Fart og hastighed

Usain Bolt løb i 2009 ved verdensmesterskaberne i Berlin 100 m på 9,58 s. Hvor hurtigt var det? Hvis han havde holdt det samme tempo hele tiden, ville han hvert sekund have løbet

$$\frac{100\mathrm{m}}{9,58\mathrm{s}}\approx 10,44\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

altså over ti meter i sekundet. Og hvor meget er det i kilometer i timen?

$$10,44\mathrm{m}/\mathrm{s}=10,44\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 37,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

I en 50-zone ville Bolt kunne følge med bilerne et stykke tid. I hvert fald på de hundrede meter, længere ville han ikke holde tempoet.

Formlen for fart

Hvis du kun leder efter formlen, beregner du farten v ved at dividere strækningen s med den tid t, som legemet har brugt på at tilbagelægge den:

$$v=\frac{s}{t}$$

Farten angiver, hvor stor en strækning legemet tilbagelægger pr. tidsenhed, for eksempel pr. sekund eller pr. time. Jo større strækning på den samme tid, desto større fart. Og når vi tilbagelægger den samme strækning på længere tid, falder farten, tiden står jo i nævneren.

Enheden får vi ved at dividere strækningens enhed med tidens enhed. Strækning i meter og tid i sekunder giver meter pr. sekund, m/s. Strækning i kilometer og tid i timer giver kilometer i timen, km/h. Mellem de to enheder omregner man med tallet 3,6: fra m/s til km/h ganger vi, den anden vej dividerer vi.

Gennemsnitsfart

Turen fra Aalborg til Vejle ad E45 er cirka 205 km. Familien Hansen var 2,5 h om at køre den, inklusive en pause på tankstationen. Hvor hurtigt kørte de så?

Lad os prøve at regne det ud:

$$v=\frac{205\mathrm{km}}{2,5\mathrm{h}}=82\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Men speedometeret i bilen viste næsten aldrig 82 km/h. På motorvejen viste det omkring 130 km/h, i køen ved Aarhus 20 km/h og på tankstationen nul. Tallet 82 km/h er gennemsnitsfarten: den fart, som bilen skulle have kørt med hele tiden uden stop for at nå frem til Vejle på samme tid. Vi skriver den $\overline{v}$ og beregner den som den samlede strækning divideret med den samlede tid:

$$\overline{v}=\frac{s}{t}$$

I den samlede tid hører alt med, også pauserne. Hvis familien Hansen havde holdt en time længere på tankstationen, ville de have kørt de samme 205 km på 3,5 h, og gennemsnitsfarten ville være faldet til

$$\overline{v}=\frac{205\mathrm{km}}{3,5\mathrm{h}}\approx 58,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Også Bolts fart på 10,44 m/s fra indledningen var en gennemsnitsfart. Bolt startede fra hvile i startblokkene og accelererede de første meter, og derfor løb han langsommere i begyndelsen og hurtigere til sidst. Ved målingen i Berlin løb han stykket mellem 60- og 80-metermærket, altså 20 m, på 1,61 s:

$$\overline{v}=\frac{20\mathrm{m}}{1,61\mathrm{s}}\approx 12,42\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 44,7\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

På et kort stykke i anden halvdel af løbet var han altså et godt stykke hurtigere, end gennemsnittet over hele hundredemeteren siger.

Derhen 60, tilbage 40

Den opgave stiller man ofte i skriftlige prøver, fordi næsten alle svarer forkert første gang. Naboen Jensen kører i bil til sit sommerhus, der ligger 120 km væk, med farten 60 km/h. På hjemturen er der kø på vejen, så han kører kun 40 km/h. Hvad var hans gennemsnitsfart på hele turen derhen og tilbage?

