Geschwindigkeit

Usain Bolt lief 2009 bei der Weltmeisterschaft in Berlin die 100 m in 9,58 s. Wie schnell war dieser Lauf? Hätte er die ganze Zeit dasselbe Tempo gehalten, käme auf jede Sekunde

$$\frac{100\mathrm{m}}{9,58\mathrm{s}}\approx 10,44\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

das sind über zehn Meter in jeder Sekunde. Und wie viel ist das in Kilometern pro Stunde?

$$10,44\mathrm{m}/\mathrm{s}=10,44\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 37,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

In einer Straße mit Tempo 50 könnte Bolt mit den Autos eine Weile mithalten. Zumindest über hundert Meter, länger würde er das Tempo nicht durchhalten.

Die Formel für die Geschwindigkeit

Wenn du nur die Formel suchst: Die Geschwindigkeit v berechnest du, indem du den Weg s durch die Zeit t teilst, in der der Körper ihn zurückgelegt hat:

$$v=\frac{s}{t}$$

Die Geschwindigkeit gibt an, wie viel Weg der Körper in einer Zeiteinheit zurücklegt, zum Beispiel in einer Sekunde oder in einer Stunde. Je größer der Weg in derselben Zeit, desto größer die Geschwindigkeit. Und wenn wir denselben Weg in längerer Zeit zurücklegen, sinkt die Geschwindigkeit, die Zeit steht ja im Nenner.

Die Einheit erhalten wir, indem wir die Einheit des Weges durch die Einheit der Zeit teilen. Der Weg in Metern und die Zeit in Sekunden ergeben Meter pro Sekunde, m/s. Der Weg in Kilometern und die Zeit in Stunden ergeben Kilometer pro Stunde, km/h. Zwischen beiden Einheiten rechnet man um mit der Zahl 3,6: Von m/s in km/h multiplizieren wir, in die andere Richtung teilen wir.

Durchschnittsgeschwindigkeit

Die Strecke von Frankfurt nach Stuttgart auf der Autobahn ist etwa 205 km lang. Familie Müller brauchte dafür 2,5 h, die Pause an der Raststätte eingerechnet. Wie schnell sind sie also gefahren?

Versuchen wir es auszurechnen:

$$v=\frac{205\mathrm{km}}{2,5\mathrm{h}}=82\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Der Tacho im Auto zeigte aber fast nie 82 km/h an. Auf der Autobahn zeigte er um die 130 km/h, im Stau am Weinsberger Kreuz 20 km/h und an der Raststätte null. Die Zahl 82 km/h ist die Durchschnittsgeschwindigkeit: die Geschwindigkeit, mit der das Auto die ganze Zeit ohne Unterbrechung hätte fahren müssen, um in der gleichen Zeit in Stuttgart anzukommen. Wir bezeichnen sie mit $\overline{v}$ und berechnen sie als Gesamtweg geteilt durch Gesamtzeit:

$$\overline{v}=\frac{s}{t}$$

In die Gesamtzeit gehört alles, auch die Pausen. Hätten die Müllers an der Raststätte eine Stunde länger gesessen, wären sie dieselben 205 km in 3,5 h gefahren, und die Durchschnittsgeschwindigkeit wäre auf diesen Wert gesunken:

$$\overline{v}=\frac{205\mathrm{km}}{3,5\mathrm{h}}\approx 58,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Auch Bolts Geschwindigkeit von 10,44 m/s aus der Einleitung war ein Durchschnitt. Bolt kam aus den Startblöcken aus der Ruhe, auf den ersten Metern beschleunigte er erst, und so lief er am Anfang langsamer und zum Ende hin schneller. Bei der Messung in Berlin lief er den Abschnitt zwischen dem 60. und dem 80. Meter, also 20 m, in 1,61 s:

$$\overline{v}=\frac{20\mathrm{m}}{1,61\mathrm{s}}\approx 12,42\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 44,7\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Auf dem kurzen Abschnitt in der zweiten Hälfte des Rennens war er also deutlich schneller, als es der Durchschnitt über die ganzen hundert Meter sagt.

Hin 60, zurück 40

Diese Aufgabe wird in Klassenarbeiten und Aufnahmeprüfungen gestellt, weil fast jeder zuerst falsch antwortet. Herr Schneider fährt mit dem Auto mit 60 km/h zu seinem 120 km entfernten Ferienhaus. Auf dem Rückweg ist die Straße verstopft, sodass er nur 40 km/h fährt. Wie groß war seine Durchschnittsgeschwindigkeit auf der ganzen Fahrt hin und zurück?

