Prędkość

Usain Bolt przebiegł w 2009 roku na mistrzostwach świata w Berlinie 100 m w 9,58 s. Jak szybki był to bieg? Gdyby przez cały czas utrzymywał to samo tempo, na każdą sekundę przypadałoby

$$\frac{100\mathrm{m}}{9,58\mathrm{s}}\approx 10,44\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

czyli ponad dziesięć metrów w każdej sekundzie. A ile to kilometrów na godzinę?

$$10,44\mathrm{m}/\mathrm{s}=10,44\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 37,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Na ulicy z ograniczeniem do pięćdziesięciu Bolt przez chwilę dotrzymałby kroku samochodom. Przynajmniej na setce, dłużej tego tempa by nie utrzymał.

Wzór na prędkość

Jeśli szukasz tylko wzoru: prędkość v obliczysz, dzieląc drogę s przez czas t, w którym ciało ją przebyło:

$$v=\frac{s}{t}$$

Prędkość mówi, jaką drogę ciało przebywa w jednostce czasu, na przykład w sekundzie albo w godzinie. Im dłuższa droga w tym samym czasie, tym większa prędkość. A gdy tę samą drogę pokonujemy dłużej, prędkość maleje, przecież czas stoi w mianowniku.

Jednostkę dostajemy, dzieląc jednostkę drogi przez jednostkę czasu. Droga w metrach i czas w sekundach dają metry na sekundę, m/s. Droga w kilometrach i czas w godzinach dają kilometry na godzinę, km/h. Między tymi jednostkami przeliczamy liczbą 3,6: z m/s na km/h mnożymy, w drugą stronę dzielimy.

Prędkość średnia

Trasa z Warszawy do Białegostoku drogą ekspresową S8 ma około 205 km. Nowakowie jechali nią 2,5 h, i to z przerwą na stacji benzynowej. Jak szybko więc jechali?

Spróbujmy to policzyć:

$$v=\frac{205\mathrm{km}}{2,5\mathrm{h}}=82\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Prędkościomierz w samochodzie prawie nigdy nie pokazywał jednak 82 km/h. Przy wyprzedzaniu pokazywał chwilami około 130 km/h, w korku przed Ostrowią Mazowiecką 20 km/h, a na stacji zero. Liczba 82 km/h to prędkość średnia: prędkość, z jaką samochód musiałby jechać cały czas bez przerwy, żeby dotrzeć do Białegostoku w tym samym czasie. Oznaczamy ją v_śr i obliczamy jako całkowitą drogę podzieloną przez całkowity czas:

$$v_{\mathrm{ś}\mathrm{r}}=\frac{s}{t}$$

Do całkowitego czasu wlicza się wszystko, także postoje. Gdyby Nowakowie posiedzieli na stacji o godzinę dłużej, przejechaliby te same 205 km w 3,5 h, a prędkość średnia spadłaby do

$$v_{\mathrm{ś}\mathrm{r}}=\frac{205\mathrm{km}}{3,5\mathrm{h}}\approx 58,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Średnia była też prędkość Bolta 10,44 m/s ze wstępu. Bolt startował z bloków od zera, przez pierwsze metry dopiero przyspieszał, więc na początku biegł wolniej, a pod koniec szybciej. Według pomiarów w Berlinie odcinek między 60. a 80. metrem, czyli 20 m, przebiegł w 1,61 s:

$$v_{\mathrm{ś}\mathrm{r}}=\frac{20\mathrm{m}}{1,61\mathrm{s}}\approx 12,42\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 44,7\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Na krótkim odcinku w drugiej połowie biegu był więc sporo szybszy, niż mówi średnia z całej setki.

Tam 60, z powrotem 40

To zadanie pojawia się na sprawdzianach i egzaminach, bo prawie każdy za pierwszym razem odpowiada źle. Pan Wiśniewski jedzie samochodem do oddalonego o 120 km domku letniskowego z prędkością 60 km/h. W drodze powrotnej na trasie są korki, więc jedzie tylko 40 km/h. Jaka była jego prędkość średnia na całej trasie tam i z powrotem?

