Mouvement et repos

Imagine que tu es assis dans le train de Paris au Mans et que tu lis. Est-ce que tu bouges ? Ton voisin d’en face dirait que non. Pendant tout le trajet, tu es assis au même endroit, à un mètre de lui, et tu n’as pas bougé une seule fois. Mais la dame qui attend sur le quai de la gare de Chartres affirmerait que tu passes devant elle à 160 km/h. Et tous les deux ont raison.

En haut, nous regardons le train depuis le quai, en bas depuis le wagon. Les deux flèches rouges montrent le même mouvement, vu à chaque fois d’un autre endroit.

Tous ceux qui ont déjà été assis dans un train à l’arrêt en gare connaissent cette illusion : le train de la voie voisine démarre doucement et, pendant un instant, tu as l’impression que c’est toi qui démarres. Ce n’est qu’en regardant le bâtiment de la gare que tu constates que tu es immobile. L’œil a simplement besoin de quelque chose auquel rapporter le mouvement.

Référentiel

On ne peut pas dire dans l’absolu si un corps est en mouvement ou au repos. Il faut toujours préciser par rapport à quoi. Le corps par rapport auquel nous jugeons le mouvement s’appelle le corps de référence. Pour le voisin dans le train, c’est le wagon, pour la dame sur le quai, la Terre.

Un corps est au repos quand il ne change pas de position par rapport au corps de référence. Par rapport au wagon, tu es au repos, par rapport à la Terre, tu es en mouvement. La dame sur le quai, au contraire, est immobile par rapport à la Terre, mais par rapport à toi, elle recule à 160 km/h. Le mouvement et le repos sont relatifs, c’est-à-dire qu’ils dépendent de l’endroit d’où l’on regarde.

Pour pouvoir décrire la position avec des nombres, nous fixons au corps de référence un repère. Nous choisissons un point, appelé origine, et nous en menons les axes x et y, comme quand tu traces un graphique en mathématiques. Dans la gare, l’origine pourrait être par exemple près du chef de gare, l’axe x le long des voies et l’axe y perpendiculaire à elles. La position du corps est alors donnée par deux nombres : à quelle distance il se trouve dans la direction d’un axe et à quelle distance dans la direction de l’autre. Dans le train, nous choisissons l’origine par exemple près de la porte du wagon. Le corps de référence, le repère et une horloge qui mesure le temps forment ensemble un référentiel.

Ta position dans le wagon, le point noir, est ainsi déterminée par la distance rouge le long de l’axe x et la distance bleue le long de l’axe y.

Dans la vie courante, le référentiel est presque toujours la Terre, et c’est pourquoi nous ne la mentionnons souvent même pas. Quand nous disons qu’une voiture roule à 90 km/h ou qu’une maison est immobile, nous voulons dire par rapport à la Terre. Mais même une maison « immobile » n’est pas tout à fait au repos. La Terre tourne autour de son axe, donc une maison à Paris décrit en un jour un cercle d’environ 26 000 km. En une heure, elle parcourt donc plus de 1 000 km. De plus, la Terre tourne autour du Soleil à environ 30 km/s. Le temps de lire cette phrase, tu as parcouru avec la Terre, ta maison et ton canapé quelque cent cinquante kilomètres. Et le Soleil non plus n’est pas au repos, il tourne autour du centre de la Galaxie. Un corps au repos « pour de vrai », c’est-à-dire sans préciser par rapport à quoi, n’existe tout simplement pas.

Point matériel

Une voiture sur l’autoroute A11 entre Paris et Le Mans mesure environ 4,5 m de long. Le trajet entier fait à peu près 205 km. Si tu dessinais toute l’autoroute sur une feuille comme une ligne de 20 cm, la voiture mesurerait sur ce dessin environ 4 µm, seize fois moins que l’épaisseur d’un cheveu. Si nous voulons savoir quand la voiture arrivera au Mans, sa longueur n’a pas d’importance, ni l’endroit où se trouve le volant, ni le fait que la vitre soit ouverte. Nous pouvons l’imaginer comme un seul point qui se déplace sur la carte.

