Moto e quiete

Immagina di essere seduto sul treno da Milano a Bologna e di leggere. Ti stai muovendo? Il vicino di fronte direbbe di no. Per tutto il viaggio sei seduto nello stesso posto, a un metro da lui, e non ti sei mosso nemmeno una volta. Ma la signora ferma sul binario della stazione di Parma sosterrebbe che in quel momento le passi davanti a 160 km/h. E hanno ragione entrambi.

In alto guardiamo il treno dal binario, in basso dal vagone. Le due frecce rosse indicano lo stesso moto, visto ogni volta da un altro punto.

Questa illusione la conosce chiunque sia stato seduto in un treno fermo in stazione: il treno sul binario accanto parte piano piano e per un attimo ti sembra di partire tu. Solo quando guardi l’edificio della stazione ti accorgi che sei fermo. All’occhio serve qualcosa a cui riferire il movimento.

Sistema di riferimento

Se un corpo si muove o è in quiete non si può stabilire in assoluto. Bisogna sempre aggiungere rispetto a che cosa. Il corpo rispetto al quale giudichiamo il moto si chiama corpo di riferimento. Per il vicino sul treno è il vagone, per la signora sul binario la Terra.

Un corpo è in quiete quando non cambia la sua posizione rispetto al corpo di riferimento. Rispetto al vagone sei in quiete, rispetto alla Terra ti muovi. La signora sul binario, al contrario, è ferma rispetto alla Terra, ma rispetto a te si allontana all’indietro a 160 km/h. Moto e quiete sono relativi, cioè dipendono da dove guardiamo.

Per poter descrivere la posizione con dei numeri, al corpo di riferimento colleghiamo un sistema di coordinate. Scegliamo un punto, detto origine, e da esso tracciamo gli assi x e y, come quando in matematica disegni un grafico. In una stazione l’origine potrebbe essere, per esempio, accanto al capostazione, l’asse x lungo i binari e l’asse y perpendicolare ad essi. La posizione di un corpo è allora data da due numeri: quanto dista nella direzione di un asse e quanto nella direzione dell’altro. Sul treno sceglieremo l’origine, per esempio, alla porta del vagone. Il corpo di riferimento, insieme al sistema di coordinate e a un orologio che misura il tempo, si chiama sistema di riferimento.

La tua posizione nel vagone, il punto nero, è così determinata dalla distanza rossa lungo l’asse x e da quella blu lungo l’asse y.

Nella vita di tutti i giorni il sistema di riferimento è quasi sempre la Terra, e per questo spesso non lo nominiamo nemmeno. Quando diciamo che l’auto va a 90 km/h o che la casa sta ferma, intendiamo rispetto alla Terra. Ma neanche una casa «immobile» è davvero in quiete. La Terra ruota attorno al proprio asse, quindi in un giorno una casa nell’Europa centrale descrive una circonferenza lunga circa 26.000 km. In un’ora percorre dunque più di 1000 km. Inoltre la Terra gira intorno al Sole a circa 30 km/s. Nel tempo che impieghi a leggere questa frase, insieme alla Terra, alla casa e al divano percorri circa centocinquanta chilometri. Ma nemmeno il Sole è fermo: gira attorno al centro della Galassia. Un corpo in quiete «davvero», cioè senza dire rispetto a che cosa, semplicemente non esiste.

Punto materiale

Un’auto sull’autostrada A1 tra Milano e Bologna è lunga circa 4,5 m. L’intero percorso misura circa 205 km. Se disegnassi tutta l’autostrada su un foglio come una linea lunga 20 cm, l’auto in quel disegno misurerebbe circa 4 µm, sedici volte meno dello spessore di un capello. Se vogliamo sapere quando l’auto arriverà a Bologna, non importa quanto sia lunga, dove abbia il volante e se abbia il finestrino aperto. Possiamo immaginarla come un unico punto che si sposta sulla mappa.

Una semplificazione di questo tipo si chiama punto materiale. È un corpo le cui dimensioni, nella situazione data, possiamo trascurare. Lo sostituiamo con un punto al quale lasciamo la massa dell’intero corpo. In fisica con i punti materiali si calcola molto più facilmente che con i corpi reali, che possono ruotare, flettersi o cambiare forma.

