Швидкість

Усейн Болт 2009 року на чемпіонаті світу в Берліні пробіг 100 м за 9,58 с. Наскільки швидким був цей біг? Якби він увесь час тримав однаковий темп, на кожну секунду припало б

$$\frac{100\mathrm{м}}{9,58\mathrm{с}}\approx 10,44\mathrm{м}/\mathrm{с},$$

а це понад десять метрів щосекунди. А скільки це в кілометрах за годину?

$$10,44\mathrm{м}/\mathrm{с}=10,44\cdot 3,6\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\approx 37,6\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}.$$

На вулиці з обмеженням п'ятдесят Болт якийсь час устигав би за автами. Принаймні на сотні метрів, довше такого темпу він не витримав би.

Формула швидкості

Якщо шукаєш лише формулу, швидкість v обчислиш, поділивши шлях s на час t, за який тіло його пройшло:

$$v=\frac{s}{t}$$

Швидкість показує, який шлях тіло проходить за одиницю часу, наприклад за секунду чи за годину. Чим більший шлях за той самий час, тим більша швидкість. А коли той самий шлях долаємо довше, швидкість зменшується, адже час стоїть у знаменнику.

Одиницю отримаємо, поділивши одиницю шляху на одиницю часу. Шлях у метрах і час у секундах дадуть метри за секунду, м/с. Шлях у кілометрах і час у годинах дадуть кілометри за годину, км/год. Між цими одиницями переводять за допомогою числа 3,6: із м/с у км/год множимо, навпаки ділимо.

Середня швидкість

Дорога з Києва до Умані трасою М-05 сягає приблизно 205 км. Коваленки їхали туди 2,5 год, і це разом із перепочинком на заправці. Із якою швидкістю вони, отже, їхали?

Спробуймо обчислити:

$$v=\frac{205\mathrm{к}\mathrm{м}}{2,5\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}=82\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}$$

Але спідометр в авто 82 км/год майже ніколи не показував. На трасі він показував близько 130 км/год, у заторі біля Жашкова 20 км/год, а на заправці нуль. Число 82 км/год — це середня швидкість: швидкість, з якою авто мало б їхати весь час без зупинок, щоб доїхати до Умані за той самий час. Позначаємо її v_сер і обчислюємо як загальний шлях, поділений на загальний час:

$$v_{\mathrm{с}\mathrm{е}\mathrm{р}}=\frac{s}{t}$$

До загального часу входить усе, і зупинки теж. Якби Коваленки на заправці посиділи на годину довше, вони проїхали б ті самі 205 км за 3,5 год, і середня швидкість зменшилася б до

$$v_{\mathrm{с}\mathrm{е}\mathrm{р}}=\frac{205\mathrm{к}\mathrm{м}}{3,5\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}\approx 58,6\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}.$$

Середньою була й Болтова швидкість 10,44 м/с зі вступу. Болт вибігав із колодок з нуля, перші метри лише розганявся, і тому на початку біг повільніше, а наприкінці швидше. Під час вимірювань у Берліні відрізок між 60-м і 80-м метром, тобто 20 м, він пробіг за 1,61 с:

$$v_{\mathrm{с}\mathrm{е}\mathrm{р}}=\frac{20\mathrm{м}}{1,61\mathrm{с}}\approx 12,42\mathrm{м}/\mathrm{с}\approx 44,7\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}$$

На короткій ділянці в другій половині забігу він, отже, був значно швидшим, ніж показує середня швидкість на всій сотні.

Туди 60, назад 40

Цю задачу дають і на контрольних, і на вступних іспитах, бо майже кожен спершу відповідає хибно. Пан Мельник їде автомобілем на дачу, що за 120 км, зі швидкістю 60 км/год. Дорогою назад на шосе затори, тож він їде лише 40 км/год. Якою була його середня швидкість на всьому шляху туди й назад?

Так і кортить додати обидві швидкості й поділити на два:

$$\frac{60\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}+40\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}{2}=50\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}$$

Але це хибно. Середня швидкість — це не середнє швидкостей, а загальний шлях, поділений на загальний час. Тому спершу з'ясуємо, скільки він їхав у кожному напрямку. Туди проїхав 120 км зі швидкістю 60 км/год. З формули $v=\frac{s}{t}$ виразимо час: обидві частини помножимо на t і поділимо на v:

$$t=\frac{s}{v}$$

Дорога туди тривала

$$t_1=\frac{120\mathrm{к}\mathrm{м}}{60\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}=2\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}$$

а дорога назад

$$t_2=\frac{120\mathrm{к}\mathrm{м}}{40\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}=3\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}.$$

Разом він проїхав 240 км за 5 год. Середня швидкість дорівнює

$$v_{\mathrm{с}\mathrm{е}\mathrm{р}}=\frac{240\mathrm{к}\mathrm{м}}{5\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}=48\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}.$$

Пан Мельник їхав із середньою швидкістю 48 км/год, а не 50 км/год. Куди поділися два кілометри за годину? Відповідь покаже рисунок.