Une telle simplification s’appelle un point matériel. C’est un corps dont nous pouvons négliger les dimensions dans la situation donnée. Nous le remplaçons par un point auquel nous laissons la masse du corps entier. En physique, il est beaucoup plus facile de calculer avec des points matériels qu’avec de vrais corps, qui peuvent tourner, se déformer ou changer de forme.

Ce n’est cependant pas le corps lui-même qui décide si nous pouvons le considérer comme un point matériel, mais la question que nous nous posons. Quand on se gare, la même voiture n’est pas un point matériel. Ce sont alors justement ses dimensions qui comptent : si elle tient entre deux autres voitures et combien de centimètres il reste jusqu’au trottoir. La Terre, elle, est un point matériel quand elle tourne autour du Soleil. Son diamètre, environ 12 700 km, est négligeable devant la distance au Soleil, 150 000 000 km. Mais quand nous nous intéressons à l’alternance du jour et de la nuit, nous devons tenir compte du fait que c’est une boule en rotation, et on ne peut pas la remplacer par un point.

Sur un long trajet, à gauche, il suffit de remplacer la voiture par un point, quand on se gare, à droite, ce sont ses dimensions qui comptent.

Trajectoire

La ligne que décrit un point matériel pendant son mouvement s’appelle la trajectoire. Parfois nous la voyons même : un avion très haut dans le ciel laisse derrière lui une traînée blanche de condensation, un skieur une trace dans la neige. La trajectoire peut être une droite, un cercle ou n’importe quelle autre courbe.

Comme le mouvement et le repos, la trajectoire dépend du référentiel. Regardons la valve de la roue avant d’un vélo. Quand le cycliste, en roulant, baisse les yeux vers la roue avant, il voit que la roue tourne sur place et que la valve fait des tours. Sa trajectoire est un cercle. Mais une amie qui se tient sur le trottoir et regarde passer le cycliste ne voit aucun cercle. La roue avance en roulant, la valve se déplace avec elle et dessine ainsi une série d’arcs.

Sur la figure, en haut, on voit la roue du point de vue du cycliste, donc dans le référentiel lié au cadre du vélo. La valve orange tourne sur le cercle rouge. En bas, c’est la même roue dans le référentiel lié au sol. Le cercle gris en pointillés montre où la roue se trouvait quand la valve était en bas, près de la route. Pendant que la roue fait un tour, la valve dessine l’arc rouge. Les deux moitiés de la figure représentent le même mouvement de la même valve, simplement du point de vue de deux référentiels différents. L’animation le montre étape par étape : la roue tourne en haut et en même temps roule en bas, et la valve dessine ainsi les deux traces simultanément.

La courbe que la valve dessine vue du trottoir s’appelle une cycloïde. Elle a des pointes en bas, aux endroits où la valve touche la route. La roue ne glisse pas sur la route, elle y roule, donc le point qui touche le sol à ce moment-là est un instant immobile. La valve s’arrête là et aussitôt se soulève, d’abord presque à la verticale. À vrai dire, la valve est fixée sur la jante, à quelques centimètres plus près du centre que la surface du pneu, donc elle ne touche pas la route et sa courbe n’a en bas, à la place des pointes, qu’un virage serré. Une cycloïde presque exacte serait dessinée par exemple par un petit caillou coincé dans les sculptures du pneu.

Combien la roue avance-t-elle en un tour ? Si elle ne glisse pas, toute sa circonférence se déroule sur la route comme un mètre ruban. La circonférence d’un cercle de rayon r est 2π · r, où π ≈ 3,14, donc le centre de la roue avance en un tour exactement de 2π · r. La roue d’un vélo a une circonférence d’un peu plus de 2 m, donc sur un kilomètre elle fait presque cinq cents tours.

Le même principe vaut dans le train. Si le train roule à vitesse constante sur une voie droite et que tu lâches une pomme dans le wagon, elle tombe directement à tes pieds, à la verticale. La dame sur le quai la voit tomber et en même temps avancer avec le train, donc, pour elle, la pomme suit un arc oblique.

À gauche, la chute de la pomme telle que tu la vois dans le wagon, à droite telle que la voit la dame sur le quai.

