Sebesség

Usain Bolt 2009-ben a berlini világbajnokságon 100 m távot futott le 9,58 s alatt. Milyen gyors volt ez a futás? Ha végig ugyanazt a tempót tartotta volna, minden másodpercre

$$\frac{100\mathrm{m}}{9,58\mathrm{s}}\approx 10,44\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

jutott volna, vagyis másodpercenként több mint tíz méter. És mennyi ez kilométer per órában?

$$10,44\mathrm{m}/\mathrm{s}=10,44\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 37,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Egy 50-es övezetben Bolt egy darabig lépést tartana az autókkal. Legalábbis a százon, tovább nem bírná ezt a tempót.

A sebesség képlete

Ha csak a képletet keresed: a v sebességet úgy számolod ki, hogy az s utat elosztod azzal a t idővel, amely alatt a test megtette:

$$v=\frac{s}{t}$$

A sebesség azt adja meg, mennyi utat tesz meg a test egységnyi idő alatt, például egy másodperc vagy egy óra alatt. Minél nagyobb út jut ugyanarra az időre, annál nagyobb a sebesség. Ha ugyanazt az utat hosszabb idő alatt tesszük meg, a sebesség csökken, hiszen az idő a nevezőben áll.

A mértékegységet úgy kapjuk, hogy az út mértékegységét elosztjuk az idő mértékegységével. Az út méterben és az idő másodpercben méter per másodpercet ad, m/s. Az út kilométerben és az idő órában kilométer per órát ad, km/h. A két mértékegység között a 3,6 számmal váltunk át: m/s értékről km/h értékre szorzunk, fordítva osztunk.

Átlagsebesség

Az út Budapestről Pécsre az M6-os autópályán körülbelül 205 km. A Kovács család 2,5 h alatt ért oda, a benzinkúton tartott szünettel együtt. Milyen gyorsan mentek tehát?

Számoljuk ki:

$$v=\frac{205\mathrm{km}}{2,5\mathrm{h}}=82\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Az autó sebességmérője azonban a 82 km/h értéket szinte soha nem mutatta. Az autópályán körülbelül 130 km/h értéket mutatott, a Dunaújváros melletti dugóban 20 km/h értéket, a benzinkúton nullát. A 82 km/h az átlagsebesség: az a sebesség, amellyel az autónak megállás nélkül végig mennie kellett volna, hogy ugyanennyi idő alatt érjen Pécsre. A jele v_átl, és úgy számoljuk ki, hogy a teljes megtett utat elosztjuk a teljes idővel:

$$v_{\mathrm{á}\mathrm{tl}}=\frac{s}{t}$$

Az összes időbe minden beletartozik, a megállások is. Ha a Kovács család a benzinkúton egy órával tovább ücsörgött volna, ugyanazt a 205 km utat 3,5 h alatt tették volna meg, és az átlagsebesség lecsökkent volna erre:

$$v_{\mathrm{á}\mathrm{tl}}=\frac{205\mathrm{km}}{3,5\mathrm{h}}\approx 58,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Bolt bevezetőben szereplő 10,44 m/s sebessége is átlagsebesség volt. Bolt a starttömbből nulláról indult, az első métereken még gyorsult, így az elején lassabban, a végén gyorsabban futott. A berlini méréskor a 60. és a 80. méter közötti szakaszt, vagyis 20 m utat 1,61 s alatt futotta le:

$$v_{\mathrm{á}\mathrm{tl}}=\frac{20\mathrm{m}}{1,61\mathrm{s}}\approx 12,42\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 44,7\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

A verseny második felében ezen a rövid szakaszon tehát jóval gyorsabb volt, mint az egész százra számított átlag.

Oda 60, vissza 40

Ezt a feladatot dolgozatokban és felvételiken is feladják, mert szinte mindenki elsőre rosszul válaszol. Szabó úr autóval megy a 120 km távolságra lévő nyaralóba 60 km/h sebességgel. Visszafelé dugó van az úton, ezért csak 40 km/h sebességgel halad. Mekkora volt az átlagsebessége az egész úton, oda és vissza?