Man ist versucht, beide Geschwindigkeiten zu addieren und durch zwei zu teilen:

$$\frac{60\mathrm{km}/\mathrm{h}+40\mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=50\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Das ist aber falsch. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist nicht der Durchschnitt der Geschwindigkeiten, sondern der Gesamtweg geteilt durch die Gesamtzeit. Zuerst bestimmen wir deshalb, wie lange er in jede Richtung gefahren ist. Hin ist er 120 km mit 60 km/h gefahren. Aus der Formel $v=\frac{s}{t}$ drücken wir die Zeit aus, indem wir beide Seiten mit t multiplizieren und durch v teilen:

$$t=\frac{s}{v}$$

Die Fahrt hin dauerte

$$t_1=\frac{120\mathrm{km}}{60\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\mathrm{h}$$

und die Fahrt zurück

$$t_2=\frac{120\mathrm{km}}{40\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Insgesamt ist er 240 km in 5 h gefahren. Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt

$$\overline{v}=\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Herr Schneider fuhr mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 48 km/h, nicht mit 50 km/h. Wo sind die zwei Kilometer pro Stunde geblieben? Die Antwort zeigt das Bild.

Jedes Rechteck stellt eine Fahrstunde dar, und die Zahl darin gibt an, wie viele Kilometer Herr Schneider in ihr zurückgelegt hat. Die Fahrt hin, rot, dauerte zwei Stunden, die Fahrt zurück, blau, drei. Beide Fahrten sind gleich lang, 120 km, aber mit der langsamen Geschwindigkeit war er länger unterwegs. Wenn wir aus den fünf Stunden den Durchschnitt bilden, hat die Vierzig drei Stimmen und die Sechzig nur zwei:

$$\begin{array}{rl}\overline{v}& =\frac{(60+60+40+40+40)\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}\\ & =\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Die grüne Zeile zeigt, dass fünf Stunden mit je 48 km/h dieselben 240 km ergeben. Der Durchschnitt 50 km/h käme nur heraus, wenn Herr Schneider mit beiden Geschwindigkeiten gleich lange gefahren wäre, etwa eine Stunde mit sechzig und eine Stunde mit vierzig. Hier ist er gleich weit gefahren, nicht gleich lange, und der Durchschnitt hat sich deshalb zur langsameren Geschwindigkeit hin verschoben.

Noch heimtückischer ist dieselbe Aufgabe umgekehrt. Herr Schneider fuhr hin wieder mit 60 km/h und möchte auf der ganzen Fahrt einen Durchschnitt von 80 km/h haben. Wie schnell muss er zurückfahren? Die Antwort 100 km/h liegt nahe, aber wir wissen schon, dass man Geschwindigkeiten so nicht mitteln kann. Die ganze Strecke von 240 km würde er mit der Durchschnittsgeschwindigkeit 80 km/h in folgender Zeit zurücklegen:

$$t=\frac{240\mathrm{km}}{80\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Zwei Stunden hat er aber auf der Hinfahrt schon verbraucht. Für die 120 km zurück bleibt ihm nur eine einzige Stunde, er muss also mit 120 km/h fahren. Und wenn er einen Durchschnitt von 120 km/h haben wollte? Die ganze Strecke müsste er in zwei Stunden schaffen, und die hat er schon hinter sich. Zurück müsste er in null Zeit ankommen, das geht nicht, so schnell er auch fährt.

Momentangeschwindigkeit

Der Tacho im Auto zeigt nicht die Durchschnittsgeschwindigkeit der ganzen Fahrt an. Er zeigt, wie schnell das Auto gerade jetzt fährt. Das nennen wir Momentangeschwindigkeit. Wie berechnet man sie aber, wenn die Formel einen Weg und eine Zeit verlangt und ein Augenblick gar nicht dauert?

Wir helfen uns mit der Durchschnittsgeschwindigkeit auf einem immer kürzeren Abschnitt. Ein Auto fährt an einer Ampel los, und 100 m weiter steht eine Laterne. Uns interessiert, wie schnell das Auto genau an der Laterne fährt. An die Laterne stellen wir eine Lichtschranke, wie man sie bei der Zeitmessung in der Leichtathletik verwendet, und eine zweite nacheinander 100 m, 10 m und 1 m hinter die Laterne. Die Lichtschranken messen, wie lange das Auto für jeden Abschnitt gebraucht hat, und daraus berechnen wir die Durchschnittsgeschwindigkeit:

Auf dem Abschnitt von hundert Metern kam eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 24,14 m/s heraus. Das Auto hat aber auf den ganzen hundert Metern beschleunigt, sodass es am Ende des Abschnitts viel schneller fuhr als an der Laterne und der Durchschnitt dadurch größer ausfiel. Auf zehn Metern kann das Auto schon weniger zulegen und auf einem Meter fast gar nicht mehr. Je kürzer der Abschnitt, desto weniger ändert sich die Geschwindigkeit auf ihm und desto mehr nähert sich die Durchschnittsgeschwindigkeit der Geschwindigkeit an der Laterne. Die Ergebnisse pendeln sich um 20 m/s ein. Auf einem Abschnitt von 10 cm käme 20,005 m/s heraus, auf einem Millimeter noch ein Stückchen weniger. Die Momentangeschwindigkeit des Autos an der Laterne ist deshalb 20 m/s, also 20 · 3,6 km/h = 72 km/h. Genau das würde der Tacho in diesem Moment anzeigen.