Distance parcourue

La longueur de la trajectoire que le corps parcourt s’appelle la distance parcourue et se note d. La distance parcourue est un scalaire, donc un nombre avec une unité. Le compteur kilométrique de la voiture la mesure : il ajoute chaque mètre que la voiture parcourt, qu’elle roule droit, tourne ou recule. La distance parcourue ne diminue donc jamais avec le temps. Quand tu rentres chez toi, personne ne te retranche les kilomètres parcourus à pied.

Déplacement

Le randonneur Pierre est parti du refuge, a marché 3 km vers l’est puis 4 km vers le nord. Il a marché en tout 7 km, mais il n’était qu’à 5 km du refuge. La flèche qui va de l’endroit où il a commencé à l’endroit où il a fini est son déplacement. Maintenant nous pouvons nommer exactement les deux grandeurs : la distance parcourue était 7 km, la norme du déplacement 5 km.

Le déplacement s’écrit commodément à l’aide de vecteurs. Nous décrivons la position du corps dans le référentiel par une flèche qui va de l’origine à l’endroit où se trouve le corps. Cette flèche s’appelle le vecteur position et se note $\overrightarrow{r}$.

La ligne noire de la figure est la trajectoire et en orange sont marqués deux endroits par lesquels le corps est passé successivement. Les flèches bleues sont les vecteurs position : ${\overrightarrow{r}}_1$ montre où le corps était au début, et ${\overrightarrow{r}}_2$ où il était à la fin. En rouge est mis en évidence le tronçon de trajectoire entre les deux, donc la distance que le corps a parcourue. La flèche verte, qui va du premier endroit au second, est le déplacement.

Le déplacement dit de combien la position a changé. La variation d’une grandeur physique se note avec la grande lettre grecque Δ (delta) devant son symbole, et c’est pourquoi le déplacement s’écrit

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$$

Cela se lit « delta r » et l’ensemble est un seul symbole, pas un produit. Pourquoi une variation ? Regarde la figure. La flèche bleue ${\overrightarrow{r}}_1$ suivie de la verte donnent ensemble la flèche bleue ${\overrightarrow{r}}_2$. C’est ainsi que cela fonctionne avec les vecteurs, la deuxième flèche commence là où finit la première :

$${\overrightarrow{r}}_1+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2$$

Nous soustrayons ${\overrightarrow{r}}_1$ des deux côtés :

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$$

Le déplacement est la différence entre la position finale et la position initiale. Si nous placions l’origine O ailleurs, les deux flèches bleues changeraient, mais la verte resterait la même. Le déplacement ne dépend donc pas de l’endroit où nous choisissons l’origine, seulement de l’endroit où le corps a commencé et de celui où il a fini. La norme du déplacement, donc la longueur de la flèche verte, s’écrit $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$.

Entre la distance parcourue et le déplacement, il y a deux différences. La distance parcourue est un scalaire, le déplacement un vecteur, qui a aussi une direction. Et la distance parcourue compte tout le chemin, alors que le déplacement ne compte que le début et la fin. Que Pierre ait fait un détour ou qu’il soit revenu trois fois sur ses pas chercher son téléphone oublié, le déplacement reste le même. Le plus court chemin entre deux points est le segment, et c’est pourquoi la norme du déplacement ne dépasse jamais la distance parcourue, $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\le d$. Elles sont égales seulement quand le corps se déplace en ligne droite et ne fait pas une seule fois demi-tour.

Un tour de piste

Autour du terrain de sport de l’école, il y a une piste de course en forme de cercle, longue de 400 m. Emma s’élance de la ligne de départ et fait le tour complet. Quelle distance a-t-elle parcourue et quel est son déplacement ?

La distance parcourue est évidente, la trajectoire entière mesure 400 m, donc d = 400 m. Mais Emma est arrivée exactement là d’où elle est partie. Le début et la fin coïncident et une flèche d’un point au même point n’a aucune longueur. C’est le vecteur nul :

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$$

Emma a couru quatre cents mètres, et pourtant son déplacement est nul. Si elle n’avait pas bougé du départ pendant tout ce temps, le déplacement serait le même. Ne confonds donc jamais la distance parcourue avec le déplacement.