Csábító a két sebességet összeadni és kettővel osztani:

$$\frac{60\mathrm{km}/\mathrm{h}+40\mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=50\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Ez azonban rossz. Az átlagsebesség nem a sebességek átlaga, hanem az egész megtett út osztva az egész idővel. Először ezért megnézzük, mennyi ideig ment az egyik és a másik irányban. Odafelé 120 km utat tett meg 60 km/h sebességgel. A $v=\frac{s}{t}$ képletből az időt úgy fejezzük ki, hogy mindkét oldalt megszorozzuk t-vel, és elosztjuk v-vel:

$$t=\frac{s}{v}$$

Az odaút

$$t_1=\frac{120\mathrm{km}}{60\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\mathrm{h}$$

a visszaút pedig

$$t_2=\frac{120\mathrm{km}}{40\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Összesen 240 km utat tett meg 5 h alatt. Az átlagsebesség

$$v_{\mathrm{á}\mathrm{tl}}=\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Szabó úr átlagsebessége 48 km/h volt, nem 50 km/h. Hová tűnt a két kilométer per óra? A választ az ábra mutatja.

Minden téglalap egy óra menetidő, a benne lévő szám azt mutatja, hány kilométert tett meg Szabó úr alatta. Az odaút, pirossal, két órát vett igénybe, a visszaút, kékkel, hármat. Mindkét út egyformán hosszú, 120 km, de a kisebb sebességgel hosszabb ideig ment. Ha az öt órából átlagot számolunk, a negyvenesnek három szavazata van, a hatvanasnak csak kettő:

$$\begin{array}{rl}{v}_{\mathrm{á}\mathrm{tl}}& =\frac{(60+60+40+40+40)\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}\\ & =\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

A zöld sor mutatja, hogy öt óra 48 km/h sebességgel ugyanannyi, 240 km. Az 50 km/h átlag csak akkor jönne ki, ha Szabó úr a két sebességgel ugyanannyi ideig menne, mondjuk egy órát hatvannal és egy órát negyvennel. Itt ugyanolyan messzire ment, nem ugyanannyi ideig, és az átlag ezért a lassabb sebesség felé húzódott.

Még alattomosabb ugyanez a feladat megfordítva. Szabó úr oda megint 60 km/h sebességgel ment, és az egész útra 80 km/h átlagot szeretne. Milyen gyorsan kell visszamennie? Kínálkozik a 100 km/h válasz, de már tudjuk, hogy a sebességeket nem lehet így átlagolni. A teljes 240 km utat 80 km/h átlagsebességgel ennyi idő alatt tenné meg:

$$t=\frac{240\mathrm{km}}{80\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Két órát azonban már felhasznált az odaúton. A visszafelé megtett 120 km útra egyetlen óra marad, tehát 120 km/h sebességgel kell mennie. És ha 120 km/h átlagot akarna? Az egész utat két óra alatt kellene megtennie, és azt már elhasználta. Vissza nulla idő alatt kellene megérkeznie, ez tehát lehetetlen, bármilyen gyorsan hajt is.

Pillanatnyi sebesség

Az autó sebességmérője nem az egész út átlagsebességét mutatja. Azt mutatja, milyen gyorsan megy az autó éppen most. Ezt pillanatnyi sebességnek nevezzük. De hogyan számoljuk ki, ha a képlet valamilyen utat és valamilyen időt kíván, a pillanat pedig egyáltalán nem tart?

Az átlagsebesség segít, ha egyre rövidebb szakaszon számoljuk. Az autó a jelzőlámpától indul, és tőle 100 m távolságra áll egy lámpaoszlop. Az érdekel minket, milyen gyorsan megy az autó éppen a lámpaoszlopnál. A lámpaoszlophoz fénysorompót állítunk, amilyet az atlétikában használnak az időmérésnél, a másikat pedig fokozatosan 100 m, 10 m és 1 m távolságra a lámpaoszlop mögé. A sorompók megmérik, mennyi ideig tartott az autónak egy-egy szakasz, és ebből kiszámoljuk az átlagsebességet:

