Vitesse

Usain Bolt a couru en 2009 aux championnats du monde de Berlin les 100 m en 9,58 s. À quelle vitesse a-t-il couru ? S’il avait tenu le même rythme tout du long, chaque seconde lui aurait fait parcourir

$$\frac{100\mathrm{m}}{9,58\mathrm{s}}\approx 10,44\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

soit plus de dix mètres chaque seconde. Et combien cela fait-il en kilomètres par heure ?

$$10,44\mathrm{m}/\mathrm{s}=10,44\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 37,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Dans une rue limitée à 50, Bolt aurait pu suivre les voitures un moment. Du moins sur cent mètres : il n’aurait pas tenu ce rythme plus longtemps.

La formule de la vitesse

Si tu cherches seulement la formule, tu calcules la vitesse v en divisant la distance parcourue d par le temps t mis pour la parcourir :

$$v=\frac{d}{t}$$

La vitesse indique quelle distance le corps parcourt par unité de temps, par exemple par seconde ou par heure. Plus la distance est grande pour un même temps, plus la vitesse est grande. Et quand on parcourt la même distance plus longtemps, la vitesse diminue, puisque le temps est au dénominateur.

On obtient l’unité en divisant l’unité de distance par l’unité de temps. Une distance en mètres et un temps en secondes donnent des mètres par seconde, m/s. Une distance en kilomètres et un temps en heures donnent des kilomètres par heure, km/h. Entre les deux unités, on convertit avec le nombre 3,6 : de m/s en km/h on multiplie, dans l’autre sens on divise.

Vitesse moyenne

Le trajet de Paris au Mans par l’autoroute A11 mesure environ 205 km. La famille Martin a mis 2,5 h, pause à la station-service comprise. À quelle vitesse ont-ils donc roulé ?

Essayons de le calculer :

$$v=\frac{205\mathrm{km}}{2,5\mathrm{h}}=82\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Mais le compteur de la voiture n’a presque jamais indiqué 82 km/h. Sur l’autoroute, il indiquait autour de 130 km/h, dans le bouchon à hauteur de Chartres 20 km/h et à la station-service zéro. Le nombre 82 km/h est la vitesse moyenne : la vitesse à laquelle la voiture aurait dû rouler tout le temps sans s’arrêter pour arriver au Mans dans le même temps. Nous la notons v_m et nous la calculons comme la distance totale divisée par le temps total :

$$v_m=\frac{d}{t}$$

Dans le temps total entre tout, y compris les arrêts. Si les Martin étaient restés une heure de plus à la station-service, ils auraient parcouru les mêmes 205 km en 3,5 h et la vitesse moyenne serait tombée à

$$v_m=\frac{205\mathrm{km}}{3,5\mathrm{h}}\approx 58,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Les 10,44 m/s de Bolt, au début de l’article, étaient aussi une vitesse moyenne. Bolt est sorti des blocs à partir de zéro, il a d’abord accéléré sur les premiers mètres, donc il a couru plus lentement au début et plus vite à la fin. Lors de la mesure à Berlin, il a couru le tronçon entre le 60e et le 80e mètre, donc 20 m, en 1,61 s :

$$v_m=\frac{20\mathrm{m}}{1,61\mathrm{s}}\approx 12,42\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 44,7\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Sur un court tronçon de la seconde moitié de la course, il était donc beaucoup plus rapide que ne le dit la moyenne sur tout le 100 mètres.

À l’aller 60, au retour 40

Cet exercice est donné en devoir comme au concours, parce que presque tout le monde se trompe la première fois. M. Durand va en voiture à sa maison de campagne, à 120 km, à la vitesse de 60 km/h. Au retour, la route est bouchée, donc il ne roule qu’à 40 km/h. Quelle a été sa vitesse moyenne sur l’ensemble de l’aller-retour ?

