Velocidad

Usain Bolt corrió en 2009, en el Mundial de Berlín, los 100 m en 9,58 s. ¿Cómo de rápida fue esa carrera? Si hubiera mantenido el mismo ritmo todo el rato, a cada segundo le habrían correspondido

$$\frac{100\mathrm{m}}{9,58\mathrm{s}}\approx 10,44\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

es decir, más de diez metros cada segundo. ¿Y cuánto es eso en kilómetros por hora?

$$10,44\mathrm{m}/\mathrm{s}=10,44\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 37,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

En una calle con límite de 50 km/h, Bolt podría seguir el ritmo de los coches durante un rato. Al menos en los cien metros; más no aguantaría.

Fórmula de la velocidad

Si solo buscas la fórmula, la velocidad v se calcula dividiendo la distancia recorrida s entre el tiempo t que el cuerpo ha tardado en recorrerla:

$$v=\frac{s}{t}$$

La velocidad indica cuánta distancia recorre el cuerpo por unidad de tiempo, por ejemplo por segundo o por hora. Cuanto mayor es la distancia recorrida en el mismo tiempo, mayor es la velocidad. Y si recorremos la misma distancia en más tiempo, la velocidad disminuye, pues el tiempo está en el denominador.

La unidad la obtenemos dividiendo la unidad de distancia entre la unidad de tiempo. La distancia en metros y el tiempo en segundos dan metros por segundo, m/s. La distancia en kilómetros y el tiempo en horas dan kilómetros por hora, km/h. Entre las dos unidades se cambia con el número 3,6: de m/s a km/h multiplicamos y al revés dividimos.

Velocidad media

El trayecto de Sevilla a Málaga por la autovía A-92 mide unos 205 km. Los García tardaron 2,5 h, incluida una parada en la gasolinera. ¿A qué velocidad fueron, entonces?

Vamos a calcularlo:

$$v=\frac{205\mathrm{km}}{2,5\mathrm{h}}=82\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Pero el velocímetro del coche casi nunca marcó 82 km/h. En la autovía, al adelantar, marcaba a ratos unos 130 km/h, en el atasco cerca de Antequera 20 km/h y en la gasolinera cero. El número 82 km/h es la velocidad media: la velocidad a la que tendría que haber ido el coche todo el rato, sin paradas, para llegar a Málaga en el mismo tiempo. La escribimos v_m y la calculamos como la distancia total dividida entre el tiempo total:

$$v_m=\frac{s}{t}$$

En el tiempo total entra todo, también las paradas. Si los García se hubieran quedado en la gasolinera una hora más, habrían recorrido los mismos 205 km en 3,5 h y la velocidad media habría bajado a

$$v_m=\frac{205\mathrm{km}}{3,5\mathrm{h}}\approx 58,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

También era media la velocidad de Bolt de 10,44 m/s del principio. Bolt salió de los tacos desde cero, los primeros metros todavía estaba acelerando y por eso al principio corría más despacio y al final más deprisa. En la medición de Berlín recorrió el tramo entre los metros 60 y 80, es decir, 20 m, en 1,61 s:

$$v_m=\frac{20\mathrm{m}}{1,61\mathrm{s}}\approx 12,42\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 44,7\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

En ese tramo corto de la segunda mitad de la carrera fue, por tanto, bastante más rápido de lo que dice la media de los cien metros completos.

Ida a 60 y vuelta a 40

Este problema lo ponen en exámenes y en pruebas de acceso, porque casi todo el mundo lo responde mal a la primera. El señor Ruiz va en coche a una casa de campo situada a 120 km, a una velocidad de 60 km/h. En el viaje de vuelta la carretera está atascada y va solo a 40 km/h. ¿Cuál fue su velocidad media en todo el trayecto de ida y vuelta?

Tienta sumar las dos velocidades y dividir entre dos:

$$\frac{60\mathrm{km}/\mathrm{h}+40\mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=50\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Pero eso está mal. La velocidad media no es la media de las velocidades, sino la distancia total dividida entre el tiempo total. Primero averiguamos, pues, cuánto tardó en cada sentido. A la ida recorrió 120 km a 60 km/h. De la fórmula $v=\frac{s}{t}$ despejamos el tiempo multiplicando ambos lados por t y dividiendo entre v:

$$t=\frac{s}{v}$$

El viaje de ida duró

$$t_1=\frac{120\mathrm{km}}{60\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\mathrm{h}$$

y el de vuelta

$$t_2=\frac{120\mathrm{km}}{40\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

En total recorrió 240 km en 5 h. La velocidad media es

$$v_m=\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

El señor Ruiz fue a una velocidad media de 48 km/h, no de 50 km/h. ¿Adónde se fueron esos dos kilómetros por hora? La respuesta la muestra la figura.

