Bevegelse og hvile

Se for deg at du sitter på toget fra Praha til Brno og leser. Beveger du deg? Sidemannen din ville svart nei. Hele turen sitter du på samme sted, én meter fra ham, og har ikke rørt deg en gang. Men damen som står på plattformen i Pardubice, ville hevdet at du suser forbi henne med farten 160 km/h. Og begge har rett.

Øverst ser vi toget fra plattformen, nederst fra vognen. De to røde pilene viser den samme bevegelsen, bare sett fra hvert sitt sted.

Denne illusjonen kjenner alle som noen gang har sittet i et tog som står stille på stasjonen: toget på sidesporet setter seg sakte i gang, og et øyeblikk virker det som om det er du som kjører. Først når du ser på stasjonsbygningen, oppdager du at du står stille. Øyet trenger rett og slett noe å forholde bevegelsen til.

Referansesystem

Om et legeme beveger seg eller hviler, kan ikke avgjøres i seg selv. Vi må alltid tilføye i forhold til hva. Legemet vi bedømmer bevegelsen i forhold til, kaller vi referanselegemet. For sidemannen på toget er det vognen, for damen på plattformen Jorda.

Et legeme er i hvile når det ikke endrer posisjonen sin i forhold til referanselegemet. I forhold til vognen er du i hvile, i forhold til Jorda beveger du deg. Damen på plattformen står derimot stille i forhold til Jorda, men i forhold til deg kjører hun bakover med farten 160 km/h. Både bevegelse og hvile er relative, altså avhengige av hvor vi ser fra.

For å kunne beskrive posisjonen med tall fester vi et koordinatsystem til referanselegemet. Vi velger et punkt som vi kaller origo, og trekker aksene x og y ut fra det, som når du tegner en graf i matematikk. På stasjonen kunne origo for eksempel være ved ekspeditøren, x-aksen langs sporene og y-aksen vinkelrett på dem. Posisjonen til et legeme er da gitt ved to tall: hvor langt det ligger i retning av den ene aksen og hvor langt i retning av den andre. På toget velger vi origo for eksempel ved døren til vognen. Referanselegemet sammen med et koordinatsystem og en klokke som måler tiden, kalles til sammen et referansesystem.

Posisjonen din i vognen, den svarte prikken, bestemmes dermed av den røde avstanden langs x-aksen og den blå avstanden langs y-aksen.

I hverdagen er referansesystemet nesten alltid Jorda, og derfor nevner vi det ofte ikke engang. Når vi sier at en bil kjører 90 km/h eller at et hus står stille, mener vi i forhold til Jorda. Men heller ikke et «ubevegelig» hus er helt i hvile. Jorda roterer rundt aksen sin, så et hus i Tsjekkia beskriver i løpet av et døgn en sirkel som er omtrent 26 000 km lang. I løpet av en time tilbakelegger det altså over 1000 km. I tillegg går Jorda rundt Solen med en fart på omtrent 30 km/s. Før du har lest ferdig denne setningen, har du sammen med Jorda, huset og sofaen fløyet rundt hundre og femti kilometer. Men heller ikke Solen står stille, den går rundt sentrum av galaksen. Et legeme i hvile «på ordentlig», altså uten å oppgi i forhold til hva, finnes rett og slett ikke.

Massepunkt

En bil på motorveien D1 mellom Praha og Brno er omtrent 4,5 m lang. Hele strekningen måler omtrent 205 km. Hvis du tegnet hele motorveien på papir som en linje på 20 cm, ville bilen på tegningen målt omtrent 4 µm, seksten ganger mindre enn tykkelsen på et hår. Når vi vil vite når bilen kommer fram til Brno, spiller det ingen rolle hvor lang den er, hvor rattet sitter og om vinduet er åpent. Vi kan tenke oss den som ett enkelt punkt som flytter seg på kartet.

En slik forenkling kalles et massepunkt. Det er et legeme der vi i den aktuelle situasjonen kan se bort fra størrelsen. Vi erstatter det med et punkt som får massen til hele legemet. I fysikk er det mye enklere å regne med massepunkter enn med virkelige legemer, som kan rotere, bøye seg eller endre form.