Maintenant, Emma ne fait qu’un demi-tour. La distance parcourue est la moitié de 400 m, donc d = 200 m. Emma a fini de l’autre côté du cercle, exactement en face du départ. La flèche verte du déplacement passe par le centre du cercle, donc sa longueur est le diamètre, c’est-à-dire deux fois le rayon r. Nous trouvons le rayon à partir de la circonférence. La circonférence du cercle est 2π · r et nous savons qu’elle mesure 400 m :

$$\begin{array}{rcl}2\pi \cdot r& =& 400\mathrm{m}/:2\pi \\ r& =& \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\end{array}$$

La norme du déplacement est le double du rayon. Le deux du numérateur se simplifie avec le deux du dénominateur :

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =2\cdot r=2\cdot \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\\ & =\frac{400\mathrm{m}}{\pi }\end{array}$$

À la place de π, nous mettons environ 3,14 :

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \frac{400\mathrm{m}}{3,14}\approx 127\mathrm{m}$$

Après un demi-tour, Emma est à environ 127 m du départ, bien qu’elle ait couru 200 m. Le rayon de la piste est d’ailleurs la moitié de cela, environ 63,7 m.

Et un quart de tour ? La distance parcourue est le quart de 400 m, donc d = 100 m. Cette fois, le déplacement ne passe pas par le centre, mais en oblique.

Nous relions le départ et le nouvel endroit où se trouve Emma au centre du cercle. Les deux rayons bleus sont perpendiculaires entre eux, car Emma a couru le quart du cercle, et avec le déplacement ils forment un triangle rectangle. Les rayons sont ses côtés de l’angle droit et le déplacement l’hypoténuse. Nous utilisons le théorème de Pythagore comme pour la promenade de Pierre :

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2=r^2+r^2=2\cdot r^2.$$

Nous prenons la racine carrée. La racine carrée de r² est r, donc

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=\sqrt{2}\cdot r.$$

Nous remplaçons le rayon par 63,7 m et $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$ :

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \mathrm{1,414}\cdot 63,7\mathrm{m}\approx 90\mathrm{m}$$

Les trois cas ensemble :

Alors que la distance parcourue ne cesse de croître, la norme du déplacement commence par croître puis redescend jusqu’à zéro. Emma est le plus loin du départ à la moitié du tour et à la fin elle est de nouveau au départ.

Les types de mouvements

Les mouvements se classent selon deux critères. Le premier est la forme de la trajectoire. Quand la trajectoire est une droite, nous parlons de mouvement rectiligne. C’est ainsi que se déplace un ascenseur ou une pomme qui tombe d’un arbre. Quand la trajectoire est courbe, c’est un mouvement curviligne. Parmi les mouvements curvilignes, le plus important est le mouvement sur un cercle, par exemple sur un manège ou à l’extrémité de l’aiguille d’une horloge.

Le second critère est la rapidité avec laquelle le corps se déplace. Quand il parcourt toujours la même distance en des durées égales (la même chaque seconde, mais aussi chaque dixième ou centième de seconde), le mouvement est uniforme. C’est ainsi qu’avance un escalator dans le métro ou un manège lancé. Quand les distances parcourues en des durées égales diffèrent, donc que le corps accélère ou ralentit, le mouvement est non uniforme. La pomme accélère en tombant, l’ascenseur démarre et freine avant l’étage, et la voiture dans un embouteillage avance un moment à pas de tortue et un moment s’arrête.

Nous pouvons combiner librement les deux critères :

Attention, cette classification dépend aussi du référentiel. Du point de vue du cycliste, qui roule à vitesse constante, la valve se déplace de façon uniforme sur un cercle. Du trottoir, son mouvement est curviligne et non uniforme : près de la route, elle s’arrête presque, alors qu’en haut elle file presque deux fois plus vite que le centre de la roue. En haut, en effet, au mouvement de la roue vers l’avant s’ajoute le mouvement de la valve autour du centre, qui est dirigé là aussi vers l’avant, alors qu’en bas il est dirigé vers l’arrière et annule presque le mouvement de la roue. La valve est toujours la même, c’est seulement que nous la regardons d’un autre endroit.

Jusqu’ici, nous n’avons distingué le mouvement uniforme du mouvement non uniforme que d’après les distances que le corps parcourt en des durées égales. Il nous manque un nombre qui dirait à quelle vitesse avance l’escalator et de combien la valve file plus vite en haut qu’en bas. Ce nombre est la vitesse, à laquelle est consacré l’article suivant, Vitesse.