Velocidade

Usain Bolt correu, em 2009, no Campeonato Mundial de Berlim, os 100 m em 9,58 s. Quão rápida foi essa corrida? Se ele tivesse mantido o mesmo ritmo o tempo todo, teria percorrido a cada segundo

$$\frac{100\mathrm{m}}{9,58\mathrm{s}}\approx 10,44\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

ou seja, mais de dez metros a cada segundo. E quanto isso dá em quilômetros por hora?

$$10,44\mathrm{m}/\mathrm{s}=10,44\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 37,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Numa rua com limite de 50 km/h, Bolt acompanharia os carros por um tempo. Pelo menos nos 100 metros, porque mais do que isso ele não aguentaria o ritmo.

Fórmula da velocidade

Se você procura só a fórmula, a velocidade v se calcula dividindo a distância percorrida s pelo tempo t que o corpo levou para percorrê-la:

$$v=\frac{s}{t}$$

A velocidade indica quanta distância o corpo percorre por unidade de tempo, por exemplo por segundo ou por hora. Quanto maior a distância no mesmo tempo, maior a velocidade. E quando percorremos a mesma distância em mais tempo, a velocidade diminui, afinal o tempo está no denominador.

Obtemos a unidade dividindo a unidade de distância pela unidade de tempo. Distância em metros e tempo em segundos dão metros por segundo, m/s. Distância em quilômetros e tempo em horas dão quilômetros por hora, km/h. A conversão entre as duas unidades se faz com o número 3,6: de m/s para km/h multiplicamos, no sentido contrário dividimos.

Velocidade média

O caminho de Praga a Brno pela rodovia D1 mede cerca de 205 km. A família Silva levou 2,5 h para fazê-lo, incluindo uma parada no posto de gasolina. Qual foi, então, a velocidade deles?

Vamos tentar calcular:

$$v=\frac{205\mathrm{km}}{2,5\mathrm{h}}=82\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Mas o velocímetro do carro quase nunca marcou 82 km/h. Na rodovia marcava cerca de 130 km/h, no congestionamento, 20 km/h e, no posto, zero. O número 82 km/h é a velocidade média: a velocidade com que o carro teria de andar o tempo todo, sem parar, para chegar a Brno no mesmo tempo. Nós a indicamos por v_m e a calculamos como a distância total dividida pelo tempo total:

$$v_m=\frac{s}{t}$$

No tempo total entra tudo, também as paradas. Se a família Silva tivesse ficado uma hora a mais no posto, teria percorrido os mesmos 205 km em 3,5 h e a velocidade média cairia para

$$v_m=\frac{205\mathrm{km}}{3,5\mathrm{h}}\approx 58,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

A velocidade de Bolt de 10,44 m/s da introdução também foi média. Bolt saiu dos blocos de largada do zero, nos primeiros metros ainda estava acelerando e, assim, correu mais devagar no início e mais depressa no final. Na medição de Berlim, ele percorreu o trecho entre o 60º e o 80º metro, ou seja, 20 m, em 1,61 s:

$$v_m=\frac{20\mathrm{m}}{1,61\mathrm{s}}\approx 12,42\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 44,7\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Num trecho curto da segunda metade da prova, portanto, ele foi bem mais rápido do que diz a média de toda a corrida de 100 metros.

Ida a 60, volta a 40

Este problema aparece em provas e em vestibulares, porque quase todo mundo erra na primeira tentativa. Seu Carlos vai de carro a um sítio a 120 km de distância, à velocidade de 60 km/h. Na volta, a estrada está congestionada, então ele anda só a 40 km/h. Qual foi a velocidade média dele em todo o percurso de ida e volta?