Om vi kan regne et legeme som et massepunkt, avgjøres likevel ikke av legemet selv, men av spørsmålet vi stiller. Ved parkering er den samme bilen ikke et massepunkt. Der er det nettopp størrelsen som avgjør: om den får plass mellom to andre biler og hvor mange centimeter som er igjen til fortauskanten. Jorda er derimot et massepunkt når den går rundt Solen. Diameteren, omtrent 12 700 km, er ubetydelig sammenlignet med avstanden til Solen, 150 000 000 km. Men når vi er opptatt av vekslingen mellom dag og natt, må vi regne med at den er en roterende kule, og den kan ikke erstattes med et punkt.

På den lange turen til venstre er det nok å erstatte bilen med et punkt, ved parkering til høyre avgjør størrelsen.

Bane

Linjen et massepunkt beskriver når det beveger seg, kaller vi banen. Noen ganger kan vi til og med se den: et fly høyt oppe på himmelen etterlater en hvit kondensstripe, en skiløper et spor i snøen. Banen kan være en rett linje, en sirkel eller en hvilken som helst annen kurve.

Akkurat som bevegelse og hvile avhenger også banen av referansesystemet. La oss se på ventilen på forhjulet til en sykkel. Når syklisten ser ned på forhjulet under kjøringen, ser han at hjulet snurrer på stedet og ventilen går rundt og rundt. Banen er en sirkel. Venninnen som står på fortauet og ser syklisten kjøre forbi, ser derimot ingen sirkel. Hjulet ruller framover, ventilen følger med, og tegner dermed en rekke buer.

På bildet er hjulet øverst sett fra syklisten, altså i referansesystemet knyttet til sykkelrammen. Den oransje ventilen går rundt langs den røde sirkelen. Nederst er det samme hjulet i referansesystemet knyttet til bakken. Den grå stiplede sirkelen viser hvor hjulet var da ventilen sto nederst ved veien. Før hjulet har rullet én omdreining, tegner ventilen den røde buen. Begge halvdelene av bildet viser den samme bevegelsen til den samme ventilen, bare fra to ulike referansesystemer. Animasjonen viser det steg for steg: hjulet snurrer øverst og ruller samtidig nederst, og ventilen tegner begge sporene på en gang.

Kurven ventilen tegner sett fra fortauet, heter sykloide. Den har spisser nederst, der ventilen berører veien. Hjulet glir ikke på veien, det ruller på den, så punktet som akkurat berører bakken, står stille et øyeblikk. Ventilen stopper der og begynner straks å stige, først nesten rett oppover. Strengt tatt sitter ventilen på felgen noen centimeter nærmere sentrum enn dekkoverflaten, så den berører ikke veien, og kurven får nederst bare skarpe svinger i stedet for spisser. En liten stein som sitter fast i dekkmønsteret, ville for eksempel tegne en nesten nøyaktig sykloide.

Hvor langt kommer hjulet i løpet av én omdreining? Når det ikke glir, rulles hele omkretsen ut på veien som en meter fra et målebånd. Omkretsen til en sirkel med radius r er 2π · r, der π ≈ 3,14, så sentrum av hjulet flytter seg i løpet av én omdreining nøyaktig 2π · r. Et sykkelhjul har en omkrets på litt over 2 m, så på én kilometer gjør det nesten fem hundre omdreininger.

Det samme prinsippet gjelder på toget. Hvis toget kjører med konstant fart på et rett spor og du slipper et eple i vognen, faller det rett ned ved føttene dine, loddrett. Damen på plattformen ser det falle og samtidig følge toget framover, så for henne flyr det langs en skrå bue.

Til venstre er eplefallet slik du ser det i vognen, til høyre slik damen på plattformen ser det.

