Nopeus

Usain Bolt juoksi vuonna 2009 Berliinin MM-kisoissa 100 m ajassa 9,58 s. Kuinka nopea juoksu oli? Jos hän olisi pitänyt koko ajan saman vauhdin, jokaiselle sekunnille olisi tullut

$$\frac{100\mathrm{m}}{9,58\mathrm{s}}\approx 10,44\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

eli yli kymmenen metriä joka sekunti. Entä paljonko se on kilometreinä tunnissa?

$$10,44\mathrm{m}/\mathrm{s}=10,44\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 37,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Kadulla, jolla on 50 km/h nopeusrajoitus, Bolt pysyisi autojen mukana hetken. Ainakin sadan metrin matkan, pidempään hän ei jaksaisi.

Nopeuden kaava

Jos haluat vain kaavan, nopeuden v saat jakamalla matkan s ajalla t, jossa kappale sen kulki:

$$v=\frac{s}{t}$$

Nopeus kertoo, kuinka pitkän matkan kappale kulkee aikayksikössä, esimerkiksi sekunnissa tai tunnissa. Mitä suurempi matka samassa ajassa, sitä suurempi nopeus. Ja jos saman matkan kulkemiseen menee enemmän aikaa, nopeus pienenee, onhan aika nimittäjässä.

Yksikkö saadaan jakamalla matkan yksikön ajan yksiköllä. Matka metreinä ja aika sekunteina antavat metriä sekunnissa, m/s. Matka kilometreinä ja aika tunteina antavat kilometriä tunnissa, km/h. Näiden kahden yksikön välillä muunnetaan luvulla 3,6: yksiköstä m/s yksikköön km/h kerrotaan, toiseen suuntaan jaetaan.

Keskinopeus

Matka Prahasta Brnoon moottoritietä D1 pitkin on noin 205 km. Virtaset ajoivat sen 2,5 h:ssa, huoltoasemalla pysähtyminen mukaan lukien. Kuinka nopeasti he siis ajoivat?

Lasketaan:

$$v=\frac{205\mathrm{km}}{2,5\mathrm{h}}=82\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Auton nopeusmittari ei kuitenkaan näyttänyt lukemaa 82 km/h juuri koskaan. Moottoritiellä se näytti noin 130 km/h, ruuhkassa 20 km/h ja huoltoasemalla nollaa. Luku 82 km/h on keskinopeus: nopeus, jolla auton olisi pitänyt ajaa koko ajan ilman taukoja, jotta se olisi saapunut Brnoon samassa ajassa. Sitä merkitään v_k, ja se lasketaan kokonaismatkana jaettuna kokonaisajalla:

$$v_k=\frac{s}{t}$$

Kokonaisaikaan kuuluu kaikki, myös pysähdykset. Jos Virtaset olisivat istuneet huoltoasemalla tunnin pidempään, he olisivat ajaneet samat 205 km ajassa 3,5 h ja keskinopeus olisi laskenut arvoon

$$v_k=\frac{205\mathrm{km}}{3,5\mathrm{h}}\approx 58,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Keskinopeus oli myös Boltin johdannossa mainittu nopeus 10,44 m/s. Bolt lähti lähtötelineistä nollanopeudesta ja kiihdytti vielä ensimmäiset metrit, joten hän juoksi alussa hitaammin ja lopussa nopeammin. Berliinin mittauksessa hän juoksi 60. ja 80. metrin välisen osuuden, eli 20 m, ajassa 1,61 s:

$$v_k=\frac{20\mathrm{m}}{1,61\mathrm{s}}\approx 12,42\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 44,7\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Lyhyellä osuudella kisan toisella puoliskolla hän oli siis selvästi nopeampi kuin koko sadan metrin keskinopeus kertoo.

Menomatkalla 60, takaisin 40

Tätä tehtävää annetaan kokeissa ja pääsykokeissa, koska melkein jokainen vastaa ensimmäisellä kerralla väärin. Leevi ajaa autolla 120 km päässä olevalle mökille nopeudella 60 km/h. Paluumatkalla tie on tukossa, joten hän ajaa vain 40 km/h. Mikä oli hänen keskinopeutensa koko matkalla edestakaisin?

