Hastighet

Vid världsmästerskapen i Berlin 2009 sprang Usain Bolt 100 m på 9,58 s. Hur snabbt var det? Om han hade hållit samma tempo hela tiden hade det blivit

$$\frac{100\mathrm{m}}{9,58\mathrm{s}}\approx 10,44\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

på varje sekund, alltså över tio meter varje sekund. Och hur mycket är det i kilometer per timme?

$$10,44\mathrm{m}/\mathrm{s}=10,44\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 37,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

På en gata där man får köra 50 skulle Bolt hänga med bilarna en stund. Åtminstone på hundra meter, längre skulle han inte orka hålla tempot.

Formel för hastighet

Om du bara letar efter formeln beräknar du hastigheten v genom att dividera sträckan s med den tid t som kroppen behövde för att tillryggalägga den:

$$v=\frac{s}{t}$$

Hastigheten anger hur lång sträcka kroppen tillryggalägger per tidsenhet, till exempel per sekund eller per timme. Ju större sträcka på samma tid, desto större hastighet. Och när vi tillryggalägger samma sträcka på längre tid minskar hastigheten, tiden står ju i nämnaren.

Enheten får vi genom att dividera sträckans enhet med tidens enhet. Sträcka i meter och tid i sekunder ger meter per sekund, m/s. Sträcka i kilometer och tid i timmar ger kilometer per timme, km/h. Mellan de båda enheterna räknar man om med talet 3,6: från m/s till km/h multiplicerar vi, åt andra hållet dividerar vi.

Medelhastighet

Vägen från Stockholm till Örebro längs E20 är ungefär 205 km. Familjen Andersson åkte den på 2,5 h, med rast vid macken inräknad. Hur fort åkte de då?

Vi försöker räkna ut det:

$$v=\frac{205\mathrm{km}}{2,5\mathrm{h}}=82\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Men hastighetsmätaren i bilen visade nästan aldrig 82 km/h. På motorvägen visade den omkring 130 km/h, i bilkön vid Arboga 20 km/h och vid macken noll. Talet 82 km/h är medelhastigheten: den hastighet som bilen hade behövt hålla hela tiden utan uppehåll för att komma fram till Örebro på samma tid. Vi betecknar den v_m och beräknar den som hela sträckan dividerad med hela tiden:

$$v_m=\frac{s}{t}$$

Till den totala tiden hör allt, också uppehållen. Om familjen Andersson hade suttit en timme längre vid macken hade de tillryggalagt samma 205 km på 3,5 h och medelhastigheten hade sjunkit till

$$v_m=\frac{205\mathrm{km}}{3,5\mathrm{h}}\approx 58,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Även Bolts hastighet 10,44 m/s från inledningen var en medelhastighet. Bolt startade från noll i startblocken och höll under de första metrarna fortfarande på att accelerera, och därför sprang han långsammare i början och snabbare på slutet. Vid mätningen i Berlin sprang han sträckan mellan 60 och 80 meter, alltså 20 m, på 1,61 s:

$$v_m=\frac{20\mathrm{m}}{1,61\mathrm{s}}\approx 12,42\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 44,7\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

På den korta sträckan i andra halvan av loppet var han alltså betydligt snabbare än medelvärdet över hela hundra meter.

Dit 60, tillbaka 40

Den här uppgiften dyker upp både på prov och i antagningsprov, eftersom nästan alla svarar fel första gången. Anders kör bil till sin stuga, som ligger 120 km bort, med hastigheten 60 km/h. På tillbakavägen är det trafikstockning, så han kör bara 40 km/h. Vilken var hans medelhastighet på hela resan dit och tillbaka?

Det är frestande att addera de båda hastigheterna och dividera med två:

$$\frac{60\mathrm{km}/\mathrm{h}+40\mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=50\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Men det är fel. Medelhastigheten är inte medelvärdet av hastigheterna utan hela sträckan dividerad med hela tiden. Därför tar vi först reda på hur länge han körde i varje riktning. Dit körde han 120 km med hastigheten 60 km/h. Ur formeln $v=\frac{s}{t}$ löser vi ut tiden genom att multiplicera båda led med t och dividera med v:

$$t=\frac{s}{v}$$

Resan dit tog

$$t_1=\frac{120\mathrm{km}}{60\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\mathrm{h}$$

och resan tillbaka

$$t_2=\frac{120\mathrm{km}}{40\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Sammanlagt körde han 240 km på 5 h. Medelhastigheten är

$$v_m=\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Anders körde med medelhastigheten 48 km/h, inte 50 km/h. Vart tog de två kilometerna i timmen vägen? Svaret visar figuren.