Se possiamo considerare un corpo un punto materiale non lo decide però il corpo stesso, ma la domanda che ci poniamo. Quando invece la parcheggiamo, la stessa auto non è un punto materiale. Lì contano proprio le sue dimensioni: se ci sta tra altre due auto e quanti centimetri restano fino al marciapiede. La Terra, invece, nel suo moto attorno al Sole è un punto materiale. Il suo diametro, circa 12.700 km, è trascurabile rispetto alla distanza dal Sole, 150.000.000 km. Ma se ci interessa l’alternarsi del giorno e della notte, dobbiamo tenere conto che è una sfera in rotazione, e non si può sostituire con un punto.

In un lungo viaggio, a sinistra, basta sostituire l’auto con un punto; nel parcheggio, a destra, contano le sue dimensioni.

Traiettoria

La linea che un punto materiale descrive muovendosi si chiama traiettoria. A volte la vediamo perfino: un aereo, alto nel cielo, si lascia dietro una scia bianca di condensazione, uno sciatore una traccia sulla neve. La traiettoria può essere una retta, una circonferenza o qualsiasi altra curva.

Come moto e quiete, anche la traiettoria dipende dal sistema di riferimento. Guardiamo la valvola sulla ruota anteriore di una bicicletta. Quando il ciclista, mentre pedala, guarda in basso la ruota anteriore, vede che la ruota gira sul posto e la valvola gira in tondo. La sua traiettoria è una circonferenza. Un’amica ferma sul marciapiede, che guarda il ciclista passare, non vede però nessuna circonferenza. La ruota rotola in avanti, la valvola avanza con lei e disegna così una serie di archi.

Nella figura in alto c’è la ruota dal punto di vista del ciclista, cioè nel sistema di riferimento solidale con il telaio della bicicletta. La valvola arancione gira lungo la circonferenza rossa. In basso c’è la stessa ruota nel sistema di riferimento solidale con il suolo. La circonferenza grigia tratteggiata mostra dov’era la ruota quando la valvola stava in basso, vicino alla strada. Prima che la ruota faccia un giro, la valvola disegna l’arco rosso. Le due metà della figura mostrano lo stesso moto della stessa valvola, solo dal punto di vista di due diversi sistemi di riferimento. L’animazione lo mostra passo dopo passo: in alto la ruota gira e in basso allo stesso tempo rotola, e la valvola disegna contemporaneamente entrambe le tracce.

La curva che la valvola disegna vista dal marciapiede si chiama cicloide. Ha le punte in basso, nei punti in cui la valvola tocca la strada. La ruota non slitta sulla strada, rotola, quindi il punto che in quel momento tocca il suolo per un istante è fermo. La valvola lì si ferma e subito dopo si solleva, all’inizio quasi verticalmente. A voler essere precisi, la valvola sta sul cerchione, qualche centimetro più vicina al centro rispetto alla superficie del pneumatico, quindi non tocca la strada e la sua curva in basso, invece di punte, ha solo una curvatura stretta. Una cicloide quasi esatta la disegnerebbe, per esempio, un sassolino incastrato nel battistrada.

Quanta strada fa la ruota in un giro? Se non slitta, tutta la sua circonferenza si srotola sulla strada come un metro a nastro. La lunghezza della circonferenza di raggio r è 2π · r, dove π ≈ 3,14, quindi il centro della ruota in un giro avanza esattamente di 2π · r. La ruota di una bicicletta ha una circonferenza di poco più di 2 m, quindi in un chilometro fa quasi cinquecento giri.

Lo stesso principio vale sul treno. Se il treno va a velocità costante su un binario rettilineo e nel vagone lasci cadere una mela, ti cade proprio ai piedi, in verticale. La signora sul binario la vede cadere e allo stesso tempo avanzare insieme al treno, quindi per lei vola lungo un arco obliquo.

A sinistra c’è la caduta della mela come la vedi tu nel vagone, a destra come la vede la signora sul binario.

Spazio percorso

La lunghezza della traiettoria che un corpo percorre si chiama spazio percorso e si indica con s. Lo spazio percorso è una grandezza scalare, cioè un numero con un’unità di misura. Lo misura il contachilometri dell’auto: somma ogni metro che l’auto percorre, che vada dritta, giri o faccia retromarcia. Lo spazio percorso perciò non diminuisce mai con il tempo. Quando torni a casa, nessuno ti sottrae i chilometri fatti a piedi.

