Fart og hastighet

Usain Bolt løp 100 m på 9,58 s under verdensmesterskapet i Berlin i 2009. Hvor fort var det? Hvis han hadde holdt samme tempo hele tiden, ville det blitt

$$\frac{100\mathrm{m}}{9,58\mathrm{s}}\approx 10,44\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

det vil si over ti meter hvert sekund. Og hvor mye er det i kilometer i timen?

$$10,44\mathrm{m}/\mathrm{s}=10,44\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 37,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

I en gate med fartsgrense 50 ville Bolt holdt følge med bilene en stund. I alle fall over hundre meter, lenger ville han ikke holdt tempoet.

Formelen for fart

Hvis du bare leter etter formelen, regner du ut farten v ved å dele strekningen s på tiden t legemet brukte på den:

$$v=\frac{s}{t}$$

Farten sier hvor mye strekning legemet tilbakelegger per tidsenhet, for eksempel per sekund eller per time. Jo lengre strekning på samme tid, desto større fart. Og når vi bruker lenger tid på samme strekning, synker farten, tiden står jo i nevneren.

Enheten får vi ved å dele enheten for strekning på enheten for tid. Strekning i meter og tid i sekunder gir meter per sekund, m/s. Strekning i kilometer og tid i timer gir kilometer i timen, km/h. Mellom de to enhetene regner man om med tallet 3,6: fra m/s til km/h ganger vi, motsatt deler vi.

Gjennomsnittsfart

Veien fra Praha til Brno på motorveien D1 er omtrent 205 km. Familien Hansen brukte 2,5 h på den, med stopp på bensinstasjonen inkludert. Hvor fort kjørte de da?

La oss regne ut:

$$v=\frac{205\mathrm{km}}{2,5\mathrm{h}}=82\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Men fartsmåleren i bilen viste nesten aldri 82 km/h. På motorveien viste den rundt 130 km/h, i kø på motorveien 20 km/h og på bensinstasjonen null. Tallet 82 km/h er gjennomsnittsfarten: farten bilen måtte ha holdt hele tiden uten stopp for å komme fram til Brno på samme tid. Vi skriver den $\overline{v}$ og regner den ut som hele strekningen delt på hele tiden:

$$\overline{v}=\frac{s}{t}$$

Til den totale tiden hører alt, også stoppene. Hvis familien Hansen hadde sittet en time lenger på bensinstasjonen, ville de kjørt de samme 205 km på 3,5 h, og gjennomsnittsfarten ville sunket til

$$\overline{v}=\frac{205\mathrm{km}}{3,5\mathrm{h}}\approx 58,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Også Bolts fart på 10,44 m/s fra innledningen var en gjennomsnittsfart. Bolt startet fra startblokkene fra null, økte farten de første meterne, og løp derfor langsommere i begynnelsen og raskere mot slutten. Ved målingen i Berlin løp han strekningen mellom 60 og 80 meter, altså 20 m, på 1,61 s:

$$\overline{v}=\frac{20\mathrm{m}}{1,61\mathrm{s}}\approx 12,42\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 44,7\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

På en kort strekning i andre halvdel av løpet var han altså mye raskere enn gjennomsnittet over hele hundremeteren sier.

Fram 60, tilbake 40

Denne oppgaven gis på prøver og eksamener, fordi nesten alle svarer feil første gang. Dahl kjører bil til en hytte 120 km unna med farten 60 km/h. På hjemveien er veien full av kø, så han kjører bare 40 km/h. Hva var gjennomsnittsfarten hans på hele turen fram og tilbake?

Det frister å legge sammen de to fartene og dele på to:

$$\frac{60\mathrm{km}/\mathrm{h}+40\mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=50\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Men det er feil. Gjennomsnittsfart er ikke gjennomsnittet av fartene, men hele strekningen delt på hele tiden. Først finner vi derfor ut hvor lenge han kjørte i hver retning. Fram kjørte han 120 km med farten 60 km/h. Fra formelen $v=\frac{s}{t}$ løser vi ut tiden ved å multiplisere begge sider med t og dele på v:

$$t=\frac{s}{v}$$

Turen fram tok

$$t_1=\frac{120\mathrm{km}}{60\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\mathrm{h}$$

og turen tilbake

$$t_2=\frac{120\mathrm{km}}{40\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Til sammen kjørte han 240 km på 5 h. Gjennomsnittsfarten er

$$\overline{v}=\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Dahl kjørte med gjennomsnittsfarten 48 km/h, ikke 50 km/h. Hvor ble det av de to kilometerne i timen? Svaret viser bildet.

Hvert rektangel representerer en times kjøring, og tallet i det viser hvor mange kilometer Dahl kjørte i løpet av den. Turen fram, med rødt, tok to timer, turen tilbake, med blått, tre. Begge turene er like lange, 120 km, men med den lave farten kjørte han lenger. Når vi tar gjennomsnittet av de fem timene, har førtitallet tre stemmer og sekstitallet bare to:

$$\begin{array}{rl}\overline{v}& =\frac{(60+60+40+40+40)\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}\\ & =\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Den grønne raden viser at fem timer med 48 km/h gir de samme 240 km. Gjennomsnittet 50 km/h ville bare blitt riktig hvis Dahl hadde kjørt med begge fartene like lenge, for eksempel en time med seksti og en time med førti. Her kjørte han like langt, ikke like lenge, og gjennomsnittet lente seg derfor mot den langsomme farten.

