Velocità

Nel 2009, ai campionati del mondo di Berlino, Usain Bolt ha corso i 100 m in 9,58 s. Quanto è stata veloce quella corsa? Se avesse tenuto lo stesso ritmo per tutto il tempo, in ogni secondo avrebbe percorso

$$\frac{100\mathrm{m}}{9,58\mathrm{s}}\approx 10,44\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

cioè più di dieci metri al secondo. E quanti chilometri all’ora sono?

$$10,44\mathrm{m}/\mathrm{s}=10,44\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 37,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

In una strada con il limite dei 50 all’ora Bolt riuscirebbe per un po’ a tenere il passo delle auto. Almeno sui cento metri: più a lungo non reggerebbe il ritmo.

Formula della velocità

Se cerchi solo la formula, la velocità v si calcola dividendo lo spazio percorso s per il tempo t impiegato dal corpo a percorrerlo:

$$v=\frac{s}{t}$$

La velocità indica quanto spazio il corpo percorre in un’unità di tempo, per esempio in un secondo o in un’ora. Più grande è lo spazio percorso nello stesso tempo, maggiore è la velocità. E se percorriamo lo stesso spazio in più tempo, la velocità diminuisce: il tempo sta al denominatore.

L’unità di misura si ottiene dividendo l’unità dello spazio per l’unità del tempo. Lo spazio in metri e il tempo in secondi danno metri al secondo, m/s. Lo spazio in chilometri e il tempo in ore danno chilometri all’ora, km/h. Tra le due unità si converte con il numero 3,6: da m/s a km/h si moltiplica, al contrario si divide.

Velocità media

Il viaggio da Milano a Bologna sull’autostrada A1 misura circa 205 km. La famiglia Rossi ci ha messo 2,5 h, compresa una sosta all’area di servizio. A che velocità sono andati, dunque?

Proviamo a calcolarlo:

$$v=\frac{205\mathrm{km}}{2,5\mathrm{h}}=82\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Il tachimetro dell’auto, però, non ha quasi mai indicato 82 km/h. In autostrada indicava circa 130 km/h, nella coda all’altezza di Parma 20 km/h e all’area di servizio zero. Il numero 82 km/h è la velocità media: la velocità alla quale l’auto avrebbe dovuto andare per tutto il tempo, senza fermarsi mai, per arrivare a Bologna nello stesso tempo. La indichiamo con v_m e la calcoliamo come spazio totale diviso tempo totale:

$$v_m=\frac{s}{t}$$

Nel tempo totale rientra tutto, anche le soste. Se i Rossi si fossero fermati all’area di servizio un’ora di più, avrebbero percorso gli stessi 205 km in 3,5 h e la velocità media sarebbe scesa a

$$v_m=\frac{205\mathrm{km}}{3,5\mathrm{h}}\approx 58,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Anche la velocità di Bolt, 10,44 m/s, nell’introduzione era una media. Bolt partiva dai blocchi da fermo, i primi metri li faceva ancora accelerando, e quindi all’inizio correva più piano e verso la fine più veloce. Nella misurazione di Berlino ha percorso il tratto tra il 60º e l’80º metro, cioè 20 m, in 1,61 s:

$$v_m=\frac{20\mathrm{m}}{1,61\mathrm{s}}\approx 12,42\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 44,7\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

In un breve tratto della seconda metà della gara era dunque molto più veloce di quanto dica la media su tutti i cento metri.

Andata a 60, ritorno a 40

Questo problema lo assegnano nelle verifiche e nei test di ammissione, perché quasi tutti al primo tentativo rispondono in modo sbagliato. Il signor Bianchi va in auto a una casa in campagna distante 120 km alla velocità di 60 km/h. Al ritorno la strada è intasata, quindi va solo a 40 km/h. Qual è stata la sua velocità media su tutto il percorso, andata e ritorno?