On est tenté d’additionner les deux vitesses et de diviser par deux :

$$\frac{60\mathrm{km}/\mathrm{h}+40\mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=50\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Mais c’est faux. La vitesse moyenne n’est pas la moyenne des vitesses, mais la distance totale divisée par le temps total. Nous cherchons donc d’abord combien de temps il a roulé dans chaque sens. À l’aller, il a parcouru 120 km à 60 km/h. De la formule $v=\frac{d}{t}$, nous exprimons le temps en multipliant les deux côtés par t et en divisant par v :

$$t=\frac{d}{v}$$

Le trajet aller a duré

$$t_1=\frac{120\mathrm{km}}{60\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\mathrm{h}$$

et le trajet retour

$$t_2=\frac{120\mathrm{km}}{40\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

En tout, il a parcouru 240 km en 5 h. La vitesse moyenne est

$$v_m=\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

M. Durand a roulé à la vitesse moyenne de 48 km/h, pas de 50 km/h. Où sont passés les deux kilomètres par heure ? La figure le montre.

Chaque rectangle représente une heure de route et le nombre qu’il contient indique combien de kilomètres M. Durand a parcourus pendant cette heure. L’aller, en rouge, lui a pris deux heures, le retour, en bleu, trois. Les deux trajets ont la même longueur, 120 km, mais il a roulé plus longtemps à la vitesse lente. Quand on fait la moyenne sur les cinq heures, le quarante a trois voix et le soixante seulement deux :

$$\begin{array}{rl}{v}_m& =\frac{(60+60+40+40+40)\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}\\ & =\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

La ligne verte montre que cinq heures à 48 km/h donnent les mêmes 240 km. La moyenne de 50 km/h ne serait obtenue que si M. Durand avait roulé aux deux vitesses pendant la même durée, par exemple une heure à soixante et une heure à quarante. Ici, il a roulé sur la même distance, pas pendant la même durée, et c’est pourquoi la moyenne a penché vers la vitesse la plus lente.

Le même exercice à l’envers est encore plus perfide. M. Durand a de nouveau roulé à l’aller à 60 km/h et il voudrait avoir sur l’ensemble du trajet une moyenne de 80 km/h. À quelle vitesse doit-il rouler au retour ? La réponse 100 km/h s’offre à l’esprit, mais nous savons déjà que les vitesses ne se moyennent pas ainsi. Le trajet entier de 240 km à la vitesse moyenne de 80 km/h serait parcouru en

$$t=\frac{240\mathrm{km}}{80\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Mais il a déjà utilisé deux heures à l’aller. Pour les 120 km du retour, il ne lui reste qu’une seule heure, donc il doit rouler à 120 km/h. Et s’il voulait une moyenne de 120 km/h ? Il devrait parcourir tout le trajet en deux heures, et celles-ci sont déjà derrière lui. Il devrait faire le retour en un temps nul, donc c’est impossible, quelle que soit sa vitesse.

Vitesse instantanée

Le compteur de la voiture n’indique pas la vitesse moyenne sur tout le trajet. Il indique à quelle vitesse la voiture roule en ce moment. Nous l’appelons la vitesse instantanée. Mais comment la calculer, alors que la formule exige une distance et un temps, et qu’un instant ne dure pas du tout ?

Nous nous aidons de la vitesse moyenne sur un tronçon de plus en plus court. La voiture démarre à un feu et 100 m plus loin se trouve un lampadaire. Nous voulons savoir à quelle vitesse la voiture roule précisément au niveau du lampadaire. Au lampadaire, nous plaçons une barrière lumineuse, comme on en utilise pour chronométrer en athlétisme, et une seconde successivement à 100 m, 10 m et 1 m après le lampadaire. Les barrières mesurent combien de temps la voiture a mis pour chaque tronçon, et nous en calculons la vitesse moyenne :

Sur le tronçon de cent mètres, la vitesse moyenne obtenue est de 24,14 m/s. Mais la voiture a accéléré pendant les cent mètres entiers, donc à la fin du tronçon elle roulait beaucoup plus vite qu’au lampadaire et la moyenne en est devenue plus grande. Sur dix mètres, la voiture a moins le temps d’accélérer et sur un mètre presque pas du tout. Plus le tronçon est court, moins la vitesse change pendant ce tronçon et plus la vitesse moyenne se rapproche de la vitesse au lampadaire. Les résultats se stabilisent autour de 20 m/s. Sur un tronçon de 10 cm, on obtiendrait 20,005 m/s, sur un millimètre un peu moins encore. La vitesse instantanée de la voiture au lampadaire est donc de 20 m/s, soit 20 · 3,6 km/h = 72 km/h. C’est exactement ce qu’indiquerait le compteur à cet instant.

