Snelheid

Usain Bolt liep in 2009 op het wereldkampioenschap in Berlijn de 100 m in 9,58 s. Hoe snel was die race? Als hij de hele tijd hetzelfde tempo had aangehouden, zou hij per seconde

$$\frac{100\mathrm{m}}{9,58\mathrm{s}}\approx 10,44\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

hebben afgelegd, dus meer dan tien meter elke seconde. En hoeveel is dat in kilometer per uur?

$$10,44\mathrm{m}/\mathrm{s}=10,44\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 37,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

In een straat met een maximumsnelheid van 50 km/h zou Bolt de auto's een tijdje bijhouden. Althans op de honderd meter, langer hield hij het tempo niet vol.

De formule voor snelheid

Als je alleen de formule zoekt: de snelheid v bereken je door de afgelegde weg s te delen door de tijd t waarin het voorwerp die weg aflegde:

$$v=\frac{s}{t}$$

De snelheid geeft aan hoeveel weg een voorwerp per tijdseenheid aflegt, bijvoorbeeld per seconde of per uur. Hoe meer weg in dezelfde tijd, hoe groter de snelheid. En als we dezelfde weg in een langere tijd afleggen, daalt de snelheid, de tijd staat immers in de noemer.

De eenheid krijgen we door de eenheid van de afgelegde weg te delen door de eenheid van de tijd. Weg in meter en tijd in seconden geven meter per seconde, m/s. Weg in kilometer en tijd in uren geven kilometer per uur, km/h. Tussen beide eenheden reken je om met het getal 3,6: van m/s naar km/h vermenigvuldigen we, andersom delen we.

Gemiddelde snelheid

De reis van Praag naar Brno over de snelweg D1 is ongeveer 205 km. De familie De Vries deed er 2,5 h over, ook met een pauze bij het tankstation. Hoe snel reden ze dus?

Laten we het uitrekenen:

$$v=\frac{205\mathrm{km}}{2,5\mathrm{h}}=82\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

De snelheidsmeter in de auto liet 82 km/h echter bijna nooit zien. Op de snelweg stond hij rond 130 km/h, in de file 20 km/h en bij het tankstation nul. Het getal 82 km/h is de gemiddelde snelheid: de snelheid die de auto de hele tijd zonder stoppen had moeten rijden om in dezelfde tijd in Brno aan te komen. We schrijven haar als v_gem en berekenen haar als de totale afgelegde weg gedeeld door de totale tijd:

$$v_{\mathrm{gem}}=\frac{s}{t}$$

Tot de totale tijd hoort alles, ook de stops. Als de familie De Vries bij het tankstation een uur langer was blijven zitten, hadden ze dezelfde 205 km in 3,5 h afgelegd en was de gemiddelde snelheid gedaald tot

$$v_{\mathrm{gem}}=\frac{205\mathrm{km}}{3,5\mathrm{h}}\approx 58,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Ook Bolts snelheid van 10,44 m/s uit de inleiding was een gemiddelde. Bolt kwam vanuit stilstand uit de startblokken, moest de eerste meters nog op snelheid komen en liep dus in het begin langzamer en aan het einde sneller. Bij de meting in Berlijn legde hij het stuk tussen de 60e en de 80e meter, dus 20 m, af in 1,61 s:

$$v_{\mathrm{gem}}=\frac{20\mathrm{m}}{1,61\mathrm{s}}\approx 12,42\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 44,7\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Op een kort stuk in de tweede helft van de race was hij dus aanzienlijk sneller dan het gemiddelde over de hele honderd meter zegt.

Heen 60, terug 40

Deze opgave staat in toetsen en examens, omdat bijna iedereen de eerste keer een fout antwoord geeft. Meneer Bakker rijdt met de auto naar een vakantiehuisje op 120 km afstand met een snelheid van 60 km/h. Op de terugweg staat er file, dus rijdt hij maar 40 km/h. Wat was zijn gemiddelde snelheid over de hele reis heen en terug?