A százméteres szakaszon az átlagsebesség 24,14 m/s lett. Az autó azonban a teljes száz méteren gyorsult, így a szakasz végén sokkal gyorsabban ment, mint a lámpaoszlopnál, és az átlag ettől lett nagyobb. Tíz méteren az autó már kevesebbet gyorsul, egy méteren pedig szinte semmit. Minél rövidebb a szakasz, annál kevésbé változik a sebesség közben, és annál inkább megközelíti az átlagsebesség a lámpaoszlopnál mért sebességet. Az eredmények 20 m/s körül állandósulnak. Egy 10 cm hosszú szakaszon 20,005 m/s jönne ki, egy milliméteren még egy kicsivel kevesebb. Az autó pillanatnyi sebessége a lámpaoszlopnál ezért 20 m/s, vagyis 20 · 3,6 km/h = 72 km/h. Pontosan ezt mutatná abban a pillanatban a sebességmérő.

A pillanatnyi sebességet tehát nagyon rövid szakasz átlagsebességeként kapjuk. A test által megtett útszakaszt Δs, azt az időt, amely alatt megtette, Δt jelöli. A görög Δ változást jelent. Ekkor

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t},$$

ahol a Δt időnek annyira rövidnek kell lennie, hogy a sebesség közben érezhetően ne változzon. Hogy mennyire rövid az elég rövid, az a mozgástól függ. Az az autó, amely az autópályán tempomattal megy, egy másodperc alatt csak alig változtatja meg a sebességét. Az az autó, amely falnak ütközik, egy tizedmásodperc alatt megáll.

Az egyenletes mozgás olyan mozgás, amelynél a test egyenlő idők alatt egyenlő utakat tesz meg. Most másképp is leírhatjuk: olyan mozgás, amelynél a pillanatnyi sebesség nagysága nem változik. A sebességmérő mindig ugyanazt a számot mutatja, és az átlagsebesség bármelyik szakaszon megegyezik a pillanatnyival. A nem egyenletes mozgásnál a pillanatnyi sebesség változik, az átlagsebesség pedig csak valamilyen szám a legkisebb és a legnagyobb pillanatnyi sebesség között.

Kíváncsiaknak: a derivált

Aki már ismeri a határértéket és a deriváltat, felismeri, mit csináltunk a táblázatban. Rövidítettük a Δt időt, és figyeltük, mihez közelít a $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ hányados. A matematikus azt mondaná, hogy a pillanatnyi sebesség ennek a hányadosnak a határértéke, vagyis az út idő szerinti deriváltja:

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=s^{\prime }(t)$$

A táblázatbeli autó a jelzőlámpától indulva a t idő alatt az s = 1 m/s² · t² utat tette meg, a lámpaoszlopnál tíz másodperc múlva volt. A t² deriváltja 2t, tehát

$$v=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot t=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

és ez pontosan az az érték, amelyhez a táblázat közeledett. Egyébként az egész kategóriában derivált nélkül is boldogulunk.

A sebesség mint vektor

Az autó a körforgalomban halad, és a sebességmérő végig ugyanazt a 30 km/h értéket mutatja. Változik az autó sebessége, vagy nem?

A sebesség vektor. Nem elég tudni, milyen gyorsan megy az autó, az is fontos, hová. A sebesség nyilának jele $\overrightarrow{v}$. A nagysága, $v=|\overrightarrow{v}|$ az, amit a sebességmérő mutat. A nyíl arra mutat, amerre a test éppen mozog.

Az ábrán az autó a szürke szaggatott körön megy az óramutató járásával ellentétesen, ahogy a körforgalomban kell. A piros nyíl a sebességét mutatja. A világosabb ${\overrightarrow{v}}_1$–${\overrightarrow{v}}_4$ nyilak az autó sebességét ábrázolják négy helyen, mindig negyed körönként. Az animációban az autó újra meg újra körbemegy a körforgalmon, és a nyila sorra fedi mindegyiket. A nyíl végig ugyanolyan hosszú, mert a sebességmérő állandóan 30 km/h értéket mutat. Az iránya azonban megszakítás nélkül változik.

Most vigyük át mind a négy nyilat egy pontba. A nyilakat tolhatjuk, ha nem forgatjuk el és nem változtatjuk a hosszukat, tehát továbbra is ugyanazok a vektorok.