Кожен прямокутник — це година їзди, а число в ньому показує, скільки кілометрів за неї проїхав пан Мельник. Дорога туди, червона, забрала в нього дві години, дорога назад, синя, — три. Обидві дороги однаково довгі, 120 км, але повільною швидкістю він їхав довше. Коли з п'яти годин робимо середнє, сорок має три голоси, а шістдесят — лише два:

$$\begin{array}{rl}{v}_{\mathrm{с}\mathrm{е}\mathrm{р}}& =\frac{(60+60+40+40+40)\mathrm{к}\mathrm{м}}{5\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}\\ & =\frac{240\mathrm{к}\mathrm{м}}{5\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}=48\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\end{array}$$

Зелений рядок показує, що п'ять годин по 48 км/год дають ті самі 240 км. Середнє 50 км/год вийшло б, лише якби пан Мельник їхав обома швидкостями однаково довго, скажімо, годину зі швидкістю шістдесят і годину зі швидкістю сорок. Тут він їхав однаково далеко, а не однаково довго, тому середнє схилилося до повільнішої швидкості.

Ще підступніша та сама задача навпаки. Пан Мельник їхав туди знову 60 км/год і хотів би мати на всьому шляху середню швидкість 80 км/год. Із якою швидкістю він мусить їхати назад? Напрошується відповідь 100 км/год, але ми вже знаємо, що швидкості так усереднювати не можна. Увесь шлях 240 км із середньою швидкістю 80 км/год він проїхав би за

$$t=\frac{240\mathrm{к}\mathrm{м}}{80\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}=3\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}.$$

Але дві години він уже витратив дорогою туди. На зворотні 120 км йому лишається єдина година, тож він мусить їхати 120 км/год. А якби він захотів середню 120 км/год? Увесь шлях довелося б проїхати за дві години, а їх він уже використав. Назад він мав би дістатися за нульовий час, тож це неможливо, хоч як швидко він їхав би.

Миттєва швидкість

Спідометр в авто показує не середню швидкість за всю дорогу. Він показує, як швидко авто їде саме зараз. Це ми називаємо миттєвою швидкістю. Але як її обчислити, коли формула вимагає якогось шляху й якогось часу, а мить не триває зовсім?

Скористаймося середньою швидкістю на дедалі коротшій ділянці. Авто рушає від світлофора, а за 100 м далі стоїть ліхтар. Нас цікавить, як швидко авто їде саме біля ліхтаря. Біля ліхтаря поставимо фотоелементні ворота, які використовують для вимірювання часу в легкій атлетиці, а другі послідовно на 100 м, 10 м і 1 м за ліхтарем. Ворота вимірюють, скільки часу авто їхало кожною ділянкою, і з цього ми обчислюємо середню швидкість:

На стометровій ділянці середня швидкість вийшла 24,14 м/с. Але авто розганялося всі сто метрів, тож наприкінці ділянки їхало набагато швидше, ніж біля ліхтаря, і середнє через це вийшло більшим. На десяти метрах авто встигає розігнатися менше, а на одному метрі майже зовсім не встигає. Що коротша ділянка, то менше змінюється швидкість на ній і то ближче середня швидкість до швидкості біля ліхтаря. Результати стабілізуються довкола 20 м/с. На ділянці 10 см вийшло б 20,005 м/с, на міліметрі ще трохи менше. Миттєва швидкість авто біля ліхтаря, отже, 20 м/с, тобто 20 · 3,6 км/год = 72 км/год. Саме це в ту мить показував би спідометр.

Миттєву швидкість, отже, отримуємо як середню швидкість на дуже короткій ділянці. Шматок шляху, який тіло проходить, запишемо Δs, а час, за який воно його проходить, Δt. Грецька Δ означає зміну. Тоді

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t},$$

де час Δt має бути настільки малим, щоб швидкість за нього помітно не змінилася. Наскільки малий — достатньо малий, залежить від руху. Авто, що їде трасою з круїз-контролем, змінює швидкість за секунду лише трохи. Авто, що врізається в стіну, зупиняється за десяту частку секунди.

Рівномірний рух — це такий, за якого тіло за однакові проміжки часу проходить однакові шляхи. Тепер можемо описати його й інакше: це рух, за якого модуль миттєвої швидкості не змінюється. Спідометр увесь час показує те саме число, а середня швидкість на будь-якій ділянці така сама, як миттєва. У нерівномірному русі миттєва швидкість змінюється, а середня — лише якесь число між найменшою й найбільшою миттєвою швидкістю.

Для допитливих: похідна

Хто вже знає границі й похідні, впізнає, що ми робили в таблиці. Ми скорочували час Δt і стежили, до чого наближається частка $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$. Математик сказав би, що миттєва швидкість — це границя цієї частки, тобто похідна шляху за часом:

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=s^{\prime }(t)$$

Авто з таблиці за час t від світлофора проїхало шлях s = 1 м/с² · t², біля ліхтаря воно було через десять секунд. Похідна від t² дорівнює 2t, тож

$$v=2\cdot 1{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\cdot t=2\cdot 1{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\cdot 10\mathrm{с}=20\mathrm{м}/\mathrm{с},$$

а це саме те значення, до якого наближалася таблиця. В іншому ж у всій категорії ми обійдемося без похідних.