Cada rectángulo representa una hora de viaje y el número que contiene indica cuántos kilómetros recorrió en ella el señor Ruiz. El viaje de ida, en rojo, le llevó dos horas y el de vuelta, en azul, tres. Los dos viajes tienen la misma longitud, 120 km, pero a la velocidad más baja fue durante más tiempo. Cuando hacemos la media de las cinco horas, el cuarenta tiene tres votos y el sesenta solo dos:

$$\begin{array}{rl}{v}_m& =\frac{(60+60+40+40+40)\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}\\ & =\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

La fila verde muestra que cinco horas a 48 km/h dan los mismos 240 km. La media de 50 km/h saldría solo si el señor Ruiz hubiera ido con las dos velocidades el mismo tiempo, por ejemplo una hora a sesenta y una hora a cuarenta. Aquí fue la misma distancia, no el mismo tiempo, y por eso la media se inclinó hacia la velocidad menor.

Todavía más traicionero es el mismo problema al revés. El señor Ruiz fue a la ida otra vez a 60 km/h y querría tener en todo el viaje una media de 80 km/h. ¿A qué velocidad tiene que volver? La respuesta 100 km/h parece evidente, pero ya sabemos que las velocidades no se pueden promediar así. Todo el trayecto de 240 km a una velocidad media de 80 km/h lo recorrería en

$$t=\frac{240\mathrm{km}}{80\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Pero dos horas ya las gastó a la ida. Para los 120 km de vuelta le queda una sola hora, así que tiene que ir a 120 km/h. ¿Y si quisiera una media de 120 km/h? Tendría que recorrer todo el trayecto en dos horas, y esas ya las tiene gastadas. Tendría que llegar de vuelta en tiempo cero, así que es imposible, por rápido que vaya.

Velocidad instantánea

El velocímetro del coche no marca la velocidad media de todo el viaje. Marca a qué velocidad va el coche ahora mismo. A eso lo llamamos velocidad instantánea. Pero ¿cómo calcularla, si la fórmula exige una distancia y un tiempo, y un instante no dura nada?

Nos ayudamos de la velocidad media en un tramo cada vez más corto. El coche arranca desde un semáforo y 100 m más allá hay una farola. Nos interesa a qué velocidad va el coche justo al pasar la farola. En la farola colocamos una barrera fotoeléctrica, como las que se usan para medir el tiempo en atletismo, y otra sucesivamente a 100 m, 10 m y 1 m después de la farola. Las barreras miden cuánto tardó el coche en cada tramo, y con eso calculamos la velocidad media:

En el tramo de cien metros salió una velocidad media de 24,14 m/s. Pero el coche aceleró durante los cien metros, así que al final del tramo iba mucho más rápido que en la farola y por eso la media salió mayor. En diez metros al coche le da tiempo a acelerar menos y en un metro casi nada. Cuanto más corto es el tramo, menos cambia la velocidad durante él y más se acerca la velocidad media a la velocidad en la farola. Los resultados se estabilizan en torno a 20 m/s. En un tramo de 10 cm saldría 20,005 m/s y en un milímetro, un poco menos todavía. La velocidad instantánea del coche en la farola es, pues, 20 m/s, es decir, 20 · 3,6 km/h = 72 km/h. Eso es justo lo que marcaría en ese momento el velocímetro.

La velocidad instantánea la obtenemos, por tanto, como la velocidad media en un tramo muy corto. El trozo de distancia que recorre el cuerpo lo escribimos Δs y el tiempo que tarda en recorrerlo, Δt. La Δ griega significa cambio. Entonces

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t},$$

donde el tiempo Δt tiene que ser tan corto que la velocidad no cambie de forma apreciable durante él. Lo corto que tenga que ser depende del movimiento. Un coche que va por la autovía con el control de crucero apenas cambia de velocidad en un segundo. Un coche que choca contra un muro se detiene en una décima de segundo.

El movimiento uniforme es aquel en el que el cuerpo recorre las mismas distancias en tiempos iguales. Ahora podemos describirlo también de otra forma: es el movimiento en el que no cambia el módulo de la velocidad instantánea. El velocímetro marca siempre el mismo número y la velocidad media en cualquier tramo es igual que la instantánea. En un movimiento variado la velocidad instantánea cambia y la velocidad media es solo un número entre la velocidad instantánea menor y la mayor.

Para curiosos: la derivada

Quien ya conoce los límites y las derivadas reconocerá lo que hicimos en la tabla. Acortábamos el tiempo Δt y observábamos a qué se acerca el cociente $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$. Un matemático diría que la velocidad instantánea es el límite de ese cociente, es decir, la derivada de la distancia respecto al tiempo:

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=s^{\prime }(t)$$

El coche de la tabla recorrió desde el semáforo en el tiempo t la distancia s = 1 m/s² · t², y en la farola estaba a los diez segundos. La derivada de t² es 2t, así que

$$v=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot t=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

y ese es exactamente el valor al que se acercaba la tabla. Por lo demás, en toda la categoría nos arreglamos sin derivadas.

La velocidad como vector

Un coche da la vuelta a una glorieta y el velocímetro marca todo el rato los mismos 30 km/h. ¿Cambia la velocidad del coche o no?