Enda mer lumsk er den samme oppgaven snudd på hodet. Dahl kjørte fram igjen med 60 km/h og vil ha gjennomsnittet 80 km/h på hele turen. Hvor fort må han kjøre tilbake? Svaret 100 km/h ligger nær, men vi vet allerede at vi ikke kan ta gjennomsnittet av farter på den måten. Hele turen på 240 km med gjennomsnittsfarten 80 km/h ville han kjørt på

$$t=\frac{240\mathrm{km}}{80\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

To timer har han imidlertid allerede brukt på turen fram. Til de 120 km tilbake har han bare én time igjen, så han må kjøre 120 km/h. Og hvis han ville ha gjennomsnittet 120 km/h? Da måtte han kjørt hele turen på to timer, og dem har han allerede brukt. Han måtte vært tilbake på null tid, så det går ikke, uansett hvor fort han kjører.

Momentanfart

Fartsmåleren i bilen viser ikke gjennomsnittsfarten for hele turen. Den viser hvor fort bilen kjører akkurat nå. Det kaller vi momentanfart. Men hvordan regner vi den ut når formelen krever en strekning og en tid, og et øyeblikk varer ikke i det hele tatt?

Vi hjelper oss med gjennomsnittsfarten på en stadig kortere strekning. Bilen starter fra et lyskryss, og 100 m lenger framme står en lyktestolpe. Vi vil vite hvor fort bilen kjører akkurat ved stolpen. Ved stolpen setter vi opp en lysport, slik som brukes til tidtaking i friidrett, og en annen setter vi i tur og orden 100 m, 10 m og 1 m etter stolpen. Portene måler hvor lenge bilen brukte på hver strekning, og ut fra det regner vi ut gjennomsnittsfarten:

På hundremeterstrekningen ble gjennomsnittsfarten 24,14 m/s. Men bilen økte farten hele de hundre meterne, så på slutten av strekningen kjørte den mye fortere enn ved stolpen, og gjennomsnittet ble større. På ti meter rekker bilen å øke farten mindre, og på én meter nesten ikke i det hele tatt. Jo kortere strekning, desto mindre endrer farten seg underveis, og desto nærmere kommer gjennomsnittsfarten farten ved stolpen. Resultatene stabiliserer seg rundt 20 m/s. På en strekning på 10 cm ville det blitt 20,005 m/s, på en millimeter litt mindre. Momentanfarten til bilen ved stolpen er derfor 20 m/s, altså 20 · 3,6 km/h = 72 km/h. Akkurat det ville fartsmåleren vist i det øyeblikket.

Momentanfarten får vi altså som gjennomsnittsfarten på en veldig kort strekning. Stykket av strekningen som legemet tilbakelegger, skriver vi Δs, og tiden det bruker, Δt. Det greske Δ betyr endring. Da er

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t},$$

der tiden Δt må være så kort at farten ikke endrer seg merkbart i løpet av den. Hvor kort som er kort nok, avhenger av bevegelsen. En bil som kjører på motorveien med cruisekontroll, endrer farten bare ubetydelig i løpet av et sekund. En bil som kjører inn i en vegg, stopper på en tidel av et sekund.

Bevegelse med konstant fart er en bevegelse der legemet i like lange tidsrom tilbakelegger like store strekninger. Nå kan vi beskrive den også på en annen måte: det er en bevegelse der størrelsen av momentanfarten ikke endrer seg. Fartsmåleren viser hele tiden det samme tallet, og gjennomsnittsfarten på en hvilken som helst strekning er den samme som momentanfarten. Ved ujevn bevegelse endrer momentanfarten seg, og gjennomsnittsfarten er bare et tall mellom den minste og den største momentanfarten.

For nysgjerrige: den deriverte

Den som allerede kan grenseverdier og derivasjon, kjenner igjen hva vi gjorde i tabellen. Vi gjorde tiden Δt stadig kortere og så hva brøken $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ nærmer seg. En matematiker ville sagt at momentanfarten er grenseverdien til denne brøken, altså den deriverte av strekningen med hensyn på tiden:

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=s^{\prime }(t)$$

Bilen fra tabellen tilbakela fra lyskrysset til tiden t strekningen s = 1 m/s² · t², ved stolpen var den etter ti sekunder. Den deriverte av t² er 2t, så

$$v=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot t=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

og det er akkurat verdien tabellen nærmet seg. Ellers klarer vi oss i hele kategorien uten derivasjon.

Hastighet som vektor

En bil kjører rundt i en rundkjøring, og fartsmåleren viser hele tiden de samme 30 km/h. Endrer bilens hastighet seg, eller ikke?