Mind a négy nyíl ugyanazon a szaggatott körön végződik, tehát ugyanakkora a nagyságuk, $|{\overrightarrow{v}}_1|=|{\overrightarrow{v}}_2|=|{\overrightarrow{v}}_3|=|{\overrightarrow{v}}_4|=30\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Mindegyik azonban máshová mutat, tehát négy különböző vektorról van szó, ${\overrightarrow{v}}_1\ne {\overrightarrow{v}}_2$. A kérdésre a válasz tehát: az autó sebessége változik, bár a sebességmérő mindig ugyanazt mutatja. Az iránya változik. A sebességmérő csak a sebesség nagyságát mutatja, az irányt nem látja.

Az egyenletes mozgást az utakból ismertük fel, az útnak pedig nincs iránya. Egyenletesnek ezért azt a mozgást tekintjük, amelynél a sebesség nagysága nem változik. A körforgalomban az autó tehát egyenletesen megy, és mégis változik a sebessége mint vektor. Hogy ez lényeges különbség, magad is érzed az autóban: a kanyarban meg kell kapaszkodnod, pedig a sofőr nem nyúl se a gázhoz, se a fékhez. Hogy miért van ez így, később magyarázzuk el a gyorsulásnál.

Marad annak az indoklása, miért mutat a nyíl az érintő irányába, vagyis arra az egyenesre, amely a pályát az adott helyen csak érinti. Visszatérünk az átlagsebességhez, ezúttal mint vektorhoz. Az autó a Δt idő alatt az A pontból a pálya valamelyik következő pontjába mozdul el. Az elmozdulása a $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ nyíl, az átlagsebesség mint vektor pedig

$$\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}.$$

Vigyázat, ennek a vektornak a nagysága általában nem egyezik meg az úttal osztva az idővel. Az elmozdulás többnyire rövidebb az útnál, és csak nagyon rövid szakaszon esik egybe vele.

A vektor számmal való osztása ugyanaz, mint a $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$ számmal való szorzás. A nyíl ettől csak rövidebb vagy hosszabb lesz, az iránya megmarad, az átlagsebesség ezért ugyanarra mutat, mint az elmozdulás.

Az ábrán a fekete pálya látható, amelyen az autó balról jobbra megy. A zöld nyilak az A pontból egyre rövidebb idő alatt megtett elmozdulások, az A-hoz egyre közelebb fekvő pontokba. A hosszú elmozdulás ferdén felfelé mutat, a rövidebb már kevésbé, és minél rövidebb az idő, annál jobban simul a nyíl a szürke szaggatott érintőhöz. A pillanatnyi sebesség nagyon rövid szakasz átlagsebessége, ezért az érintő irányába mutat, az ábrán a piros nyíl irányában.

Az érintőt akár láthatod is. A köszörű szikrái az érintő mentén repülnek le a korongról, abba az irányba, amerre a fémdarab a korongról való leszakadás pillanatában mozgott. Hasonlóan viselkednek a cseppek, amelyek a megpörgetett esernyőről repülnek le. Ha az autó a körforgalomban jeges útra futna, és a kerekek nem tapadnának, nagyjából egyenesen haladna tovább a sebességvektora irányában, nem a körön.

Mi milyen gyorsan mozog

Szemléltetésül itt van néhány jellemző sebesség, kerekítve:

A táblázatban a hang sebessége 20 °C hőmérsékletű levegőre érvényes. A hang a fényhez képest lassú, ezért látod meg hamarabb a villámot, mint ahogy meghallod a mennydörgést: a fény gyakorlatilag azonnal ideér, a hang egy kilométert körülbelül három másodperc alatt tesz meg. Ha a villám és a mennydörgés között kilenc másodpercet számolsz, a vihar nagyjából három kilométerre van. A fény mindenkinél gyorsabb. A Holdról valamivel több mint egy másodperc alatt ér ide, a Napról körülbelül nyolc perc alatt.

Számológép

Add meg az utat és az időt, a számológép pedig kiszámolja az átlagsebességet. Az előre kitöltött értékek a Kovács család pécsi útjából származnak.

A legegyszerűbb az a mozgás, amelynél a sebesség egyáltalán nem változik, sem a nagysága, sem az iránya. Az ilyen mozgás egyenletes és egyenes vonalú, és ezzel a következő cikk foglalkozik, az Egyenes vonalú egyenletes mozgás.