Houkuttaa laskea molemmat nopeudet yhteen ja jakaa kahdella:

$$\frac{60\mathrm{km}/\mathrm{h}+40\mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=50\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Se on kuitenkin väärin. Keskinopeus ei ole nopeuksien keskiarvo vaan kokonaismatka jaettuna kokonaisajalla. Siksi selvitetään ensin, kuinka kauan hän ajoi kumpaankin suuntaan. Menomatkalla hän kulki 120 km nopeudella 60 km/h. Kaavasta $v=\frac{s}{t}$ aika ratkaistaan kertomalla molemmat puolet t:llä ja jakamalla v:llä:

$$t=\frac{s}{v}$$

Menomatka kesti

$$t_1=\frac{120\mathrm{km}}{60\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\mathrm{h}$$

ja paluumatka

$$t_2=\frac{120\mathrm{km}}{40\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Yhteensä hän kulki 240 km ajassa 5 h. Keskinopeus on

$$v_k=\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Leevin keskinopeus oli 48 km/h, ei 50 km/h. Minne katosi kaksi kilometriä tunnissa? Vastauksen näyttää kuva.

Jokainen suorakulmio esittää ajotuntia, ja siinä oleva luku kertoo, montako kilometriä Leevi kulki sen aikana. Menomatka, punaisella, vei kaksi tuntia, paluumatka, sinisellä, kolme. Molemmat matkat ovat yhtä pitkiä, 120 km, mutta hitaalla nopeudella hän ajoi pidempään. Kun viidestä tunnista lasketaan keskiarvo, neljälläkymmenellä on kolme ääntä ja kuudellakymmenellä vain kaksi:

$$\begin{array}{rl}{v}_k& =\frac{(60+60+40+40+40)\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}\\ & =\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Vihreä rivi osoittaa, että viisi tuntia nopeudella 48 km/h antaa samat 240 km. Keskinopeus 50 km/h tulisi vain, jos Leevi olisi ajanut molemmilla nopeuksilla yhtä kauan, vaikka tunnin kuudellakymmenellä ja tunnin neljälläkymmenellä. Nyt hän ajoi yhtä pitkän matkan, ei yhtä pitkään, ja siksi keskiarvo kallistui hitaamman nopeuden puolelle.

Vielä salakavalampi on sama tehtävä käänteisenä. Leevi ajoi menomatkan taas nopeudella 60 km/h ja haluaisi koko matkan keskinopeudeksi 80 km/h. Kuinka nopeasti hänen täytyy ajaa takaisin? Vastaus 100 km/h tarjoutuu, mutta jo tiedetään, ettei nopeuksista voi laskea keskiarvoa näin. Koko matkan 240 km hän ajaisi keskinopeudella 80 km/h ajassa

$$t=\frac{240\mathrm{km}}{80\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Kaksi tuntia hän on kuitenkin jo käyttänyt menomatkaan. Paluumatkan 120 km:iin jää vain yksi tunti, joten hänen täytyy ajaa 120 km/h. Ja jos hän haluaisi keskinopeudeksi 120 km/h? Koko matka pitäisi ajaa kahdessa tunnissa, ja ne hän on jo käyttänyt. Takaisin pitäisi päästä ajassa nolla, joten se ei onnistu, vaikka ajaisi kuinka lujaa.

Hetkellinen nopeus

Auton nopeusmittari ei näytä koko matkan keskinopeutta. Se näyttää, kuinka nopeasti auto ajaa juuri nyt. Sitä sanotaan hetkelliseksi nopeudeksi. Miten sen kuitenkin laskee, kun kaava vaatii jonkin matkan ja jonkin ajan, mutta hetki ei kestä lainkaan?

Avuksi otetaan keskinopeus yhä lyhyemmällä osuudella. Auto lähtee liikkeelle liikennevaloista, ja 100 m päässä on lyhtypylväs. Halutaan tietää, kuinka nopeasti auto ajaa juuri pylvään kohdalla. Pylvään kohdalle asetetaan valokenno, sellaisen kuin yleisurheilun ajanotossa käytetään, ja toisen vuorotellen 100 m, 10 m ja 1 m pylvään taakse. Kennot mittaavat, kuinka kauan auto kunkin osuuden ajoi, ja siitä lasketaan keskinopeus:

Sadan metrin osuudella keskinopeudeksi tuli 24,14 m/s. Auto kuitenkin kiihtyi koko sadan metrin ajan, joten osuuden lopussa se ajoi paljon nopeammin kuin pylvään kohdalla, ja keskiarvo tuli siksi suuremmaksi. Kymmenellä metrillä auto ehtii kiihtyä vähemmän ja yhdellä metrillä lähes ei lainkaan. Mitä lyhyempi osuus, sitä vähemmän nopeus sen aikana muuttuu ja sitä lähemmäs keskinopeus tulee pylvään kohdan nopeutta. Tulokset vakiintuvat noin lukuun 20 m/s. Osuudella 10 cm tulos olisi 20,005 m/s, ja millimetrillä vielä hieman vähemmän. Auton hetkellinen nopeus pylvään kohdalla on siksi 20 m/s, eli 20 · 3,6 km/h = 72 km/h. Juuri sen nopeusmittari sillä hetkellä näyttäisi.