Varje rektangel föreställer en timmes körning, och talet i den anger hur många kilometer Anders körde på den. Resan dit, med rött, tog två timmar, resan tillbaka, med blått, tre. Båda resorna är lika långa, 120 km, men med den långsamma hastigheten körde han längre. När vi tar medelvärdet av de fem timmarna har fyrtio tre röster och sextio bara två:

$$\begin{array}{rl}{v}_m& =\frac{(60+60+40+40+40)\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}\\ & =\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Den gröna raden visar att fem timmar med 48 km/h ger samma 240 km. Medelvärdet 50 km/h hade blivit rätt bara om Anders hade kört med båda hastigheterna lika länge, till exempel en timme med sextio och en timme med fyrtio. Här körde han lika långt, inte lika länge, och därför lutar medelhastigheten åt den långsammare hastigheten.

Ännu lömskare är den omvända uppgiften. Anders körde dit återigen med 60 km/h och skulle vilja ha medelhastigheten 80 km/h på hela resan. Hur fort måste han köra tillbaka? Svaret 100 km/h ligger nära till hands, men vi vet redan att hastigheter inte kan medelvärdesbildas så här. Hela resan på 240 km skulle han med medelhastigheten 80 km/h köra på

$$t=\frac{240\mathrm{km}}{80\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Men två timmar har han redan använt på vägen dit. För de 120 km tillbaka återstår bara en timme, så han måste köra 120 km/h. Och om han ville ha medelhastigheten 120 km/h? Då skulle han behöva köra hela resan på två timmar, och dem har han redan bakom sig. Tillbaka skulle han behöva komma fram på noll tid, så det går inte, hur fort han än kör.

Momentan hastighet

Hastighetsmätaren i bilen visar inte medelhastigheten för hela resan. Den visar hur fort bilen kör just nu. Det kallar vi momentan hastighet. Men hur beräknar man den när formeln kräver någon sträcka och någon tid, och ett ögonblick inte varar alls?

Vi tar hjälp av medelhastigheten på en allt kortare sträcka. Bilen startar från ett trafikljus, och 100 m längre fram står en lyktstolpe. Vi vill veta hur fort bilen kör just vid lyktstolpen. Vid lyktstolpen sätter vi upp en fotocell, av det slag som används vid tidtagning inom friidrott, och en till, i tur och ordning 100 m, 10 m och 1 m efter lyktstolpen. Fotocellerna mäter hur lång tid bilen behövde för varje sträcka, och av det beräknar vi medelhastigheten:

På hundrametersträckan blev medelhastigheten 24,14 m/s. Men bilen accelererade under alla hundra meter, så i slutet av sträckan körde den mycket fortare än vid lyktstolpen, och medelvärdet blev därför större. På tio meter hinner bilen accelerera mindre, och på en meter nästan inte alls. Ju kortare sträcka, desto mindre ändras hastigheten under den och desto mer närmar sig medelhastigheten hastigheten vid lyktstolpen. Resultaten stabiliserar sig kring 20 m/s. På sträckan 10 cm skulle det bli 20,005 m/s, på en millimeter ännu lite mindre. Bilens momentana hastighet vid lyktstolpen är därför 20 m/s, alltså 20 · 3,6 km/h = 72 km/h. Det är precis vad hastighetsmätaren skulle visa i det ögonblicket.

Den momentana hastigheten får vi alltså som medelhastigheten på en mycket kort sträcka. Den bit av sträckan som kroppen tillryggalägger skriver vi Δs och den tid den tar Δt. Det grekiska Δ betyder ändring. Då är

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t},$$

där tiden Δt måste vara så kort att hastigheten inte ändras märkbart under den. Hur kort som är tillräckligt kort beror på rörelsen. En bil som kör på motorvägen med farthållare ändrar hastigheten bara obetydligt på en sekund. En bil som kör in i en vägg stannar på en tiondels sekund.

Likformig rörelse är en rörelse där kroppen under lika långa tider tillryggalägger lika stora sträckor. Nu kan vi beskriva den också på ett annat sätt: det är en rörelse där den momentana hastighetens storlek inte ändras. Hastighetsmätaren visar hela tiden samma tal och medelhastigheten på en godtycklig sträcka är densamma som den momentana. Vid olikformig rörelse ändras den momentana hastigheten, och medelhastigheten är bara något tal mellan den minsta och den största momentana hastigheten.

För nyfikna: derivata

Den som redan kan gränsvärden och derivator känner igen vad vi gjorde i tabellen. Vi gjorde tiden Δt allt kortare och såg vilket värde kvoten $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ närmade sig. En matematiker skulle säga att den momentana hastigheten är gränsvärdet av den här kvoten, alltså derivatan av sträckan med avseende på tiden:

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=s^{\prime }(t)$$

Bilen i tabellen tillryggalade från trafikljuset under tiden t sträckan s = 1 m/s² · t², och vid lyktstolpen var den efter tio sekunder. Derivatan av t² är 2t, så

$$v=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot t=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

och det är precis det värde som tabellen närmade sig. I övrigt klarar vi oss i hela kategorin utan derivator.

Hastighet som vektor

En bil kör genom en rondell och hastighetsmätaren visar hela tiden samma 30 km/h. Ändras bilens hastighet eller inte?