Dá vontade de somar as duas velocidades e dividir por dois:

$$\frac{60\mathrm{km}/\mathrm{h}+40\mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=50\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Mas isso está errado. A velocidade média não é a média das velocidades, mas a distância total dividida pelo tempo total. Por isso, primeiro descobrimos quanto tempo ele levou em cada sentido. Na ida, ele percorreu 120 km à velocidade de 60 km/h. Na fórmula $v=\frac{s}{t}$, isolamos o tempo multiplicando os dois lados por t e dividindo por v:

$$t=\frac{s}{v}$$

A viagem de ida durou

$$t_1=\frac{120\mathrm{km}}{60\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\mathrm{h}$$

e a de volta

$$t_2=\frac{120\mathrm{km}}{40\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

No total ele percorreu 240 km em 5 h. A velocidade média é

$$v_m=\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Seu Carlos andou com velocidade média de 48 km/h, e não de 50 km/h. Para onde foram os dois quilômetros por hora? A resposta aparece na figura.

Cada retângulo representa uma hora de viagem, e o número nele indica quantos quilômetros Seu Carlos percorreu nela. A ida, em vermelho, levou duas horas, e a volta, em azul, três. Os dois percursos têm o mesmo comprimento, 120 km, mas ele andou por mais tempo na velocidade baixa. Quando fazemos a média das cinco horas, o 40 tem três votos e o 60 apenas dois:

$$\begin{array}{rl}{v}_m& =\frac{(60+60+40+40+40)\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}\\ & =\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

A linha verde mostra que cinco horas a 48 km/h dão os mesmos 240 km. A média de 50 km/h só sairia se Seu Carlos tivesse andado nas duas velocidades pelo mesmo tempo, por exemplo uma hora a 60 e uma hora a 40. Aqui ele andou a mesma distância, não o mesmo tempo, e por isso a média se inclinou para a velocidade mais baixa.

Ainda mais traiçoeiro é o mesmo problema de trás para a frente. Seu Carlos foi de novo a 60 km/h na ida e gostaria de ter, em todo o percurso, a média de 80 km/h. A que velocidade precisa voltar? A resposta 100 km/h parece natural, mas já sabemos que não se pode tirar a média das velocidades desse jeito. Com velocidade média de 80 km/h, ele faria o percurso todo de 240 km em

$$t=\frac{240\mathrm{km}}{80\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Mas ele já gastou duas horas na ida. Para os 120 km da volta sobra só uma hora, então ele precisa andar a 120 km/h. E se ele quisesse a média de 120 km/h? Teria de fazer o percurso todo em duas horas, e essas ele já gastou. Na volta, ele teria de chegar em tempo zero, e isso não é possível, por mais depressa que ele ande.

Velocidade instantânea

O velocímetro do carro não mostra a velocidade média de todo o percurso. Ele mostra a rapidez com que o carro anda agora. A isso chamamos velocidade instantânea. Mas como calculá-la, se a fórmula exige alguma distância e algum tempo e, no entanto, um instante não dura nada?

Recorremos à velocidade média em um trecho cada vez mais curto. Um carro parte de um semáforo e, 100 m adiante, há um poste. Queremos saber com que rapidez o carro passa exatamente pelo poste. Colocamos junto ao poste uma barreira de luz, como as usadas na medição de tempo no atletismo, e uma segunda, sucessivamente, 100 m, 10 m e 1 m depois do poste. As barreiras medem quanto tempo o carro levou em cada trecho e, a partir disso, calculamos a velocidade média:

No trecho de cem metros, a velocidade média saiu 24,14 m/s. Mas o carro estava acelerando durante todos os cem metros, então no fim do trecho andava muito mais depressa do que no poste, e a média saiu maior por causa disso. Em dez metros, o carro já tem menos tempo para acelerar e, em um metro, quase nenhum. Quanto mais curto o trecho, menos a velocidade muda durante ele e mais a velocidade média se aproxima da velocidade no poste. Os resultados se estabilizam em torno de 20 m/s. Num trecho de 10 cm sairia 20,005 m/s e, num milímetro, um pouquinho menos ainda. A velocidade instantânea do carro no poste é, portanto, 20 m/s, ou seja, 20 · 3,6 km/h = 72 km/h. É justamente isso que o velocímetro mostraria naquele momento.