Die Momentangeschwindigkeit erhalten wir also als Durchschnittsgeschwindigkeit auf einem sehr kurzen Abschnitt. Das Wegstück, das der Körper zurücklegt, schreiben wir Δs und die Zeit, in der er es zurücklegt, Δt. Das griechische Δ bedeutet Änderung. Dann gilt

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t},$$

wobei die Zeit Δt so kurz sein muss, dass sich die Geschwindigkeit in ihr nicht merklich ändert. Wie kurz kurz genug ist, hängt von der Bewegung ab. Ein Auto, das mit Tempomat über die Autobahn fährt, ändert seine Geschwindigkeit in einer Sekunde nur unmerklich. Ein Auto, das gegen eine Wand prallt, kommt in einer Zehntelsekunde zum Stehen.

Eine gleichförmige Bewegung ist eine, bei der der Körper in gleich langen Zeiten gleiche Wege zurücklegt. Jetzt können wir sie auch anders beschreiben: Es ist eine Bewegung, bei der sich der Betrag der Momentangeschwindigkeit nicht ändert. Der Tacho zeigt immer dieselbe Zahl an, und die Durchschnittsgeschwindigkeit ist auf jedem Abschnitt gleich der Momentangeschwindigkeit. Bei einer ungleichförmigen Bewegung ändert sich die Momentangeschwindigkeit, und die Durchschnittsgeschwindigkeit ist nur eine Zahl zwischen der kleinsten und der größten Momentangeschwindigkeit.

Für Neugierige: die Ableitung

Wer schon Grenzwerte und Ableitungen kennt, erkennt, was wir in der Tabelle gemacht haben. Wir haben die Zeit Δt verkürzt und beobachtet, wogegen der Quotient $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ strebt. Ein Mathematiker würde sagen, die Momentangeschwindigkeit ist der Grenzwert dieses Quotienten, also die Ableitung des Weges nach der Zeit:

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=s^{\prime }(t)$$

Das Auto aus der Tabelle legte in der Zeit t von der Ampel aus den Weg s = 1 m/s² · t² zurück, an der Laterne war es nach zehn Sekunden. Die Ableitung von t² ist 2t, also

$$v=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot t=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

und das ist genau der Wert, dem sich die Tabelle genähert hat. Sonst kommen wir in der ganzen Kategorie ohne Ableitungen aus.

Die Geschwindigkeit als Vektor

Ein Auto fährt durch einen Kreisverkehr, und der Tacho zeigt die ganze Zeit dieselben 30 km/h an. Ändert sich die Geschwindigkeit des Autos oder nicht?

Die Geschwindigkeit ist ein Vektor. Es genügt nicht zu wissen, wie schnell das Auto fährt, wichtig ist auch, wohin. Den Pfeil der Geschwindigkeit bezeichnen wir mit $\overrightarrow{v}$. Sein Betrag $v=|\overrightarrow{v}|$ ist das, was der Tacho anzeigt. Der Pfeil zeigt dorthin, wohin sich der Körper gerade bewegt.

Im Bild fährt das Auto auf dem grauen gestrichelten Kreis gegen den Uhrzeigersinn, wie man im Kreisverkehr fährt. Der rote Pfeil zeigt seine Geschwindigkeit. Die helleren Pfeile ${\overrightarrow{v}}_1$ bis ${\overrightarrow{v}}_4$ halten die Geschwindigkeit des Autos an vier Stellen fest, jeweils im Abstand einer Viertelrunde. In der Animation fährt das Auto im Kreis, und sein Pfeil deckt sich nacheinander mit jedem von ihnen. Der Pfeil ist die ganze Zeit gleich lang, weil der Tacho weiter 30 km/h anzeigt. Seine Richtung ändert sich aber ununterbrochen.

Jetzt verschieben wir alle vier Pfeile in einen Punkt. Pfeile dürfen wir verschieben, solange wir sie nicht drehen oder ihre Länge ändern, es sind also weiterhin dieselben Vektoren.