Viene la tentazione di sommare le due velocità e dividere per due:

$$\frac{60\mathrm{km}/\mathrm{h}+40\mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=50\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Ma è sbagliato. La velocità media non è la media delle velocità, ma lo spazio totale diviso il tempo totale. Per prima cosa scopriamo quanto tempo ha viaggiato in ciascuna direzione. All’andata ha percorso 120 km a 60 km/h. Dalla formula $v=\frac{s}{t}$ ricaviamo il tempo moltiplicando entrambi i membri per t e dividendo per v:

$$t=\frac{s}{v}$$

Il viaggio di andata è durato

$$t_1=\frac{120\mathrm{km}}{60\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\mathrm{h}$$

e quello di ritorno

$$t_2=\frac{120\mathrm{km}}{40\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

In tutto ha percorso 240 km in 5 h. La velocità media è

$$v_m=\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Il signor Bianchi ha viaggiato a una velocità media di 48 km/h, non di 50 km/h. Dove sono finiti i due chilometri all’ora? La risposta la mostra la figura.

Ogni rettangolo rappresenta un’ora di viaggio e il numero al suo interno indica quanti chilometri il signor Bianchi ha percorso in quell’ora. L’andata, in rosso, gli ha preso due ore, il ritorno, in blu, tre. I due tragitti sono ugualmente lunghi, 120 km, ma alla velocità più bassa ha viaggiato più a lungo. Se facciamo la media sulle cinque ore, il 40 pesa tre volte e il 60 solo due:

$$\begin{array}{rl}{v}_m& =\frac{(60+60+40+40+40)\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}\\ & =\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

La riga verde mostra che cinque ore a 48 km/h danno gli stessi 240 km. La media di 50 km/h verrebbe fuori solo se il signor Bianchi avesse viaggiato a entrambe le velocità per lo stesso tempo, per esempio un’ora a sessanta e un’ora a quaranta. Qui ha percorso la stessa distanza, non per lo stesso tempo, e la media si è perciò spostata verso la velocità più bassa.

Ancora più insidioso è lo stesso problema rovesciato. Il signor Bianchi all’andata va di nuovo a 60 km/h e vorrebbe avere su tutto il percorso una media di 80 km/h. A che velocità deve tornare? La risposta 100 km/h viene spontanea, ma sappiamo già che le velocità non si possono mediare così. Tutti i 240 km alla velocità media di 80 km/h li percorrerebbe in

$$t=\frac{240\mathrm{km}}{80\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Ma due ore le ha già consumate all’andata. Per i 120 km del ritorno gli resta una sola ora, quindi deve andare a 120 km/h. E se volesse una media di 120 km/h? Dovrebbe percorrere tutto il tragitto in due ore, e quelle le ha già alle spalle. Al ritorno dovrebbe arrivare in tempo nullo, quindi non è possibile, per quanto veloce vada.

Velocità istantanea

Il tachimetro dell’auto non mostra la velocità media di tutto il viaggio. Mostra a che velocità va l’auto proprio adesso. Questa si chiama velocità istantanea. Ma come calcolarla, se la formula richiede un certo spazio e un certo tempo, mentre un istante non dura affatto?

Ci aiutiamo con la velocità media su un tratto sempre più breve. Un’auto parte da un semaforo e 100 m più avanti c’è un lampione. Ci interessa sapere a che velocità va l’auto proprio al lampione. Al lampione mettiamo una fotocellula, come quelle usate per cronometrare le gare di atletica, e una seconda successivamente a 100 m, 10 m e 1 m dopo il lampione. Le fotocellule misurano quanto tempo l’auto ha impiegato per ogni tratto e da lì calcoliamo la velocità media:

Sul tratto di cento metri la velocità media è risultata 24,14 m/s. Ma l’auto ha accelerato per tutti i cento metri, quindi alla fine del tratto andava molto più veloce che al lampione e la media è venuta più alta. Su dieci metri l’auto fa in tempo ad accelerare meno e su un metro quasi per niente. Quanto più breve è il tratto, tanto meno cambia la velocità lungo di esso e tanto più la velocità media si avvicina alla velocità al lampione. I risultati si stabilizzano intorno a 20 m/s. Su un tratto di 10 cm verrebbe 20,005 m/s, su un millimetro ancora un po’ meno. La velocità istantanea dell’auto al lampione è quindi 20 m/s, cioè 20 · 3,6 km/h = 72 km/h. Proprio questo indicherebbe in quel momento il tachimetro.