La velocidad es un vector. No basta saber a qué velocidad va el coche, importa también hacia dónde. La flecha de la velocidad la escribimos $\overrightarrow{v}$. Su módulo $v=|\overrightarrow{v}|$ es lo que marca el velocímetro. La flecha apunta hacia donde se mueve el cuerpo en ese momento.

En la figura el coche va por la circunferencia gris discontinua en sentido contrario a las agujas del reloj, como se circula en una glorieta. La flecha roja muestra su velocidad. Las flechas más claras ${\overrightarrow{v}}_1$ a ${\overrightarrow{v}}_4$ recogen la velocidad del coche en cuatro lugares, cada cuarto de vuelta. En la animación el coche da vueltas a la glorieta y su flecha coincide sucesivamente con cada una de ellas. La flecha es todo el rato igual de larga, porque el velocímetro marca siempre 30 km/h. Pero su dirección y sentido cambian sin parar.

Ahora trasladamos las cuatro flechas a un mismo punto. Podemos desplazar las flechas siempre que no las giremos ni cambiemos su longitud, así que siguen siendo los mismos vectores.

Las cuatro flechas terminan en la misma circunferencia discontinua, así que tienen el mismo módulo, $|{\overrightarrow{v}}_1|=|{\overrightarrow{v}}_2|=|{\overrightarrow{v}}_3|=|{\overrightarrow{v}}_4|$, es decir, 30 km/h. Pero cada una apunta a un lado distinto, así que son cuatro vectores diferentes, ${\overrightarrow{v}}_1\ne {\overrightarrow{v}}_2$. La respuesta a la pregunta es, pues: la velocidad del coche cambia, aunque el velocímetro marque siempre lo mismo. Cambia su dirección y sentido. El velocímetro solo marca el módulo de la velocidad; la dirección y el sentido no los ve.

El movimiento uniforme lo reconocimos por las distancias, y la distancia no tiene dirección ni sentido. Por eso consideramos uniforme un movimiento en el que no cambia el módulo de la velocidad. El coche de la glorieta va, pues, con movimiento uniforme, y aun así su velocidad como vector cambia. Que es una diferencia esencial lo notarás tú mismo en el coche: en una curva tienes que sujetarte, aunque el conductor no toque el acelerador ni el freno. Por qué es así lo explicaremos más adelante con la aceleración.

Queda por justificar por qué la flecha apunta según la tangente, es decir, la recta que solo toca la trayectoria en el lugar dado. Volvemos a la velocidad media, esta vez como vector. En el tiempo Δt el coche se desplaza del punto A a otro punto de la trayectoria. Su desplazamiento es la flecha $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ y la velocidad media como vector es

$$\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}.$$

Ojo: el módulo de este vector en general no es lo mismo que la distancia recorrida dividida entre el tiempo. El desplazamiento suele ser más corto que la distancia recorrida, y solo coincide con ella en un tramo muy corto.

Dividir un vector entre un número significa lo mismo que multiplicarlo por el número $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$. La flecha solo se acorta o se alarga, conserva su dirección y sentido, y por eso la velocidad media apunta igual que el desplazamiento.

La figura muestra la trayectoria negra por la que va el coche de izquierda a derecha. Las flechas verdes son los desplazamientos desde el punto A en un tiempo cada vez más corto, hasta puntos situados cada vez más cerca de A. El desplazamiento largo apunta en oblicuo hacia arriba, el más corto ya menos, y cuanto más corto es el tiempo, más se pega la flecha a la tangente gris discontinua. La velocidad instantánea es la velocidad media en un tramo muy corto, y por eso apunta según la tangente, en la figura en el sentido de la flecha roja.

La tangente a la trayectoria incluso se puede ver. Las chispas de una amoladora salen del disco según la tangente, en la dirección y sentido en que se movía el trocito de metal en el momento en que se desprendió del disco. Igual se comportan las gotas que salen despedidas de un paraguas que gira. Si el coche de la glorieta pasara por una placa de hielo y las ruedas dejaran de agarrar, seguiría aproximadamente recto en la dirección de su flecha de velocidad, no por la circunferencia.

A qué velocidad se mueve cada cosa

Para hacerse una idea, aquí van algunas velocidades típicas, redondeadas:

La velocidad del sonido de la tabla vale para aire a una temperatura de 20 °C. El sonido es lento comparado con la luz, y por eso ves el relámpago antes de oír el trueno: la luz llega a ti prácticamente al instante, el sonido recorre un kilómetro en unos tres segundos. Si entre el relámpago y el trueno cuentas nueve segundos, la tormenta está más o menos a tres kilómetros. La luz es la más rápida de todas. De la Luna llega a nosotros en algo más de un segundo y del Sol en unos ocho minutos.

Calculadora

Introduce la distancia y el tiempo y la calculadora te dará la velocidad media. Los valores precargados proceden del viaje de los García a Málaga.

Lo más sencillo es un movimiento en el que la velocidad no cambia en absoluto, ni en módulo ni en dirección y sentido. Ese movimiento es rectilíneo y uniforme, y de él trata el siguiente artículo, Movimiento rectilíneo uniforme.