Alle vier Pfeile enden auf demselben gestrichelten Kreis, haben also denselben Betrag, $|{\overrightarrow{v}}_1|=|{\overrightarrow{v}}_2|=|{\overrightarrow{v}}_3|=|{\overrightarrow{v}}_4|=30\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Jeder zeigt aber woandershin, es sind also vier verschiedene Vektoren, ${\overrightarrow{v}}_1\ne {\overrightarrow{v}}_2$. Die Antwort auf die Frage lautet also: Die Geschwindigkeit des Autos ändert sich, obwohl der Tacho immer dasselbe anzeigt. Es ändert sich ihre Richtung. Der Tacho zeigt nur den Betrag der Geschwindigkeit an, die Richtung sieht er nicht.

Die gleichförmige Bewegung haben wir an den Wegen erkannt, und ein Weg hat keine Richtung. Als gleichförmig betrachten wir deshalb eine Bewegung, bei der sich der Betrag der Geschwindigkeit nicht ändert. Das Auto im Kreisverkehr fährt also gleichförmig, und trotzdem ändert sich seine Geschwindigkeit als Vektor. Dass das ein wesentlicher Unterschied ist, merkst du im Auto selbst: In der Kurve musst du dich abstützen, auch wenn der Fahrer weder Gas gibt noch bremst. Warum das so ist, erklären wir später bei der Beschleunigung.

Es bleibt zu begründen, warum der Pfeil entlang der Tangente zeigt, also entlang der Geraden, die die Bahn an der betreffenden Stelle nur berührt. Wir kehren zur Durchschnittsgeschwindigkeit zurück, diesmal als Vektor. Das Auto verschiebt sich in der Zeit Δt vom Punkt A zu einem weiteren Punkt der Bahn. Seine Verschiebung ist der Pfeil $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$, und die Durchschnittsgeschwindigkeit als Vektor ist

$$\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}.$$

Beachte, dass der Betrag dieses Vektors im Allgemeinen nicht dasselbe ist wie Weg geteilt durch Zeit. Die Verschiebung ist meist kürzer als der Weg, und mit dem Weg fällt sie erst auf einem sehr kurzen Abschnitt zusammen.

Einen Vektor durch eine Zahl zu teilen bedeutet dasselbe, wie ihn mit der Zahl $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$ zu multiplizieren. Der Pfeil wird dadurch nur kürzer oder länger, seine Richtung bleibt, und die Durchschnittsgeschwindigkeit zeigt deshalb in dieselbe Richtung wie die Verschiebung.

Das Bild zeigt die schwarze Bahn, auf der das Auto von links nach rechts fährt. Die grünen Pfeile sind die Verschiebungen vom Punkt A in immer kürzerer Zeit, zu Punkten, die immer näher an A liegen. Die lange Verschiebung zeigt schräg nach oben, die kürzere schon weniger, und je kürzer die Zeit, desto mehr schmiegt sich der Pfeil an die graue gestrichelte Tangente an. Die Momentangeschwindigkeit ist die Durchschnittsgeschwindigkeit auf einem sehr kurzen Abschnitt, und deshalb zeigt sie entlang der Tangente, im Bild in die Richtung des roten Pfeils.

Die Tangente an die Bahn kannst du sogar sehen. Die Funken eines Winkelschleifers fliegen entlang der Tangente von der Scheibe weg, in der Richtung, in der sich das Metallstückchen in dem Augenblick bewegte, als es sich von der Scheibe löste. Genauso verhalten sich Tropfen, die von einem sich drehenden Regenschirm wegfliegen. Wenn das Auto im Kreisverkehr auf Glatteis geriete und die Räder keinen Halt mehr hätten, führe es etwa geradeaus weiter in Richtung seines Geschwindigkeitspfeils, nicht auf dem Kreis.

Wie schnell sich was bewegt

Zur Veranschaulichung hier einige typische Geschwindigkeiten, gerundet:

Die Schallgeschwindigkeit in der Tabelle gilt für Luft mit einer Temperatur von 20 °C. Der Schall ist gegenüber dem Licht langsam, und deshalb siehst du den Blitz früher, als du den Donner hörst: Das Licht erreicht dich praktisch sofort, der Schall legt einen Kilometer in etwa drei Sekunden zurück. Wenn du zwischen Blitz und Donner neun Sekunden zählst, ist das Gewitter ungefähr drei Kilometer entfernt. Das Licht ist von allem am schnellsten. Vom Mond zu uns braucht es etwas über eine Sekunde und von der Sonne etwa acht Minuten.

Rechner

Gib den Weg und die Zeit ein, und der Rechner berechnet dir die Durchschnittsgeschwindigkeit. Die vorausgefüllten Werte stammen von der Fahrt der Müllers nach Stuttgart.

Am einfachsten ist eine Bewegung, bei der sich die Geschwindigkeit überhaupt nicht ändert, weder im Betrag noch in der Richtung. Eine solche Bewegung ist gleichförmig und geradlinig, und ihr widmet sich der nächste Artikel, Gleichförmige Bewegung.