Strekning

Lengden av banen et legeme tilbakelegger, kalles strekning og skrives s. Strekning er en skalar, altså et tall med enhet. Den måles av kilometertelleren i bilen: den legger til hver eneste meter bilen kjører, enten den kjører rett fram, svinger eller rygger. Strekningen avtar derfor aldri med tiden. Når du kommer hjem igjen, trekker ingen fra kilometerne du har gått.

Forflytning

Turgåeren Per gikk fra hytta, tilbakela 3 km mot øst og så 4 km mot nord. Til sammen gikk han 7 km, men var bare 5 km fra hytta. Pilen fra stedet han startet til stedet han endte, er forflytningen hans. Nå kan vi gi begge størrelsene nøyaktige navn: strekningen var 7 km, lengden av forflytningen 5 km.

Forflytning er praktisk å skrive med vektorer. Posisjonen til et legeme i et referansesystem beskriver vi med en pil som går fra origo til stedet der legemet er akkurat nå. Den pilen kalles posisjonsvektor og skrives $\overrightarrow{r}$.

Den svarte linjen på bildet er banen, og med oransje er to steder markert som legemet passerte etter hverandre. De blå pilene er posisjonsvektorer: ${\overrightarrow{r}}_1$ viser hvor legemet var i begynnelsen, og ${\overrightarrow{r}}_2$ hvor det var til slutt. Med rødt er stykket av banen mellom dem framhevet, altså strekningen legemet tilbakela. Den grønne pilen som går fra det første stedet til det andre, er forflytningen.

Forflytningen sier hvor mye posisjonen har endret seg. Endringen av en fysisk størrelse skriver vi med den store greske bokstaven Δ (delta) foran symbolet, og derfor skrives forflytningen

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$$

Det leses «delta r», og alt sammen er ett symbol, ikke et produkt. Hvorfor endring? Se på bildet. Den blå pilen ${\overrightarrow{r}}_1$ og etter den den grønne pilen gir sammen den blå pilen ${\overrightarrow{r}}_2$. Slik fungerer vektorer, den andre pilen begynner der den første slutter:

$${\overrightarrow{r}}_1+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2$$

Vi trekker ${\overrightarrow{r}}_1$ fra begge sider:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$$

Forflytningen er differansen mellom sluttposisjonen og startposisjonen. Hvis vi la origo O et annet sted, ville begge de blå pilene endret seg, men den grønne ville forblitt den samme. Forflytningen avhenger altså ikke av hvor vi velger origo, bare av hvor legemet startet og hvor det endte. Lengden av forflytningen, altså lengden av den grønne pilen, skriver vi $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$.

Mellom strekning og forflytning er det to forskjeller. Strekningen er en skalar, forflytningen en vektor som også har retning. Og strekningen teller hele veien, mens forflytningen bare teller start og slutt. Enten Per gikk en omvei eller snudde tre ganger på veien for å hente mobilen han hadde glemt, blir forflytningen den samme. Den korteste forbindelsen mellom to punkter er et linjestykke, og derfor overskrider lengden av forflytningen aldri strekningen, $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\le s$. De er like store bare når legemet beveger seg langs en rett linje og aldri snur.

En runde rundt banen

Rundt skolens idrettsplass går en løpebane i form av en sirkel, 400 m lang. Nora begynner å løpe ved starten og løper hele runden. Hvilken strekning har hun tilbakelagt, og hva er forflytningen hennes?

Strekningen er klar, hele banen er 400 m lang, så s = 400 m. Men Nora kom nøyaktig dit hun startet. Begynnelse og slutt faller sammen, og en pil fra et punkt til det samme punktet har ingen lengde. Det er nullvektoren:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$$

Nora har løpt fire hundre meter, og likevel er forflytningen hennes null. Hvis hun hadde stått stille ved starten hele tiden, ville forflytningen blitt den samme. Bland derfor aldri sammen strekning og forflytning.