Швидкість як вектор

Авто об'їжджає кільцеву розв'язку, а спідометр увесь час показує ті самі 30 км/год. Швидкість авто змінюється чи ні?

Швидкість — вектор. Недостатньо знати, як швидко авто їде, важливо й куди. Стрілку швидкості позначаємо $\overrightarrow{v}$. Її модуль $v=|\overrightarrow{v}|$ — це те, що показує спідометр. Стрілка спрямована туди, куди тіло рухається саме зараз.

На рисунку авто їде по сірому пунктирному колу проти годинникової стрілки, як і їздять на кільцевій розв'язці. Червона стрілка показує його швидкість. Світліші стрілки ${\overrightarrow{v}}_1$ — ${\overrightarrow{v}}_4$ показують швидкість авто в чотирьох місцях, щоразу через чверть кола. В анімації авто об'їжджає розв'язку по колу, і його стрілка поступово збігається з кожною з них. Стрілка весь час однаково довга, бо спідометр показує сталі 30 км/год. Але її напрямок змінюється безперервно.

Перенесімо тепер усі чотири стрілки в одну точку. Стрілки можна переміщувати, якщо їх не повертати й не змінювати довжини, тож це й далі ті самі вектори.

Усі чотири стрілки закінчуються на тому самому пунктирному колі, тож мають однаковий модуль, $|{\overrightarrow{v}}_1|=|{\overrightarrow{v}}_2|=|{\overrightarrow{v}}_3|=|{\overrightarrow{v}}_4|=30\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}$. Але кожна спрямована в інший бік, тобто це чотири різні вектори, ${\overrightarrow{v}}_1\ne {\overrightarrow{v}}_2$. Відповідь на запитання, отже, така: швидкість авто змінюється, хоч спідометр показує те саме. Змінюється її напрямок. Спідометр показує лише модуль швидкості, напрямку він не бачить.

Рівномірний рух ми розпізнавали за шляхами, а шлях напрямку не має. Тому за рівномірний вважаємо рух, за якого не змінюється модуль швидкості. Авто на розв'язці, отже, їде рівномірно, і все ж його швидкість як вектор змінюється. Що це істотна різниця, легко відчути в авто: на повороті доводиться впиратися, навіть якщо водій не торкається ні газу, ні гальма. Чому так, пояснимо пізніше в статті про прискорення.

Лишається обґрунтувати, чому стрілка спрямована по дотичній, тобто по прямій, що лише торкається траєкторії в даному місці. Повернімося до середньої швидкості, цього разу як до вектора. За час Δt авто переміщується з точки A в якусь іншу точку траєкторії. Його переміщення — стрілка $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$, а середня швидкість як вектор дорівнює

$$\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}.$$

Зверни увагу, що модуль цього вектора загалом не дорівнює шляху, поділеному на час. Переміщення буває коротше за шлях, і зі шляхом збігається лише на дуже короткій ділянці.

Ділити вектор на число означає те саме, що множити його на число $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$. Стрілка від цього лише скорочується або подовжується, напрямок їй лишається, і середня швидкість тому спрямована так само, як переміщення.

Рисунок показує чорну траєкторію, по якій авто їде зліва направо. Зелені стрілки — переміщення з точки A за дедалі коротший час, у точки, що лежать дедалі ближче до A. Довге переміщення спрямоване похило вгору, коротше вже менше, і що коротший час, то ближче стрілка притискається до сірої пунктирної дотичної. Миттєва швидкість — це середня швидкість на дуже короткій ділянці, тому вона спрямована по дотичній, на рисунку в напрямку червоної стрілки.

Дотичну до траєкторії можна навіть побачити. Іскри від болгарки відлітають від диска по дотичній, у напрямку, в якому рухався шматочок металу в мить, коли відірвався від диска. Так само поводяться краплі, що розлітаються з розкрученої парасольки. Якби авто на розв'язці виїхало на ожеледицю і колеса перестали б зчіплюватися з дорогою, воно поїхало б далі приблизно прямо в напрямку своєї стрілки швидкості, а не по колу.

Як швидко що рухається

Для уявлення наведемо кілька типових швидкостей, округлених:

Швидкість звуку в таблиці стосується повітря з температурою 20 °C. Звук порівняно зі світлом повільний, тому блискавку ти побачиш раніше, ніж почуєш грім: світло дійде до тебе практично миттєво, звук долає кілометр приблизно за три секунди. Якщо між блискавкою й громом відрахуєш дев'ять секунд, гроза приблизно за три кілометри. Світло найшвидше з усього. Від Місяця до нас воно доходить за трохи більше секунди, а від Сонця приблизно за вісім хвилин.

Калькулятор

Введи шлях і час, і калькулятор обчислить середню швидкість. Заздалегідь введені значення взято з поїздки Коваленків до Умані.

Найпростіший рух — той, за якого швидкість не змінюється зовсім, ні за модулем, ні за напрямком. Такий рух рівномірний і прямолінійний, і йому присвячена наступна стаття, Рівномірний прямолінійний рух.