Kusi, żeby dodać obie prędkości i podzielić przez dwa:

$$\frac{60\mathrm{km}/\mathrm{h}+40\mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=50\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

To jednak błąd. Prędkość średnia nie jest średnią prędkości, tylko całkowitą drogą podzieloną przez całkowity czas. Najpierw więc ustalimy, jak długo jechał w każdą stronę. Tam przejechał 120 km z prędkością 60 km/h. Ze wzoru $v=\frac{s}{t}$ wyznaczamy czas, mnożąc obie strony przez t i dzieląc przez v:

$$t=\frac{s}{v}$$

Droga tam trwała

$$t_1=\frac{120\mathrm{km}}{60\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\mathrm{h}$$

a droga z powrotem

$$t_2=\frac{120\mathrm{km}}{40\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Łącznie przejechał 240 km w 5 h. Prędkość średnia wynosi

$$v_{\mathrm{ś}\mathrm{r}}=\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Pan Wiśniewski jechał ze średnią prędkością 48 km/h, a nie 50 km/h. Gdzie podziały się dwa kilometry na godzinę? Odpowiedź pokaże rysunek.

Każdy prostokąt przedstawia godzinę jazdy, a liczba w nim mówi, ile kilometrów pan Wiśniewski w tym czasie przejechał. Droga tam, na czerwono, zajęła mu dwie godziny, droga z powrotem, na niebiesko, trzy. Obie trasy są równie długie, 120 km, ale z mniejszą prędkością jechał dłużej. Gdy z pięciu godzin liczymy średnią, czterdziestka ma trzy głosy, a sześćdziesiątka tylko dwa:

$$\begin{array}{rl}{v}_{\mathrm{ś}\mathrm{r}}& =\frac{(60+60+40+40+40)\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}\\ & =\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Zielony wiersz pokazuje, że pięć godzin po 48 km/h daje te same 240 km. Średnia 50 km/h wyszłaby tylko wtedy, gdyby pan Wiśniewski jechał z obiema prędkościami równie długo, na przykład godzinę z prędkością sześćdziesięciu, a godzinę z prędkością czterdziestu kilometrów na godzinę. Tutaj jechał równie daleko, a nie równie długo, i dlatego średnia przechyliła się w stronę mniejszej prędkości.

Jeszcze bardziej podchwytliwe jest to samo zadanie odwrócone. Pan Wiśniewski jechał tam znowu 60 km/h i chciałby mieć na całej trasie średnią 80 km/h. Jak szybko musi jechać z powrotem? Odpowiedź 100 km/h sama się nasuwa, ale już wiemy, że prędkości nie da się tak uśredniać. Całą trasę 240 km ze średnią prędkością 80 km/h przejechałby w

$$t=\frac{240\mathrm{km}}{80\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Dwie godziny zużył już jednak na drogę tam. Na powrotne 120 km zostaje mu jedna godzina, więc musi jechać 120 km/h. A gdyby chciał mieć średnią 120 km/h? Całą trasę musiałby przejechać w dwie godziny, a te ma już za sobą. Z powrotem musiałby dotrzeć w zerowym czasie, więc to niemożliwe, choćby jechał nie wiadomo jak szybko.

Prędkość chwilowa

Prędkościomierz w samochodzie nie pokazuje prędkości średniej z całej trasy. Pokazuje, jak szybko samochód jedzie w tej chwili. Nazywamy to prędkością chwilową. Jak ją jednak obliczyć, skoro wzór wymaga jakiejś drogi i jakiegoś czasu, a chwila nie trwa wcale?

Pomożemy sobie prędkością średnią na coraz krótszym odcinku. Samochód rusza spod świateł, a 100 m dalej stoi latarnia. Interesuje nas, jak szybko samochód jedzie dokładnie przy latarni. Przy latarni ustawiamy fotokomórkę, taką, jakiej używa się do pomiaru czasu w lekkoatletyce, a drugą kolejno 100 m, 10 m i 1 m za latarnią. Fotokomórki zmierzą, w jakim czasie samochód przejechał każdy odcinek, a z tego obliczymy prędkość średnią:

Na stumetrowym odcinku prędkość średnia wyszła 24,14 m/s. Samochód jednak przez całe sto metrów przyspieszał, więc na końcu odcinka jechał dużo szybciej niż przy latarni i średnia wyszła przez to większa. Na dziesięciu metrach samochód zdąży przyspieszyć mniej, a na jednym metrze prawie wcale. Im krótszy odcinek, tym mniej zmienia się na nim prędkość i tym bardziej prędkość średnia zbliża się do prędkości przy latarni. Wyniki stabilizują się w okolicy 20 m/s. Na odcinku 10 cm wyszłoby 20,005 m/s, na milimetrze jeszcze odrobinę mniej. Prędkość chwilowa samochodu przy latarni wynosi więc 20 m/s, czyli 20 · 3,6 km/h = 72 km/h. Właśnie tyle pokazywałby w tej chwili prędkościomierz.