Nå løper Nora bare en halv runde. Strekningen er halvparten av 400 m, altså s = 200 m. Nora endte på den andre siden av sirkelen, rett overfor starten. Den grønne forflytningspilen går gjennom sentrum av sirkelen, så lengden er diameteren, altså to ganger radius r. Radius finner vi fra omkretsen. Omkretsen til sirkelen er 2π · r, og vi vet at den måler 400 m:

$$\begin{array}{rcl}2\pi \cdot r& =& 400\mathrm{m}/:2\pi \\ r& =& \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\end{array}$$

Lengden av forflytningen er det dobbelte av radius. Toeren i telleren forkortes mot toeren i nevneren:

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =2\cdot r=2\cdot \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\\ & =\frac{400\mathrm{m}}{\pi }\end{array}$$

For π setter vi inn omtrent 3,14:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \frac{400\mathrm{m}}{3,14}\approx 127\mathrm{m}$$

Etter en halv runde er Nora omtrent 127 m fra starten, selv om hun har løpt 200 m. Radius til banen er forresten halvparten av det, omtrent 63,7 m.

Og hva med en kvart runde? Strekningen er en fjerdedel av 400 m, altså s = 100 m. Forflytningen går denne gangen ikke gjennom sentrum, men på skrå.

Vi forbinder både starten og Noras nye sted med sentrum av sirkelen. De to blå radiene står vinkelrett på hverandre, fordi Nora løp en fjerdedel av sirkelen, og sammen med forflytningen danner de en rettvinklet trekant. Radiene er katetene og forflytningen hypotenusen. Vi bruker Pytagoras' setning som i Pers tur:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2=r^2+r^2=2\cdot r^2.$$

Vi tar kvadratroten. Kvadratroten av r² er r, så

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=\sqrt{2}\cdot r.$$

Vi setter inn radius 63,7 m og $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \mathrm{1,414}\cdot 63,7\mathrm{m}\approx 90\mathrm{m}$$

Alle tre tilfellene samlet:

Mens strekningen hele tiden vokser, vokser lengden av forflytningen først og avtar så igjen ned til null. Lengst fra starten er Nora midt i runden, og til slutt er hun på starten igjen.

Typer bevegelse

Bevegelser deles inn etter to synspunkter. Det første er formen på banen. Når banen er en rett linje, snakker vi om rettlinjet bevegelse. Slik beveger en heis seg, eller et eple som faller fra et tre. Når banen er krum, er det krumlinjet bevegelse. Blant de krumlinjede bevegelsene er bevegelse langs en sirkel viktigst, for eksempel på en karusell eller ved spissen av en klokkeviser.

Det andre synspunktet er hvor fort legemet beveger seg. Når det i like lange tidsrom alltid tilbakelegger samme strekning (like mye hvert sekund, men også hver tidel eller hundredel av et sekund), er bevegelsen jevn. Slik går en rulletrapp på T-banen eller en karusell som er kommet opp i fart. Når strekningene som tilbakelegges i like lange tidsrom er ulike, altså legemet øker eller reduserer farten, er bevegelsen ujevn. Eplet øker farten når det faller, heisen setter i gang og bremser før etasjen, og bilen i kø sniker seg fram et øyeblikk og står stille et annet.

Begge synspunktene kan vi kombinere fritt:

Pass på, også denne inndelingen avhenger av referansesystemet. Ventilen beveger seg sett fra syklisten, som kjører med konstant fart, jevnt langs en sirkel. Sett fra fortauet er bevegelsen krumlinjet og ujevn: ved veien stopper den nesten, mens den øverst farer av gårde nesten dobbelt så fort som sentrum av hjulet. Øverst legges nemlig bevegelsen til ventilen rundt sentrum til bevegelsen til hjulet framover, og den peker også framover, mens den nederst peker bakover og nesten opphever bevegelsen til hjulet. Ventilen er hele tiden den samme, vi ser bare på den fra et annet sted.

Jevn og ujevn bevegelse har vi hittil bare kjent igjen på hvilke strekninger legemet tilbakelegger i like lange tidsrom. Vi mangler et tall som sier hvor fort rulletrappen går og hvor mye fortere ventilen farer av gårde øverst enn nederst. Det tallet er fart, og den neste artikkelen handler om den, Fart og hastighet.