Het is verleidelijk beide snelheden op te tellen en door twee te delen:

$$\frac{60\mathrm{km}/\mathrm{h}+40\mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=50\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Maar dat is fout. De gemiddelde snelheid is niet het gemiddelde van de snelheden, maar de totale afgelegde weg gedeeld door de totale tijd. We bepalen daarom eerst hoe lang hij in elke richting reed. Heen legde hij 120 km af met een snelheid van 60 km/h. Uit de formule $v=\frac{s}{t}$ halen we de tijd door beide kanten met t te vermenigvuldigen en door v te delen:

$$t=\frac{s}{v}$$

De reis heen duurde

$$t_1=\frac{120\mathrm{km}}{60\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\mathrm{h}$$

en de reis terug

$$t_2=\frac{120\mathrm{km}}{40\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

In totaal legde hij 240 km af in 5 h. De gemiddelde snelheid is

$$v_{\mathrm{gem}}=\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Meneer Bakker reed met een gemiddelde snelheid van 48 km/h, niet 50 km/h. Waar zijn twee kilometer per uur gebleven? Het antwoord laat de afbeelding zien.

Elke rechthoek stelt een uur rijden voor en het getal erin geeft aan hoeveel kilometer meneer Bakker daarin aflegde. De reis heen, rood, kostte hem twee uur, de reis terug, blauw, drie. Beide reizen zijn even lang, 120 km, maar met de lage snelheid reed hij langer. Als we van de vijf uur een gemiddelde maken, heeft de veertig drie stemmen en de zestig maar twee:

$$\begin{array}{rl}{v}_{\mathrm{gem}}& =\frac{(60+60+40+40+40)\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}\\ & =\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

De groene rij laat zien dat vijf uur met 48 km/h dezelfde 240 km oplevert. Het gemiddelde van 50 km/h zou alleen uitkomen als meneer Bakker met beide snelheden even lang had gereden, bijvoorbeeld een uur met 60 en een uur met 40. Hier reed hij even ver, niet even lang, en het gemiddelde neigde daarom naar de lagere snelheid.

Nog venijniger is dezelfde opgave omgekeerd. Meneer Bakker reed heen weer 60 km/h en wil over de hele reis een gemiddelde van 80 km/h hebben. Hoe hard moet hij terugrijden? Het antwoord 100 km/h ligt voor de hand, maar we weten al dat je snelheden niet zo kunt middelen. De hele reis van 240 km zou hij met een gemiddelde snelheid van 80 km/h afleggen in

$$t=\frac{240\mathrm{km}}{80\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Twee uur heeft hij heen al gebruikt. Voor de 120 km terug blijft nog maar één uur over, dus moet hij 120 km/h rijden. En als hij een gemiddelde van 120 km/h wilde? Dan zou hij de hele reis in twee uur moeten afleggen, en die heeft hij al achter de rug. Terug zou hij in nul tijd moeten aankomen, dus dat kan niet, hoe snel hij ook rijdt.

Momentane snelheid

De snelheidsmeter in de auto geeft niet de gemiddelde snelheid over de hele reis aan. Hij laat zien hoe snel de auto nu rijdt. Dat noemen we de momentane snelheid. Maar hoe bereken je die, als de formule een weg en een tijd vereist, terwijl een moment helemaal geen tijd duurt?

Daarbij helpt de gemiddelde snelheid over een steeds korter stuk. De auto vertrekt bij een stoplicht en 100 m verder staat een lantaarnpaal. We willen weten hoe snel de auto precies bij de lantaarnpaal rijdt. Bij de lantaarnpaal zetten we een lichtpoort, zoals die bij tijdmeting in de atletiek wordt gebruikt, en een tweede achtereenvolgens 100 m, 10 m en 1 m voorbij de lantaarnpaal. De poorten meten hoe lang de auto over elk stuk deed en daaruit berekenen we de gemiddelde snelheid:

Over het stuk van honderd meter kwam de gemiddelde snelheid uit op 24,14 m/s. Maar de auto versnelde over de hele honderd meter, dus aan het einde van het stuk reed hij veel sneller dan bij de lantaarnpaal en het gemiddelde kwam daardoor hoger uit. Over tien meter heeft de auto minder tijd om te versnellen en over één meter bijna geen. Hoe korter het stuk, hoe minder de snelheid daarbinnen verandert en hoe meer de gemiddelde snelheid de snelheid bij de lantaarnpaal benadert. De resultaten stabiliseren zich rond 20 m/s. Over een stuk van 10 cm zou 20,005 m/s uitkomen, over een millimeter nog iets minder. De momentane snelheid van de auto bij de lantaarnpaal is daarom 20 m/s, dus 20 · 3,6 km/h = 72 km/h. Dat zou de snelheidsmeter op dat moment aangeven.