Hastigheten är en vektor. Det räcker inte att veta hur fort bilen kör, det är också viktigt vart den kör. Hastighetens pil betecknar vi $\overrightarrow{v}$. Dess storlek $v=|\overrightarrow{v}|$ är det som hastighetsmätaren visar. Pilen pekar dit kroppen just rör sig.

I figuren kör bilen längs den grå streckade cirkeln moturs, som man kör i en rondell. Den röda pilen visar dess hastighet. De ljusare pilarna ${\overrightarrow{v}}_1$ till ${\overrightarrow{v}}_4$ visar bilens hastighet på fyra ställen, alltid med ett kvarts varv emellan. I animationen kör bilen runt rondellen och dess pil sammanfaller efter hand med var och en av dem. Pilen är hela tiden lika lång, eftersom hastighetsmätaren hela tiden visar 30 km/h. Men dess riktning ändras oavbrutet.

Nu flyttar vi alla fyra pilarna till en och samma punkt. Pilar får vi flytta om vi varken vrider dem eller ändrar deras längd, så det är fortfarande samma vektorer.

Alla fyra pilar slutar på samma streckade cirkel och har alltså samma storlek, $|{\overrightarrow{v}}_1|=|{\overrightarrow{v}}_2|=|{\overrightarrow{v}}_3|=|{\overrightarrow{v}}_4|=30\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Men var och en pekar åt sitt håll, så det är fyra olika vektorer, ${\overrightarrow{v}}_1\ne {\overrightarrow{v}}_2$. Svaret på frågan lyder alltså: bilens hastighet ändras, fastän hastighetsmätaren hela tiden visar samma sak. Det som ändras är dess riktning. Hastighetsmätaren visar bara hastighetens storlek, riktningen ser den inte.

Likformig rörelse kände vi igen på sträckorna, och en sträcka har ingen riktning. Som likformig räknar vi därför en rörelse där hastighetens storlek inte ändras. Bilen i rondellen kör alltså likformigt, och ändå ändras dess hastighet som vektor. Att det är en avgörande skillnad märker du själv i bilen: i en kurva måste du hålla emot, även om föraren varken gasar eller bromsar. Varför det är så förklarar vi senare i artikeln om acceleration.

Det återstår att motivera varför pilen pekar längs tangenten, alltså den räta linje som bara nuddar banan på det aktuella stället. Vi går tillbaka till medelhastigheten, den här gången som vektor. Under tiden Δt förflyttar sig bilen från punkten A till någon annan punkt på banan. Dess förflyttning är pilen $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ och medelhastigheten som vektor är

$$\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}.$$

Observera att storleken av den här vektorn i allmänhet inte är detsamma som sträckan dividerad med tiden. Förflyttningen är oftast kortare än sträckan, och den sammanfaller med sträckan bara på en mycket kort bit.

Att dividera en vektor med ett tal betyder detsamma som att multiplicera den med talet $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$. Pilen blir då bara kortare eller längre, riktningen bevaras, och medelhastigheten pekar därför åt samma håll som förflyttningen.

Figuren visar den svarta banan som bilen följer från vänster till höger. De gröna pilarna är förflyttningar från punkten A under allt kortare tid, till punkter som ligger allt närmare A. Den långa förflyttningen pekar snett uppåt, de kortare mindre och mindre, och ju kortare tid, desto mer lägger sig pilen intill den grå streckade tangenten. Den momentana hastigheten är medelhastigheten på en mycket kort sträcka och pekar därför längs tangenten, i figuren i den röda pilens riktning.

Tangenten till en bana kan du till och med se. Gnistor från en slipmaskin flyger iväg från skivan längs tangenten, i den riktning som metallbiten rörde sig när den slets loss från skivan. På samma sätt beter sig droppar som flyger av ett snurrande paraply. Om bilen i rondellen körde in på hal is och hjulen tappade greppet skulle den fortsätta ungefär rakt fram i hastighetspilens riktning, inte längs cirkeln.

Hur fort rör sig olika saker

För att ge en uppfattning är här några typiska hastigheter, avrundade:

Ljudhastigheten i tabellen gäller för luft med temperaturen 20 °C. Ljud är långsamt jämfört med ljus, och därför ser du blixten innan du hör åskan: ljuset når dig nästan ögonblickligen, ljudet tillryggalägger en kilometer på ungefär tre sekunder. Om du räknar nio sekunder mellan blixt och åska är åskvädret ungefär tre kilometer bort. Ljuset är snabbast av allt. Från månen når det oss på drygt en sekund och från solen på ungefär åtta minuter.

Miniräknare

Ange sträckan och tiden så beräknar miniräknaren medelhastigheten. De förifyllda värdena kommer från familjen Anderssons resa till Örebro.

Den enklaste rörelsen är den där hastigheten inte ändras alls, varken till storlek eller riktning. En sådan rörelse är likformig och rätlinjig, och den handlar nästa artikel om, Likformig rörelse.