythagoras zoals bij Pieters wandeling:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2=r^2+r^2=2\cdot r^2.$$

We nemen de wortel. De wortel uit r² is r, dus

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=\sqrt{2}\cdot r.$$

We vullen de straal 63,7 m in en $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \mathrm{1,414}\cdot 63,7\mathrm{m}\approx 90\mathrm{m}$$

Alle drie de gevallen bij elkaar:

Terwijl de afgelegde weg steeds groter wordt, neemt de grootte van de verplaatsing eerst toe en daarna weer af tot nul. Het verst van de start is Julia halverwege de ronde en aan het einde is ze weer bij de start.

Soorten bewegingen

Bewegingen worden volgens twee criteria ingedeeld. Het eerste is de vorm van de baan. Als de baan een rechte lijn is, spreken we van een rechtlijnige beweging. Zo beweegt een lift of een appel die van een boom valt. Als de baan gekromd is, is het een kromlijnige beweging. Van de kromlijnige bewegingen is de beweging langs een cirkel het belangrijkst, bijvoorbeeld in een draaimolen of bij de punt van een wijzer van een klok.

Het tweede criterium is hoe snel het voorwerp beweegt. Als het in even lange tijdsintervallen steeds dezelfde weg aflegt (in elke seconde evenveel, maar ook in elke tiende of honderdste seconde), is de beweging eenparig. Zo beweegt een roltrap in het metrostation of een draaiende draaimolen. Als de wegen die in even lange tijdsintervallen worden afgelegd verschillen, het voorwerp dus versnelt of vertraagt, is de beweging niet-eenparig. Een appel versnelt bij het vallen, een lift trekt op en remt vlak voor de verdieping af, en een auto in de file kruipt een tijdje en staat dan weer stil.

Beide criteria kunnen we naar believen combineren:

Pas op, ook deze indeling hangt af van het referentiestelsel. Gezien vanuit de fietser, die met constante snelheid rijdt, beweegt het ventiel eenparig over een cirkel. Vanaf het trottoir is zijn beweging kromlijnig en niet-eenparig: bij de weg staat het bijna stil, terwijl het bovenaan bijna twee keer zo snel gaat als het midden van het wiel. Bovenaan komt bij de beweging van het wiel naar voren namelijk de beweging van het ventiel om het midden, die daar ook naar voren wijst, terwijl hij onderaan naar achteren wijst en de beweging van het wiel bijna opheft. Het ventiel is nog steeds hetzelfde, we kijken er alleen vanaf een andere plek naar.

Eenparige en niet-eenparige beweging hebben we tot nu toe alleen herkend aan de wegen die een voorwerp in even lange tijdsintervallen aflegt. Er ontbreekt een getal dat vertelt hoe snel de roltrap rijdt en hoeveel sneller het ventiel bovenaan gaat dan onderaan. Dat getal is de snelheid en daarover gaat het volgende artikel, Snelheid.