Spostamento

L’escursionista Pietro è partito dalla baita, ha camminato per 3 km verso est e poi per 4 km verso nord. In tutto ha percorso a piedi 7 km, ma dalla baita distava solo 5 km. La freccia dal punto in cui è partito al punto in cui è arrivato è il suo spostamento. Ora possiamo chiamare le due grandezze con precisione: lo spazio percorso era di 7 km, il modulo dello spostamento di 5 km.

Lo spostamento si scrive comodamente con i vettori. La posizione di un corpo nel sistema di riferimento la descriviamo con una freccia che va dall’origine al punto in cui il corpo si trova in quel momento. Questa freccia si chiama vettore posizione e si indica con $\overrightarrow{r}$.

La linea nera nella figura è la traiettoria e in arancione sono segnati due punti per i quali il corpo è passato in successione. Le frecce blu sono i vettori posizione: ${\overrightarrow{r}}_1$ indica dove si trovava il corpo all’inizio e ${\overrightarrow{r}}_2$ dove si trovava alla fine. In rosso è evidenziato il tratto di traiettoria tra i due punti, cioè lo spazio percorso dal corpo. La freccia verde, che va dal primo punto al secondo, è lo spostamento.

Lo spostamento dice di quanto è cambiata la posizione. La variazione di una grandezza fisica si indica con la lettera greca maiuscola Δ (delta) davanti al suo simbolo, e perciò lo spostamento si scrive

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$$

Si legge «delta erre» e tutto insieme è un unico simbolo, non un prodotto. Perché una variazione? Guarda la figura. La freccia blu ${\overrightarrow{r}}_1$ e dopo di essa la freccia verde danno insieme la freccia blu ${\overrightarrow{r}}_2$. Così funziona con i vettori: la seconda freccia inizia dove finisce la prima:

$${\overrightarrow{r}}_1+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2$$

Sottraiamo ${\overrightarrow{r}}_1$ da entrambi i membri:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$$

Lo spostamento è la differenza tra la posizione finale e quella iniziale. Se mettessimo l’origine O altrove, le due frecce blu cambierebbero, ma quella verde resterebbe uguale. Lo spostamento quindi non dipende da dove scegliamo l’origine, ma solo da dove il corpo è partito e dove è arrivato. Il modulo dello spostamento, cioè la lunghezza della freccia verde, si scrive $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$.

Tra spazio percorso e spostamento ci sono due differenze. Lo spazio percorso è uno scalare, lo spostamento un vettore, che ha anche una direzione. E lo spazio percorso conta tutto il cammino, mentre lo spostamento solo l’inizio e la fine. Che Pietro abbia fatto un giro lungo o sia tornato tre volte indietro a prendere il cellulare dimenticato, lo spostamento resta lo stesso. Il percorso più breve tra due punti è il segmento, e perciò il modulo dello spostamento non supera mai lo spazio percorso, $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\le s$. Sono uguali solo quando il corpo si muove lungo una retta e non torna mai indietro.

Un giro di pista

Intorno al campo della scuola gira una pista di corsa a forma di circonferenza, lunga 400 m. Giulia parte dalla linea di partenza e corre un giro intero. Quanto spazio ha percorso e qual è il suo spostamento?

Lo spazio percorso è chiaro, l’intera traiettoria è lunga 400 m, quindi s = 400 m. Ma Giulia è arrivata esattamente nel punto da cui era partita. Inizio e fine coincidono e una freccia da un punto allo stesso punto non ha alcuna lunghezza. È il vettore nullo:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$$

Giulia ha corso quattrocento metri, eppure il suo spostamento è nullo. Se non si fosse mossa dalla partenza per tutto il tempo, lo spostamento sarebbe stato lo stesso. Non confondere quindi mai lo spazio percorso con lo spostamento.