La velocità istantanea si ottiene dunque come velocità media su un tratto brevissimo. Il pezzo di spazio che il corpo percorre lo indichiamo con Δs e il tempo in cui lo percorre con Δt. La Δ greca significa variazione. Allora

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t},$$

dove l’intervallo di tempo Δt deve essere così breve che la velocità, durante di esso, non cambi in modo apprezzabile. Quanto breve sia abbastanza breve dipende dal moto. Un’auto che va in autostrada con il cruise control in un secondo cambia velocità solo di pochissimo. Un’auto che sbatte contro un muro si ferma in un decimo di secondo.

Il moto uniforme è quello in cui il corpo, in intervalli di tempo uguali, percorre spazi uguali. Ora possiamo descriverlo anche in un altro modo: è il moto in cui il modulo della velocità istantanea non cambia. Il tachimetro indica sempre lo stesso numero e la velocità media su qualsiasi tratto è uguale a quella istantanea. In un moto vario la velocità istantanea cambia e la velocità media è solo un numero compreso tra la velocità istantanea minima e quella massima.

Per i più curiosi: la derivata

Chi conosce già i limiti e le derivate riconosce che cosa abbiamo fatto nella tabella. Abbiamo ridotto l’intervallo di tempo Δt e osservato a che cosa si avvicina il rapporto $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$. Un matematico direbbe che la velocità istantanea è il limite di questo rapporto, cioè la derivata dello spazio rispetto al tempo:

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=s^{\prime }(t)$$

L’auto della tabella, nel tempo t dal semaforo, ha percorso lo spazio s = 1 m/s² · t²; al lampione era dopo dieci secondi. La derivata di t² è 2t, quindi

$$v=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot t=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

ed è esattamente il valore a cui si avvicinava la tabella. Per il resto, in tutta la categoria possiamo fare a meno delle derivate.

La velocità come vettore

Un’auto percorre una rotatoria e il tachimetro per tutto il tempo indica gli stessi 30 km/h. La velocità dell’auto cambia o no?

La velocità è un vettore. Non basta sapere a che velocità va l’auto, conta anche dove. La freccia della velocità si indica con $\overrightarrow{v}$. Il suo modulo $v=|\overrightarrow{v}|$ è ciò che mostra il tachimetro. La freccia punta nella direzione in cui il corpo si sta muovendo in quel momento.

Nella figura l’auto percorre la circonferenza grigia tratteggiata in senso antiorario, come si fa in una rotatoria. La freccia rossa mostra la sua velocità. Le frecce più chiare ${\overrightarrow{v}}_1$–${\overrightarrow{v}}_4$ riportano la velocità dell’auto in quattro punti, sempre a distanza di un quarto di giro. Nell’animazione l’auto gira intorno alla rotatoria e la sua freccia si sovrappone via via a ciascuna di esse. La freccia ha sempre la stessa lunghezza, perché il tachimetro indica sempre 30 km/h. La sua direzione, però, cambia continuamente.

Portiamo ora tutte e quattro le frecce in un unico punto. Le frecce si possono spostare, purché non le ruotiamo né ne cambiamo la lunghezza, quindi sono sempre gli stessi vettori.