Hastighet er en vektor. Det er ikke nok å vite hvor fort bilen kjører, det er også viktig hvor den kjører. Pilen for hastigheten skriver vi $\overrightarrow{v}$. Lengden $v=|\overrightarrow{v}|$ er det fartsmåleren viser. Pilen peker dit legemet akkurat nå beveger seg.

På bildet kjører bilen langs den grå stiplede sirkelen mot klokka, slik man kjører i en rundkjøring. Den røde pilen viser hastigheten. De lysere pilene ${\overrightarrow{v}}_1$ til ${\overrightarrow{v}}_4$ viser hastigheten til bilen på fire steder, alltid med en fjerdedels runde mellom. I animasjonen kjører bilen rundt og rundt, og pilen dekker etter hverandre hver av dem. Pilen er like lang hele tiden, fordi fartsmåleren hele tiden viser 30 km/h. Men retningen endrer seg uavbrutt.

Nå flytter vi alle de fire pilene til ett punkt. Pilene kan vi flytte så lenge vi ikke dreier dem eller endrer lengden, så det er fortsatt de samme vektorene.

Alle de fire pilene ender på den samme stiplede sirkelen, de har altså samme lengde, $|{\overrightarrow{v}}_1|=|{\overrightarrow{v}}_2|=|{\overrightarrow{v}}_3|=|{\overrightarrow{v}}_4|=30\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Men hver peker sin vei, så det er fire ulike vektorer, ${\overrightarrow{v}}_1\ne {\overrightarrow{v}}_2$. Svaret på spørsmålet er altså: hastigheten til bilen endrer seg, selv om fartsmåleren hele tiden viser det samme. Det som endrer seg, er retningen. Fartsmåleren viser bare lengden av hastigheten, retningen ser den ikke.

Bevegelse med konstant fart kjente vi igjen på strekningene, og strekning har ikke retning. Som bevegelse med konstant fart regner vi derfor en bevegelse der lengden av hastigheten ikke endrer seg. Bilen i rundkjøringen kjører altså med konstant fart, og likevel endrer hastigheten seg som vektor. At dette er en vesentlig forskjell, merker du selv i bilen: i en sving må du støtte deg, selv om sjåføren verken gir gass eller bremser. Hvorfor det er slik, forklarer vi senere i artikkelen om akselerasjon.

Det gjenstår å begrunne hvorfor pilen peker langs tangenten, altså den rette linjen som bare tangerer banen på det aktuelle stedet. Vi går tilbake til gjennomsnittsfarten, denne gangen som vektor. I løpet av tiden Δt flytter bilen seg fra punktet A til et annet punkt på banen. Forflytningen er pilen $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$, og gjennomsnittshastigheten som vektor er

$$\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}.$$

Pass på, lengden av denne vektoren er generelt ikke det samme som strekning delt på tid. Forflytningen er som oftest kortere enn strekningen, og den faller bare sammen med strekningen på en svært kort bit.

Å dele en vektor på et tall betyr det samme som å multiplisere den med tallet $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$. Pilen blir bare kortere eller lengre, retningen beholdes, og gjennomsnittshastigheten peker derfor som forflytningen.

Bildet viser den svarte banen bilen kjører langs fra venstre mot høyre. De grønne pilene er forflytningene fra punktet A i stadig kortere tid, til punkter som ligger stadig nærmere A. Den lange forflytningen peker skrått oppover, de kortere mindre, og jo kortere tid, desto mer legger pilen seg inntil den grå stiplede tangenten. Momentanhastigheten er gjennomsnittshastigheten på en svært kort strekning, og derfor peker den langs tangenten, på bildet i retning av den røde pilen.

Tangenten til en bane kan du til og med se. Gnistene fra en vinkelsliper farer av gårde fra skiven langs tangenten, i den retningen metallbiten beveget seg i øyeblikket den løsnet fra skiven. Dråpene som slynges av en roterende paraply, oppfører seg likedan. Hvis bilen i rundkjøringen kjørte på en isflekk og hjulene mistet taket, ville den fortsatt omtrent rett fram i retning av hastighetspilen, ikke langs sirkelen.

Hvor fort noe beveger seg

For å få et bilde, her noen typiske farter, avrundet:

Lydfarten i tabellen gjelder for luft med temperaturen 20 °C. Lyd er langsom sammenlignet med lys, og derfor ser du lynet før du hører tordenen: lyset når deg nærmest øyeblikkelig, lyden bruker omtrent tre sekunder på en kilometer. Når du teller ni sekunder mellom lyn og torden, er tordenværet omtrent tre kilometer unna. Lys er raskest av alt. Fra Månen er det litt over ett sekund hit, og fra Solen omtrent åtte minutter.

Kalkulator

Skriv inn strekning og tid, så regner kalkulatoren ut gjennomsnittsfarten. De utfylte verdiene kommer fra turen familien Hansen tok til Brno.

Enklest er en bevegelse der farten ikke endrer seg i det hele tatt, verken i størrelse eller retning. En slik bevegelse er rettlinjet med konstant fart, og den handler neste artikkel om, Rettlinjet bevegelse med konstant fart.