Adesso Giulia corre solo mezzo giro. Lo spazio percorso è la metà di 400 m, cioè s = 200 m. Giulia è finita dall’altra parte della circonferenza, esattamente di fronte alla partenza. La freccia verde dello spostamento passa per il centro della circonferenza, quindi la sua lunghezza è il diametro, cioè due volte il raggio r. Il raggio lo ricaviamo dalla lunghezza della circonferenza. La circonferenza è 2π · r e sappiamo che misura 400 m:

$$\begin{array}{rcl}2\pi \cdot r& =& 400\mathrm{m}/:2\pi \\ r& =& \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\end{array}$$

Il modulo dello spostamento è il doppio del raggio. Il 2 al numeratore si semplifica con il 2 al denominatore:

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =2\cdot r=2\cdot \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\\ & =\frac{400\mathrm{m}}{\pi }\end{array}$$

Al posto di π sostituiamo circa 3,14:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \frac{400\mathrm{m}}{3,14}\approx 127\mathrm{m}$$

Dopo mezzo giro Giulia dista dalla partenza circa 127 m, anche se ha corso 200 m. Il raggio della pista, tra l’altro, è la metà, circa 63,7 m.

E un quarto di giro? Lo spazio percorso è un quarto di 400 m, cioè s = 100 m. Questa volta lo spostamento non passa per il centro, ma è obliquo.

Uniamo con il centro della circonferenza sia la partenza sia il nuovo punto in cui si trova Giulia. I due raggi blu sono perpendicolari tra loro, perché Giulia ha corso un quarto di circonferenza, e con lo spostamento formano un triangolo rettangolo. I raggi sono i suoi cateti e lo spostamento l’ipotenusa. Usiamo il teorema di Pitagora come per la passeggiata di Pietro:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2=r^2+r^2=2\cdot r^2.$$

Estraiamo la radice. La radice di r² è r, quindi

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=\sqrt{2}\cdot r.$$

Sostituiamo il raggio 63,7 m e $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \mathrm{1,414}\cdot 63,7\mathrm{m}\approx 90\mathrm{m}$$

Tutti e tre i casi insieme:

Mentre lo spazio percorso continua a crescere, il modulo dello spostamento prima cresce e poi torna a diminuire fino a zero. Giulia è più lontana dalla partenza a metà giro e alla fine è di nuovo alla partenza.

Tipi di moto

I moti si classificano secondo due criteri. Il primo è la forma della traiettoria. Quando la traiettoria è una retta, parliamo di moto rettilineo. Così si muovono un ascensore o una mela che cade dall’albero. Quando la traiettoria è curva, si tratta di un moto curvilineo. Tra i moti curvilinei il più importante è il moto circolare, per esempio su una giostra o con la punta di una lancetta dell’orologio.

Il secondo criterio è la rapidità con cui il corpo si muove. Quando in intervalli di tempo uguali percorre sempre lo stesso spazio (ogni secondo lo stesso, ma anche ogni decimo o centesimo di secondo), il moto è uniforme. Così va la scala mobile della metropolitana o una giostra messa in rotazione. Quando gli spazi percorsi in intervalli di tempo uguali sono diversi, cioè il corpo accelera o rallenta, il moto è vario. Una mela in caduta accelera, un ascensore parte e prima del piano frena, e un’auto in coda per un po’ procede a passo d’uomo e per un po’ sta ferma.

I due criteri si possono combinare liberamente:

Attenzione, anche questa classificazione dipende dal sistema di riferimento. La valvola, dal punto di vista del ciclista che va a velocità costante, si muove di moto uniforme lungo una circonferenza. Dal marciapiede il suo moto è curvilineo e vario: vicino alla strada si ferma quasi, mentre in alto corre quasi due volte più veloce del centro della ruota. In alto, infatti, al moto in avanti della ruota si aggiunge il moto della valvola attorno al centro, che lì è diretto anch’esso in avanti, mentre in basso è diretto all’indietro e annulla quasi del tutto il moto della ruota. La valvola è sempre la stessa, siamo noi che la guardiamo da un altro punto.

Finora abbiamo riconosciuto il moto uniforme e quello vario soltanto dagli spazi che il corpo percorre in tempi uguali. Ci manca un numero che dica quanto velocemente va la scala mobile e di quanto più in fretta corre la valvola in alto rispetto a quando è in basso. Quel numero è la velocità e ad essa è dedicato il prossimo articolo, Velocità.