Hetkellinen nopeus saadaan siis keskinopeutena hyvin lyhyellä osuudella. Matkan palaa, jonka kappale kulkee, merkitään Δs ja ajan, jossa se sen kulkee, Δt. Kreikkalainen Δ tarkoittaa muutosta. Silloin

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t},$$

missä ajan Δt täytyy olla niin lyhyt, ettei nopeus sen aikana muutu havaittavasti. Kuinka lyhyt on riittävän lyhyt, riippuu liikkeestä. Auto, joka ajaa moottoritiellä vakionopeussäätimellä, muuttaa nopeuttaan sekunnissa vain häviävän vähän. Seinään törmäävä auto pysähtyy kymmenesosasekunnissa.

Tasainen liike on liike, jossa kappale kulkee yhtä pitkinä aikoina yhtä pitkät matkat. Nyt sen voi kuvata myös toisin: se on liike, jossa hetkellisen nopeuden suuruus ei muutu. Nopeusmittari näyttää koko ajan samaa lukua, ja keskinopeus millä tahansa osuudella on sama kuin hetkellinen nopeus. Epätasaisessa liikkeessä hetkellinen nopeus muuttuu, ja keskinopeus on vain jokin luku pienimmän ja suurimman hetkellisen nopeuden välillä.

Uteliaille: derivaatta

Joka tuntee jo raja-arvot ja derivaatat, tunnistaa, mitä taulukossa tehtiin. Aikaa Δt lyhennettiin ja seurattiin, mitä osamäärä $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ lähestyy. Matemaatikko sanoisi, että hetkellinen nopeus on tämän osamäärän raja-arvo, eli matkan derivaatta ajan suhteen:

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=s^{\prime }(t)$$

Taulukon auto kulki liikennevaloilta ajassa t matkan s = 1 m/s² · t², ja pylvään kohdalla se oli kymmenen sekunnin kuluttua. Funktion t² derivaatta on 2t, joten

$$v=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot t=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

ja se on täsmälleen se arvo, jota taulukko lähestyi. Muuten tämän kategorian läpi pärjää ilman derivaattoja.

Nopeus vektorina

Auto ajaa liikenneympyrässä ympäri, ja nopeusmittari näyttää koko ajan samoja 30 km/h. Muuttuuko auton nopeus vai ei?

Nopeus on vektori. Ei riitä tietää, kuinka nopeasti auto ajaa, tärkeää on myös, minne. Nopeuden nuolta merkitään $\overline{v}$. Sen suuruus $v=|\overline{v}|$ on se, mitä nopeusmittari näyttää. Nuoli osoittaa sinne, minne kappale juuri liikkuu.

Kuvassa auto ajaa harmaata katkoviivaympyrää pitkin vastapäivään, kuten liikenneympyrässä ajetaan. Punainen nuoli näyttää sen nopeuden. Vaaleammat nuolet ${\overline{v}}_1$–${\overline{v}}_4$ esittävät auton nopeutta neljässä kohdassa, aina neljänneskierroksen välein. Animaatiossa auto kiertää liikenneympyrää ja sen nuoli on vuorollaan päällekkäin kunkin kanssa. Nuoli on koko ajan yhtä pitkä, koska nopeusmittari näyttää edelleen 30 km/h. Sen suunta kuitenkin muuttuu jatkuvasti.

Siirretään nyt kaikki neljä nuolta samaan pisteeseen. Nuolia voi siirtää, kunhan niitä ei käännä eikä muuta niiden pituutta, joten ne ovat edelleen samoja vektoreita.