Tutte e quattro le frecce finiscono sulla stessa circonferenza tratteggiata, quindi hanno lo stesso modulo, $|{\overrightarrow{v}}_1|=|{\overrightarrow{v}}_2|=|{\overrightarrow{v}}_3|=|{\overrightarrow{v}}_4|=30\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Ognuna però punta in una direzione diversa, quindi sono quattro vettori diversi, ${\overrightarrow{v}}_1\ne {\overrightarrow{v}}_2$. La risposta alla domanda è dunque: la velocità dell’auto cambia, anche se il tachimetro indica sempre lo stesso valore. Cambia la sua direzione. Il tachimetro indica solo il modulo della velocità, la direzione non la vede.

Il moto uniforme lo abbiamo riconosciuto dagli spazi percorsi, e lo spazio percorso non ha direzione. Consideriamo quindi uniforme il moto in cui non cambia il modulo della velocità. L’auto nella rotatoria va dunque di moto uniforme, eppure la sua velocità come vettore cambia. Che sia una differenza essenziale lo noti da te in auto: in curva devi puntellarti, anche se il conducente non tocca né l’acceleratore né il freno. Perché sia così lo spiegheremo più avanti, con l’accelerazione.

Resta da spiegare perché la freccia punta lungo la tangente, cioè la retta che tocca la traiettoria solo nel punto dato. Torniamo alla velocità media, questa volta come vettore. Nel tempo Δt l’auto si sposta dal punto A a un altro punto della traiettoria. Il suo spostamento è la freccia $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ e la velocità media come vettore è

$$\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}.$$

Attenzione, il modulo di questo vettore in generale non coincide con lo spazio percorso diviso il tempo. Lo spostamento è di solito più corto dello spazio percorso e coincide con esso soltanto su un tratto brevissimo.

Dividere un vettore per un numero equivale a moltiplicarlo per il numero $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$. La freccia così si accorcia o si allunga soltanto, la direzione le resta, e la velocità media perciò punta come lo spostamento.

La figura mostra la traiettoria nera, lungo la quale l’auto va da sinistra a destra. Le frecce verdi sono gli spostamenti dal punto A in tempi sempre più brevi, verso punti sempre più vicini ad A. Lo spostamento lungo punta obliquamente verso l’alto, quelli più corti meno, e quanto più breve è il tempo, tanto più la freccia si adagia sulla tangente grigia tratteggiata. La velocità istantanea è la velocità media su un tratto brevissimo, e perciò punta lungo la tangente, nella figura nella direzione della freccia rossa.

La tangente alla traiettoria puoi perfino vederla. Le scintille di una smerigliatrice si staccano dal disco lungo la tangente, nella direzione in cui il pezzetto di metallo si muoveva nel momento in cui si è staccato dal disco. Allo stesso modo si comportano le gocce che schizzano da un ombrello fatto girare. Se l’auto nella rotatoria andasse su una lastra di ghiaccio e le ruote perdessero aderenza, proseguirebbe più o meno dritta nella direzione della sua freccia della velocità, non lungo la circonferenza.

Quanto velocemente si muovono le cose

Per farti un’idea, ecco alcune velocità tipiche, arrotondate:

La velocità del suono nella tabella vale per l’aria a una temperatura di 20 °C. Il suono è lento rispetto alla luce, ed è per questo che il lampo lo vedi prima di sentire il tuono: la luce arriva da te praticamente all’istante, il suono percorre un chilometro in circa tre secondi. Se tra il lampo e il tuono conti nove secondi, il temporale è a circa tre chilometri di distanza. La luce è la più veloce di tutte. Dalla Luna arriva a noi in poco più di un secondo e dal Sole in circa otto minuti.

Calcolatrice

Inserisci lo spazio percorso e il tempo e la calcolatrice calcola la velocità media. I valori precompilati vengono dal viaggio della famiglia Rossi a Bologna.

Il moto più semplice è quello in cui la velocità non cambia affatto, né in modulo né in direzione. Un moto così è uniforme e rettilineo, e ad esso è dedicato il prossimo articolo, Moto rettilineo uniforme.