Prędkość chwilową dostajemy zatem jako prędkość średnią na bardzo krótkim odcinku. Kawałek drogi, który ciało przebywa, zapisujemy Δs, a czas, w którym go przebywa, Δt. Grecka litera Δ oznacza zmianę. Wtedy

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t},$$

gdzie czas Δt musi być na tyle krótki, żeby prędkość nie zmieniła się w nim zauważalnie. Jak krótki to wystarczająco krótki, zależy od ruchu. Samochód jadący autostradą na tempomacie zmienia prędkość w ciągu sekundy tylko nieznacznie. Samochód uderzający w ścianę zatrzymuje się w dziesiątej części sekundy.

Ruch jednostajny to taki, w którym ciało w jednakowych odstępach czasu przebywa jednakowe drogi. Teraz możemy go opisać także inaczej: to ruch, w którym wartość prędkości chwilowej się nie zmienia. Prędkościomierz pokazuje cały czas tę samą liczbę, a prędkość średnia na dowolnym odcinku jest taka sama jak chwilowa. W ruchu niejednostajnym prędkość chwilowa się zmienia, a prędkość średnia jest tylko pewną liczbą między najmniejszą a największą prędkością chwilową.

Dla dociekliwych: pochodna

Jeśli znasz już granice i pochodne, rozpoznasz, co robiliśmy w tabeli. Skracaliśmy czas Δt i patrzyliśmy, do czego zbliża się iloraz $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$. Matematyk powiedziałby, że prędkość chwilowa to granica tego ilorazu, czyli pochodna drogi względem czasu:

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=s^{\prime }(t)$$

Samochód z tabeli przejechał w czasie t od świateł drogę s = 1 m/s² · t², przy latarni był po dziesięciu sekundach. Pochodna t² to 2t, więc

$$v=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot t=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

a to dokładnie wartość, do której zbliżała się tabela. Poza tym w całej kategorii obejdziemy się bez pochodnych.

Prędkość jako wektor

Samochód objeżdża rondo, a prędkościomierz cały czas pokazuje te same 30 km/h. Czy prędkość samochodu się zmienia, czy nie?

Prędkość jest wektorem. Nie wystarczy wiedzieć, jak szybko samochód jedzie, ważne jest też, dokąd. Strzałkę prędkości oznaczamy $\overrightarrow{v}$. Jej wartość $v=|\overrightarrow{v}|$ to właśnie to, co pokazuje prędkościomierz. Strzałka wskazuje, w którą stronę ciało właśnie się porusza.

Na rysunku samochód jedzie po szarym przerywanym okręgu przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, tak jak jeździ się po rondzie. Czerwona strzałka pokazuje jego prędkość. Jaśniejsze strzałki od ${\overrightarrow{v}}_1$ do ${\overrightarrow{v}}_4$ przedstawiają prędkość samochodu w czterech miejscach, zawsze co ćwierć okrążenia. W animacji samochód krąży po rondzie, a jego strzałka po kolei pokrywa się z każdą z nich. Strzałka jest przez cały czas tak samo długa, bo prędkościomierz pokazuje stale 30 km/h. Jej kierunek zmienia się jednak bez przerwy.

Przenieśmy teraz wszystkie cztery strzałki do jednego punktu. Strzałki możemy przesuwać, o ile ich nie obrócimy i nie zmienimy ich długości, więc to wciąż te same wektory.