Nous obtenons donc la vitesse instantanée comme la vitesse moyenne sur un tronçon très court. La portion de distance que le corps parcourt, nous la notons Δd et la durée qu’il met pour la parcourir Δt. Le Δ grec signifie variation. Alors

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }d}{\mathrm{\Delta }t},$$

où la durée Δt doit être assez courte pour que la vitesse ne change pas sensiblement pendant ce temps. Ce que veut dire « assez court » dépend du mouvement. Une voiture qui roule sur l’autoroute avec le régulateur de vitesse ne change que très peu de vitesse en une seconde. Une voiture qui percute un mur s’arrête en un dixième de seconde.

Un mouvement uniforme est un mouvement dans lequel le corps parcourt des distances égales en des durées égales. Maintenant, nous pouvons aussi le décrire autrement : c’est un mouvement dans lequel la valeur de la vitesse instantanée ne change pas. Le compteur indique toujours le même nombre et la vitesse moyenne sur n’importe quel tronçon est la même que la vitesse instantanée. Dans un mouvement non uniforme, la vitesse instantanée change et la vitesse moyenne n’est qu’un nombre compris entre la plus petite et la plus grande vitesse instantanée.

Pour les curieux : la dérivée

Si tu connais déjà les limites et les dérivées, tu reconnais ce que nous avons fait dans le tableau. Nous raccourcissions la durée Δt et nous observions vers quoi tend le quotient $\frac{\mathrm{\Delta }d}{\mathrm{\Delta }t}$. Un mathématicien dirait que la vitesse instantanée est la limite de ce quotient, donc la dérivée de la distance par rapport au temps :

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }d}{\mathrm{\Delta }t}=d^{\prime }(t)$$

La voiture du tableau a parcouru depuis le feu pendant le temps t la distance d = 1 m/s² · t², et elle était au lampadaire après dix secondes. La dérivée de t² est 2t, donc

$$v=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot t=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

et c’est exactement la valeur dont le tableau s’approchait. Pour le reste, dans toute la catégorie, nous nous passons de dérivées.

La vitesse comme vecteur

Une voiture contourne un rond-point et le compteur indique tout le temps 30 km/h. La vitesse de la voiture change-t-elle ou non ?

La vitesse est un vecteur. Il ne suffit pas de savoir à quelle vitesse roule la voiture, il importe aussi de savoir dans quelle direction. La flèche de la vitesse se note $\overrightarrow{v}$. Sa norme $v=|\overrightarrow{v}|$ est ce qu’indique le compteur. La flèche est dirigée là où le corps se déplace à cet instant.

Sur la figure, la voiture roule sur le cercle gris en pointillés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, comme on roule sur un rond-point. La flèche rouge montre sa vitesse. Les flèches plus claires ${\overrightarrow{v}}_1$ à ${\overrightarrow{v}}_4$ représentent la vitesse de la voiture en quatre endroits, à chaque quart de tour. Dans l’animation, la voiture fait le tour du rond-point et sa flèche coïncide successivement avec chacune d’elles. La flèche a tout le temps la même longueur, car le compteur indique constamment 30 km/h. Mais sa direction change sans cesse.

Transportons maintenant les quatre flèches en un seul point. Nous pouvons déplacer les flèches à condition de ne pas les faire tourner ni de changer leur longueur, donc ce sont toujours les mêmes vecteurs.