De momentane snelheid krijgen we dus als de gemiddelde snelheid over een heel kort stuk. Het stukje weg dat het voorwerp aflegt, schrijven we als Δs en de tijd waarin het dat doet als Δt. De Griekse Δ betekent verandering. Dan is

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t},$$

waarbij de tijd Δt zo kort moet zijn dat de snelheid daarbinnen niet merkbaar verandert. Hoe kort kort genoeg is, hangt af van de beweging. Een auto die met cruisecontrol over de snelweg rijdt, verandert in een seconde maar heel weinig van snelheid. Een auto die tegen een muur botst, staat in een tiende seconde stil.

Eenparige beweging is een beweging waarbij het voorwerp in even lange tijdsintervallen dezelfde wegen aflegt. Nu kunnen we haar ook anders beschrijven: het is een beweging waarbij de grootte van de momentane snelheid niet verandert. De snelheidsmeter geeft steeds hetzelfde getal aan en de gemiddelde snelheid over elk stuk is gelijk aan de momentane. Bij een niet-eenparige beweging verandert de momentane snelheid en is de gemiddelde snelheid slechts een getal tussen de kleinste en de grootste momentane snelheid.

Voor nieuwsgierigen: de afgeleide

Wie al limieten en afgeleiden kent, herkent wat we in de tabel deden. We verkortten de tijd Δt en volgden waar het quotiënt $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ naartoe ging. Een wiskundige zou zeggen dat de momentane snelheid de limiet van dit quotiënt is, dus de afgeleide van de afgelegde weg naar de tijd:

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=s^{\prime }(t)$$

De auto uit de tabel legde in de tijd t vanaf het stoplicht de weg s = 1 m/s² · t² af, bij de lantaarnpaal was dat na tien seconden. De afgeleide van t² is 2t, dus

$$v=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot t=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

en dat is precies de waarde waar de tabel naartoe ging. Verder redden we ons in de hele categorie zonder afgeleiden.

Snelheid als vector

Een auto rijdt over een rotonde en de snelheidsmeter geeft de hele tijd dezelfde 30 km/h aan. Verandert de snelheid van de auto of niet?

Snelheid is een vector. Het is niet genoeg te weten hoe snel de auto rijdt, het is ook belangrijk waarheen. De pijl van de snelheid schrijven we als $\overrightarrow{v}$. De grootte $v=|\overrightarrow{v}|$ is wat de snelheidsmeter aangeeft. De pijl wijst in de richting waarin het voorwerp op dat moment beweegt.

In de afbeelding rijdt de auto over de grijze gestippelde cirkel tegen de klok in, zoals het op een rotonde hoort. De rode pijl laat zijn snelheid zien. De lichtere pijlen ${\overrightarrow{v}}_1$ tot en met ${\overrightarrow{v}}_4$ geven de snelheid van de auto weer op vier plaatsen, steeds een kwart ronde verder. In de animatie rijdt de auto steeds rond de rotonde en zijn pijl valt achtereenvolgens samen met elk van hen. De pijl is de hele tijd even lang, omdat de snelheidsmeter steeds 30 km/h aangeeft. Maar zijn richting verandert voortdurend.

We verplaatsen nu alle vier de pijlen naar één punt. Pijlen mogen we verschuiven zolang we ze niet draaien of hun lengte veranderen, dus het blijven dezelfde vectoren.