Det frister at lægge de to farter sammen og dividere med to:

$$\frac{60\mathrm{km}/\mathrm{h}+40\mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=50\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Men det er forkert. Gennemsnitsfarten er ikke gennemsnittet af farterne, men den samlede strækning divideret med den samlede tid. Først finder vi derfor ud af, hvor længe han kørte i hver retning. Derhen kørte han 120 km med farten 60 km/h. Af formlen $v=\frac{s}{t}$ isolerer vi tiden ved at gange begge sider med t og dividere med v:

$$t=\frac{s}{v}$$

Turen derhen varede

$$t_1=\frac{120\mathrm{km}}{60\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\mathrm{h}$$

og turen tilbage

$$t_2=\frac{120\mathrm{km}}{40\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

I alt kørte han 240 km på 5 h. Gennemsnitsfarten er

$$\overline{v}=\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Naboen Jensen kørte med en gennemsnitsfart på 48 km/h, ikke 50 km/h. Hvor blev de to kilometer i timen af? Svaret viser figuren.

Hvert rektangel forestiller en times kørsel, og tallet i det angiver, hvor mange kilometer naboen Jensen kørte på den. Turen derhen, med rødt, tog to timer, turen tilbage, med blåt, tre. Begge ture er lige lange, 120 km, men med den langsomme fart kørte han længere. Når vi tager gennemsnittet af de fem timer, har fyrre tre stemmer og tres kun to:

$$\begin{array}{rl}\overline{v}& =\frac{(60+60+40+40+40)\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}\\ & =\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Den grønne række viser, at fem timer med 48 km/h giver de samme 240 km. Gennemsnittet 50 km/h ville kun komme ud, hvis naboen Jensen havde kørt med begge farter lige længe, for eksempel en time med tres og en time med fyrre. Her kørte han lige langt, ikke lige længe, og gennemsnittet hælder derfor mod den langsomme fart.

Endnu mere lumsk er den samme opgave vendt om. Naboen Jensen kørte igen derhen med 60 km/h og vil gerne have et gennemsnit på 80 km/h på hele turen. Hvor hurtigt skal han køre tilbage? Svaret 100 km/h ligger lige for, men vi ved allerede, at man ikke kan tage gennemsnittet af farter på den måde. Hele turen på 240 km ville han med en gennemsnitsfart på 80 km/h køre på

$$t=\frac{240\mathrm{km}}{80\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

To timer har han dog allerede brugt på turen derhen. Til de 120 km hjem har han kun én time tilbage, så han skal køre 120 km/h. Og hvis han ville have et gennemsnit på 120 km/h? Så skulle han køre hele turen på to timer, og dem har han allerede brugt. Han skulle komme hjem på nul tid, så det kan ikke lade sig gøre, uanset hvor hurtigt han kører.

Øjeblikshastighed

Speedometeret i bilen viser ikke gennemsnitsfarten for hele turen. Det viser, hvor hurtigt bilen kører lige nu. Det kalder vi øjeblikshastigheden. Men hvordan beregner man den, når formlen kræver en strækning og en tid, og et øjeblik slet ikke har nogen varighed?

Vi tager gennemsnitsfarten på stadig kortere stykker til hjælp. En bil sætter i gang ved et lyskryds, og 100 m længere fremme står en lygtepæl. Vi vil vide, hvor hurtigt bilen kører lige ved lygtepælen. Ved lygtepælen sætter vi en lyscelle op af den slags, der bruges til tidtagning i atletik, og en anden henholdsvis 100 m, 10 m og 1 m efter lygtepælen. Lyscellerne måler, hvor længe bilen kørte hvert stykke, og ud fra det beregner vi gennemsnitsfarten:

På stykket på hundrede meter blev gennemsnitsfarten 24,14 m/s. Men bilen accelererede hele de hundrede meter, så i slutningen af stykket kørte den meget hurtigere end ved lygtepælen, og gennemsnittet blev derfor større. På ti meter når bilen at accelerere mindre, og på én meter næsten slet ikke. Jo kortere stykke, desto mindre ændrer farten sig undervejs, og desto mere nærmer gennemsnitsfarten sig farten ved lygtepælen. Resultaterne stabiliserer sig omkring 20 m/s. På et stykke på 10 cm ville det blive 20,005 m/s, på en millimeter endnu en smule mindre. Bilens øjeblikshastighed ved lygtepælen er derfor 20 m/s, altså 20 · 3,6 km/h = 72 km/h. Det er præcis det, speedometeret ville vise i det øjeblik.