Les quatre flèches finissent toutes sur le même cercle en pointillés, elles ont donc la même norme, $|{\overrightarrow{v}}_1|=|{\overrightarrow{v}}_2|=|{\overrightarrow{v}}_3|=|{\overrightarrow{v}}_4|=30\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Mais chacune est dirigée ailleurs, ce sont donc quatre vecteurs différents, ${\overrightarrow{v}}_1\ne {\overrightarrow{v}}_2$. La réponse à la question est donc : la vitesse de la voiture change, bien que le compteur indique toujours la même chose. C’est sa direction qui change. Le compteur n’indique que la norme de la vitesse, il ne voit pas la direction.

Nous avons reconnu le mouvement uniforme d’après les distances, et la distance n’a pas de direction. C’est pourquoi nous considérons comme uniforme un mouvement dans lequel la valeur de la vitesse ne change pas. La voiture sur le rond-point roule donc de façon uniforme, et pourtant sa vitesse comme vecteur change. Que ce soit une différence essentielle, tu le constates toi-même en voiture : dans un virage, tu dois te caler, même si le conducteur ne touche ni l’accélérateur ni le frein. Pourquoi il en est ainsi, nous l’expliquerons plus tard avec l’accélération.

Il reste à justifier pourquoi la flèche est dirigée selon la tangente, donc selon la droite qui ne fait que toucher la trajectoire à l’endroit donné. Revenons à la vitesse moyenne, cette fois comme vecteur. Pendant la durée Δt, la voiture se déplace du point A à un autre point de la trajectoire. Son déplacement est la flèche $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ et la vitesse moyenne comme vecteur est

$$\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}.$$

Attention, la norme de ce vecteur n’est en général pas la même chose que la distance divisée par le temps. Le déplacement est souvent plus court que la distance parcourue, et il ne se confond avec elle que sur un tronçon très court.

Diviser un vecteur par un nombre revient à le multiplier par le nombre $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$. La flèche est seulement raccourcie ou allongée, sa direction reste, et la vitesse moyenne est donc dirigée comme le déplacement.

La figure montre la trajectoire noire sur laquelle la voiture roule de gauche à droite. Les flèches vertes sont les déplacements à partir du point A pendant une durée de plus en plus courte, vers des points de plus en plus proches de A. Le long déplacement est dirigé obliquement vers le haut, le plus court l’est moins, et plus la durée est courte, plus la flèche se rapproche de la tangente grise en pointillés. La vitesse instantanée est la vitesse moyenne sur un tronçon très court, et c’est pourquoi elle est dirigée selon la tangente, sur la figure dans la direction de la flèche rouge.

Tu peux même voir la tangente à la trajectoire. Les étincelles d’une meuleuse s’échappent du disque selon la tangente, dans la direction où le morceau de métal se déplaçait à l’instant où il s’est détaché du disque. Les gouttes qui jaillissent d’un parapluie qu’on fait tourner se comportent de la même façon. Si la voiture sur le rond-point arrivait sur du verglas et que les roues n’adhéraient plus, elle continuerait à peu près tout droit dans la direction de sa flèche de vitesse, pas sur le cercle.

À quelle vitesse se déplacent les choses

Pour t’en faire une idée, voici quelques vitesses typiques, arrondies :

La vitesse du son du tableau vaut pour l’air à la température de 20 °C. Le son est lent comparé à la lumière, et c’est pourquoi tu vois l’éclair avant d’entendre le tonnerre : la lumière te parvient pratiquement instantanément, le son parcourt un kilomètre en trois secondes environ. Si tu comptes neuf secondes entre l’éclair et le tonnerre, l’orage est à peu près à trois kilomètres. La lumière est la plus rapide de toutes. De la Lune, elle nous parvient en un peu plus d’une seconde et du Soleil en huit minutes environ.

Calculatrice

Saisis la distance parcourue et le temps, et la calculatrice calcule la vitesse moyenne. Les valeurs préremplies viennent du trajet des Martin jusqu’au Mans.

Le mouvement le plus simple est celui dans lequel la vitesse ne change pas du tout, ni en norme, ni en direction. Un tel mouvement est rectiligne et uniforme, et c’est le sujet de l’article suivant, Mouvement rectiligne uniforme.