Alle vier de pijlen eindigen op dezelfde gestippelde cirkel, ze hebben dus dezelfde grootte, $|{\overrightarrow{v}}_1|=|{\overrightarrow{v}}_2|=|{\overrightarrow{v}}_3|=|{\overrightarrow{v}}_4|=30\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Maar elk wijst een andere kant op, dus het zijn vier verschillende vectoren, ${\overrightarrow{v}}_1\ne {\overrightarrow{v}}_2$. Het antwoord op de vraag luidt dus: de snelheid van de auto verandert, hoewel de snelheidsmeter steeds hetzelfde aangeeft. Haar richting verandert. De snelheidsmeter geeft alleen de grootte van de snelheid aan, de richting ziet hij niet.

Eenparige beweging hebben we herkend aan afgelegde wegen, en een afgelegde weg heeft geen richting. Als eenparig beschouwen we daarom een beweging waarbij de grootte van de snelheid niet verandert. De auto op de rotonde rijdt dus eenparig, en toch verandert zijn snelheid als vector. Dat dit een wezenlijk verschil is, merk je zelf in de auto: in een bocht moet je je schrap zetten, ook als de bestuurder geen gas geeft en niet remt. Waarom dat zo is, leggen we later uit bij versnelling.

Nog te verklaren is waarom de pijl langs de raaklijn wijst, dus langs de rechte lijn die de baan op die plek net raakt. We komen terug op de gemiddelde snelheid, nu als vector. De auto verplaatst zich in de tijd Δt van punt A naar een volgend punt van de baan. Zijn verplaatsing is de pijl $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ en de gemiddelde snelheid als vector is

$$\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}.$$

Pas op, de grootte van deze vector is in het algemeen niet hetzelfde als de afgelegde weg gedeeld door de tijd. De verplaatsing is meestal korter dan de afgelegde weg en valt er alleen over een heel kort stuk mee samen.

Een vector delen door een getal betekent hetzelfde als hem met het getal $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$ vermenigvuldigen. De pijl wordt daardoor alleen korter of langer, zijn richting blijft, en de gemiddelde snelheid wijst daarom in dezelfde richting als de verplaatsing.

De afbeelding toont de zwarte baan waarover de auto van links naar rechts rijdt. De groene pijlen zijn de verplaatsingen vanuit punt A in steeds kortere tijd, naar punten die steeds dichter bij A liggen. De lange verplaatsing wijst schuin omhoog, de kortere minder, en hoe korter de tijd, hoe meer de pijl zich aan de grijze gestippelde raaklijn aanpast. De momentane snelheid is de gemiddelde snelheid over een heel kort stuk en wijst daarom langs de raaklijn, in de afbeelding in de richting van de rode pijl.

De raaklijn aan een baan kun je zelfs zien. Vonken van een slijpmachine vliegen langs de raaklijn van de schijf weg, in de richting waarin het stukje metaal bewoog op het moment dat het van de schijf losraakte. Zo gedragen zich ook druppels die van een ronddraaiende paraplu af vliegen. Als de auto op de rotonde op ijzel terechtkwam en de banden hun grip verloren, zou hij ongeveer rechtdoor verder rijden in de richting van zijn snelheidspijl, niet over de cirkel.

Hoe snel beweegt wat

Voor een beeld zijn hier enkele typische snelheden, afgerond:

De geluidssnelheid in de tabel geldt voor lucht van 20 °C. Geluid is traag vergeleken met licht, en daarom zie je de bliksem eerder dan dat je de donder hoort: het licht bereikt je vrijwel onmiddellijk, geluid legt een kilometer in ongeveer drie seconden af. Als je tussen bliksem en donder negen seconden telt, is het onweer ongeveer drie kilometer weg. Licht is van alles het snelst. Van de maan bereikt het ons in iets meer dan een seconde en van de zon in ongeveer acht minuten.

Rekenmachine

Voer de afgelegde weg en de tijd in en de rekenmachine berekent de gemiddelde snelheid. De vooraf ingevulde waarden komen van de reis van de familie De Vries naar Brno.

Het eenvoudigst is een beweging waarbij de snelheid helemaal niet verandert, niet in grootte en niet in richting. Zo'n beweging is eenparig en rechtlijnig en daarover gaat het volgende artikel, Eenparige rechtlijnige beweging.