Øjeblikshastigheden får vi altså som gennemsnitsfarten på et meget kort stykke. Det stykke af strækningen, som legemet tilbagelægger, skriver vi Δs og den tid, det tager, Δt. Det græske Δ betyder ændring. Så er

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t},$$

hvor tiden Δt skal være så kort, at farten ikke ændrer sig mærkbart i løbet af den. Hvor kort der er kort nok, afhænger af bevægelsen. En bil, der kører på motorvejen med fartpilot, ændrer kun ubetydeligt fart på et sekund. En bil, der kører ind i en mur, standser på et tiendedels sekund.

Jævn bevægelse er en bevægelse, hvor legemet i lige lange tidsrum tilbagelægger lige store strækninger. Nu kan vi også beskrive den på en anden måde: Det er en bevægelse, hvor størrelsen af øjeblikshastigheden ikke ændrer sig. Speedometeret viser hele tiden det samme tal, og gennemsnitsfarten på et vilkårligt stykke er den samme som øjeblikshastighedens størrelse. Ved ujævn bevægelse ændrer øjeblikshastigheden sig, og gennemsnitsfarten er bare et eller andet tal mellem den mindste og den største øjeblikshastighed.

For nysgerrige: differentiation

Den, der allerede kender grænseværdier og differentialregning, ved, hvad vi gjorde i tabellen. Vi gjorde tiden Δt kortere og kortere og så på, hvad brøken $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ nærmer sig. En matematiker ville sige, at øjeblikshastigheden er grænseværdien af denne brøk, altså den afledede funktion af strækningen med hensyn til tiden:

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=s^{\prime }(t)$$

Bilen fra tabellen tilbagelagde fra lyskrydset i tiden t strækningen s = 1 m/s² · t², og ved lygtepælen var den efter ti sekunder. Den afledede af t² er 2t, så

$$v=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot t=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

og det er præcis den værdi, som tabellen nærmede sig. Ellers klarer vi os i hele kategorien uden differentialregning.

Hastighed som vektor

En bil kører rundt i en rundkørsel, og speedometeret viser hele tiden de samme 30 km/h. Ændrer bilens hastighed sig, eller gør den ikke?

Hastighed er en vektor. Det er ikke nok at vide, hvor hurtigt bilen kører, det er også vigtigt, hvorhen. Pilen for hastigheden skriver vi $\overrightarrow{v}$. Dens størrelse $v=|\overrightarrow{v}|$ er farten, det, speedometeret viser. Pilen peger i den retning, legemet bevæger sig i lige nu.

På figuren kører bilen på den grå stiplede cirkel mod uret, som man kører i en rundkørsel. Den røde pil viser dens hastighed. De lysere pile ${\overrightarrow{v}}_1$ til ${\overrightarrow{v}}_4$ viser bilens hastighed på fire steder, hver gang efter en kvart omgang. I animationen kører bilen rundt i rundkørslen, og dens pil dækker efterhånden hver af dem. Pilen er hele tiden lige lang, fordi speedometeret hele tiden viser 30 km/h. Men dens retning ændrer sig uafbrudt.

Nu flytter vi alle fire pile til ét punkt. Pile må vi flytte, bare vi hverken drejer dem eller ændrer deres længde, så det er stadig de samme vektorer.