Kaikki neljä nuolta päättyvät samalle katkoviivaympyrälle, joten niiden suuruus on sama, $|{\overline{v}}_1|=|{\overline{v}}_2|=|{\overline{v}}_3|=|{\overline{v}}_4|=30\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Jokainen osoittaa kuitenkin eri suuntaan, joten ne ovat neljä eri vektoria, ${\overline{v}}_1\ne {\overline{v}}_2$. Vastaus kysymykseen on siis: auton nopeus muuttuu, vaikka nopeusmittari näyttää koko ajan samaa. Muuttuu sen suunta. Nopeusmittari näyttää vain nopeuden suuruuden, suuntaa se ei näe.

Tasainen liike tunnistettiin matkoista, ja matkalla ei ole suuntaa. Tasaisena pidetään siksi liikettä, jossa nopeuden suuruus ei muutu. Liikenneympyrässä auto siis ajaa tasaisesti, ja silti sen nopeus vektorina muuttuu. Että ero on olennainen, huomaat autossa itse: kaarteessa täytyy tukeutua, vaikka kuljettaja ei koske kaasuun eikä jarruun. Miksi näin on, selitetään myöhemmin kiihtyvyyden yhteydessä.

Jäljellä on perustella, miksi nuoli osoittaa tangentin suuntaan, eli suoran, joka vain sivuaa rataa kyseisessä kohdassa. Palataan keskinopeuteen, tällä kertaa vektorina. Ajassa Δt auto siirtyy pisteestä A johonkin radan seuraavaan pisteeseen. Sen siirtymä on nuoli $\mathrm{\Delta }\overline{r}$, ja keskinopeus vektorina on

$$\frac{\mathrm{\Delta }\overline{r}}{\mathrm{\Delta }t}.$$

Huomaa, että tämän vektorin suuruus ei yleensä ole sama kuin matka jaettuna ajalla. Siirtymä on tavallisesti lyhyempi kuin matka, ja matkan kanssa se on sama vain hyvin lyhyellä osuudella.

Vektorin jakaminen luvulla tarkoittaa samaa kuin sen kertominen luvulla $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$. Nuoli vain lyhenee tai pitenee, suunta säilyy, ja keskinopeus osoittaa siksi samaan suuntaan kuin siirtymä.

Kuvassa on musta rata, jota pitkin auto ajaa vasemmalta oikealle. Vihreät nuolet ovat siirtymiä pisteestä A yhä lyhyemmässä ajassa, yhä lähempänä pistettä A oleviin pisteisiin. Pitkä siirtymä osoittaa vinosti ylöspäin, lyhyempi jo vähemmän, ja mitä lyhyempi aika, sitä tarkemmin nuoli asettuu harmaan katkoviivatangentin suuntaan. Hetkellinen nopeus on keskinopeus hyvin lyhyellä osuudella, ja siksi se osoittaa tangentin suuntaan, kuvassa punaisen nuolen suuntaan.

Tangentin radalle voi jopa nähdä. Hiomakoneen kipinät lentävät pois kiekosta tangentin suuntaan, siihen suuntaan, johon metallinpala liikkui hetkellä, kun se irtosi kiekosta. Samoin käyttäytyvät pyörivästä sateenvarjosta lentävät pisarat. Jos auto ajaisi liikenneympyrässä jäälle ja renkaat lakkaisivat pitämästä, se jatkaisi suunnilleen suoraan nopeusnuolensa suuntaan eikä ympyrää pitkin.

Kuinka nopeasti mikin liikkuu

Käsityksen saamiseksi tässä on joitakin tyypillisiä nopeuksia pyöristettyinä:

Taulukon äänen nopeus pätee ilmalle, jonka lämpötila on 20 °C. Ääni on valoon verrattuna hidas, ja siksi salaman näkee ennen kuin kuulee ukkosen jyrinän: valo saapuu lähes heti, ääni kulkee kilometrin noin kolmessa sekunnissa. Kun salaman ja jyrinän välillä lasketaan yhdeksän sekuntia, ukkonen on noin kolmen kilometrin päässä. Valo on kaikista nopein. Kuusta se saapuu Maahan hieman yli sekunnissa ja Auringosta noin kahdeksassa minuutissa.

Laskuri

Anna matka ja aika, niin laskuri laskee keskinopeuden. Valmiiksi täytetyt arvot ovat Virtasten matkasta Brnoon.

Yksinkertaisin on liike, jossa nopeus ei muutu lainkaan, ei suuruudeltaan eikä suunnaltaan. Sellainen liike on tasaista ja suoraviivaista, ja sitä käsittelee seuraava artikkeli, Tasainen suoraviivainen liike.