Wszystkie cztery strzałki kończą się na tym samym przerywanym okręgu, mają więc tę samą wartość, $|{\overrightarrow{v}}_1|=|{\overrightarrow{v}}_2|=|{\overrightarrow{v}}_3|=|{\overrightarrow{v}}_4|=30\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Każda jest jednak skierowana gdzie indziej, więc to cztery różne wektory, ${\overrightarrow{v}}_1\ne {\overrightarrow{v}}_2$. Odpowiedź na pytanie brzmi zatem: prędkość samochodu się zmienia, chociaż prędkościomierz pokazuje cały czas to samo. Zmienia się jej kierunek. Prędkościomierz pokazuje tylko wartość prędkości, kierunku nie widzi.

Ruch jednostajny rozpoznawaliśmy po drogach, a droga kierunku nie ma. Za jednostajny uważamy więc ruch, w którym nie zmienia się wartość prędkości. Samochód na rondzie jedzie zatem ruchem jednostajnym, a mimo to jego prędkość jako wektor się zmienia. Że to istotna różnica, przekonasz się sam w samochodzie: na zakręcie musisz się zaprzeć, nawet gdy kierowca nie dotyka ani gazu, ani hamulca. Dlaczego tak jest, wyjaśnimy później przy przyspieszeniu.

Zostaje uzasadnić, dlaczego strzałka jest skierowana wzdłuż stycznej, czyli prostej, która w danym miejscu tylko dotyka toru. Wróćmy do prędkości średniej, tym razem jako wektora. Samochód w czasie Δt przesunie się z punktu A do jakiegoś kolejnego punktu toru. Jego przemieszczenie to strzałka $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$, a prędkość średnia jako wektor to

$$\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}.$$

Uwaga, wartość tego wektora na ogół nie jest tym samym co droga podzielona przez czas. Przemieszczenie bywa krótsze niż droga i pokrywa się z nią dopiero na bardzo krótkim odcinku.

Podzielić wektor przez liczbę to to samo, co pomnożyć go przez liczbę $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$. Strzałka tylko się przez to skróci albo wydłuży, ale zachowa kierunek i zwrot, więc prędkość średnia jest skierowana tak samo jak przemieszczenie.

Rysunek pokazuje czarny tor, po którym samochód jedzie od lewej do prawej. Zielone strzałki to przemieszczenia z punktu A w coraz krótszym czasie, do punktów leżących coraz bliżej A. Długie przemieszczenie jest skierowane ukośnie w górę, krótsze już mniej, a im krótszy czas, tym bardziej strzałka przylega do szarej przerywanej stycznej. Prędkość chwilowa to prędkość średnia na bardzo krótkim odcinku, i dlatego jest skierowana wzdłuż stycznej, na rysunku zgodnie z czerwoną strzałką.

Styczną do toru można nawet zobaczyć. Iskry ze szlifierki odlatują od tarczy po stycznej, w kierunku, w którym poruszał się kawałek metalu w chwili, gdy oderwał się od tarczy. Tak samo zachowują się krople odlatujące z wirującego parasola. Gdyby samochód na rondzie wjechał na gołoledź i koła straciły przyczepność, pojechałby dalej mniej więcej prosto w kierunku swojej strzałki prędkości, a nie po okręgu.

Jak szybko co się porusza

Dla wyobrażenia kilka typowych prędkości, w zaokrągleniu:

Prędkość dźwięku w tabeli dotyczy powietrza o temperaturze 20 °C. Dźwięk jest w porównaniu ze światłem powolny i dlatego błyskawicę zobaczysz, zanim usłyszysz grzmot: światło dociera do ciebie praktycznie natychmiast, dźwięk przebywa kilometr w mniej więcej trzy sekundy. Gdy między błyskiem a grzmotem naliczysz dziewięć sekund, burza jest około trzech kilometrów od ciebie. Światło jest najszybsze ze wszystkich. Z Księżyca dociera do nas w nieco ponad sekundę, a ze Słońca w około osiem minut.

Kalkulator

Wpisz drogę i czas, a kalkulator obliczy prędkość średnią. Wstępnie wpisane wartości pochodzą z podróży Nowaków do Białegostoku.

Najprostszy jest ruch, w którym prędkość nie zmienia się wcale, ani co do wartości, ani co do kierunku. Taki ruch jest jednostajny i prostoliniowy i poświęcony jest mu kolejny artykuł, Ruch jednostajny prostoliniowy.