Alle fire pile ender på den samme stiplede cirkel, så de har samme størrelse, $|{\overrightarrow{v}}_1|=|{\overrightarrow{v}}_2|=|{\overrightarrow{v}}_3|=|{\overrightarrow{v}}_4|=30\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Men hver peger sit sted hen, så det er fire forskellige vektorer, ${\overrightarrow{v}}_1\ne {\overrightarrow{v}}_2$. Svaret på spørgsmålet lyder altså: bilens hastighed ændrer sig, selv om speedometeret hele tiden viser det samme. Dens retning ændrer sig. Speedometeret viser kun hastighedens størrelse, retningen kan det ikke se.

Jævn bevægelse genkendte vi på strækningerne, og en strækning har ingen retning. Som jævn betragter vi derfor en bevægelse, hvor hastighedens størrelse ikke ændrer sig. Bilen i rundkørslen kører altså jævnt, og alligevel ændrer dens hastighed sig som vektor. At det er en væsentlig forskel, mærker du selv i bilen: I et sving må du støtte dig, selv om føreren hverken rører speederen eller bremsen. Hvorfor det er sådan, forklarer vi senere ved acceleration.

Tilbage er at begrunde, hvorfor pilen peger langs tangenten, altså den rette linje, som kun lige rører banen på det givne sted. Vi vender tilbage til gennemsnitsfarten, denne gang som vektor. I tiden Δt flytter bilen sig fra punktet A til et andet punkt på banen. Dens forskydning er pilen $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$, og gennemsnitshastigheden som vektor er

$$\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}.$$

Pas på, størrelsen af denne vektor er generelt ikke det samme som strækningen divideret med tiden. Forskydningen er som regel kortere end strækningen, og kun på et meget kort stykke falder de sammen.

At dividere en vektor med et tal betyder det samme som at gange den med tallet $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$. Pilen bliver bare kortere eller længere, dens retning bevares, og gennemsnitshastigheden peger derfor ligesom forskydningen.

Figuren viser den sorte bane, som bilen kører ad fra venstre mod højre. De grønne pile er forskydninger fra punktet A i stadig kortere tid, til punkter, der ligger stadig tættere på A. Den lange forskydning peger skråt opad, de kortere mindre, og jo kortere tid, desto mere lægger pilen sig op ad den grå stiplede tangent. Øjeblikshastigheden er gennemsnitshastigheden på et meget kort stykke, og derfor peger den langs tangenten, på figuren i retning af den røde pil.

Tangenten til en bane kan du endda se. Gnister fra en vinkelsliber flyver væk fra skiven langs tangenten, i den retning, som det lille stykke metal bevægede sig i, da det blev revet løs fra skiven. På samme måde opfører de dråber sig, der flyver af en paraply, som snurrer rundt. Hvis bilen i rundkørslen kom ud på blank is, og hjulene mistede grebet, ville den fortsætte nogenlunde lige ud i retning af sin hastighedspil, ikke på cirklen.

Hvor hurtigt bevæger tingene sig

For at give en fornemmelse er her nogle typiske farter, afrundede:

Lydens fart i tabellen gælder for luft ved en temperatur på 20 °C. Lyd er langsom i forhold til lys, og derfor ser du lynet, før du hører tordenen: Lyset når frem til dig næsten øjeblikkeligt, lyden tilbagelægger en kilometer på cirka tre sekunder. Hvis du tæller ni sekunder mellem lyn og torden, er tordenvejret cirka tre kilometer væk. Lyset er hurtigst af alt. Fra Månen når det frem til os på lidt over et sekund og fra Solen på cirka otte minutter.

Beregner

Indtast strækning og tid, og beregneren udregner gennemsnitsfarten. De forudfyldte værdier stammer fra familien Hansens tur til Vejle.

Den enkleste bevægelse er den, hvor hastigheden slet ikke ændrer sig, hverken i størrelse eller retning. Sådan en bevægelse er jævn og retlinet, og den handler den næste artikel om, Jævn retlinet bevægelse.