Obtemos, então, a velocidade instantânea como a velocidade média num trecho muito curto. Escrevemos o pedaço da distância que o corpo percorre como Δs e o tempo em que o percorre, como Δt. A letra grega Δ significa variação. Então

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t},$$

onde o tempo Δt precisa ser tão curto que a velocidade não mude perceptivelmente durante ele. Quão curto é curto o bastante depende do movimento. Um carro que anda na rodovia com o piloto automático muda de velocidade em um segundo apenas de modo imperceptível. Um carro que bate num muro para em um décimo de segundo.

Movimento uniforme é aquele em que o corpo, em intervalos de tempo iguais, percorre distâncias iguais. Agora podemos descrevê-lo também de outro modo: é o movimento em que o módulo da velocidade instantânea não muda. O velocímetro marca sempre o mesmo número e a velocidade média em qualquer trecho é igual à instantânea. No movimento variado a velocidade instantânea muda e a velocidade média é apenas um número entre a menor e a maior velocidade instantânea.

Para os curiosos: derivada

Quem já conhece limites e derivadas reconhece o que fizemos na tabela. Encurtamos o tempo Δt e observamos de que valor se aproxima o quociente $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$. Um matemático diria que a velocidade instantânea é o limite desse quociente, isto é, a derivada da distância em relação ao tempo:

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=s^{\prime }(t)$$

O carro da tabela percorreu, no tempo t a partir do semáforo, a distância s = 1 m/s² · t², e no poste estava aos dez segundos. A derivada de t² é 2t, então

$$v=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot t=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

e esse é exatamente o valor do qual a tabela se aproximava. De resto, em toda a categoria dispensamos as derivadas.

A velocidade como vetor

Um carro contorna uma rotatória e o velocímetro marca o tempo todo os mesmos 30 km/h. A velocidade do carro muda ou não?

A velocidade é um vetor. Não basta saber com que rapidez o carro anda, importa também para onde. Indicamos a seta da velocidade por $\overrightarrow{v}$. O seu módulo $v=|\overrightarrow{v}|$ é o que o velocímetro mostra. A seta aponta para onde o corpo está se movendo naquele momento.

Na imagem, o carro anda pela circunferência cinza tracejada no sentido anti-horário, como se anda numa rotatória. A seta vermelha mostra a velocidade dele. As setas mais claras ${\overrightarrow{v}}_1$ a ${\overrightarrow{v}}_4$ registram a velocidade do carro em quatro lugares, sempre a cada quarto de volta. Na animação, o carro dá voltas na rotatória e a seta dele coincide sucessivamente com cada uma delas. A seta tem o mesmo comprimento o tempo todo, porque o velocímetro marca sempre 30 km/h. A direção dela, porém, muda continuamente.

Agora transportamos as quatro setas para um único ponto. Podemos deslocar as setas desde que não as giremos nem mudemos o comprimento, então continuam sendo os mesmos vetores.

As quatro setas terminam na mesma circunferência tracejada, e por isso têm o mesmo módulo, $|{\overrightarrow{v}}_1|=|{\overrightarrow{v}}_2|=|{\overrightarrow{v}}_3|=|{\overrightarrow{v}}_4|=30\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Cada uma, no entanto, aponta para um lado, então são quatro vetores diferentes, ${\overrightarrow{v}}_1\ne {\overrightarrow{v}}_2$. A resposta à pergunta é, portanto: a velocidade do carro muda, embora o velocímetro marque sempre a mesma coisa. Muda a direção dela. O velocímetro mostra só o módulo da velocidade, não vê a direção.

Reconhecíamos o movimento uniforme pelas distâncias, e a distância não tem direção. Por isso consideramos uniforme o movimento em que o módulo da velocidade não muda. O carro na rotatória, então, anda uniformemente e, mesmo assim, a velocidade dele, como vetor, muda. Que essa é uma diferença essencial, você mesmo percebe no carro: na curva você precisa se apoiar, mesmo que o motorista não mexa no acelerador nem no freio. Por que é assim, explicaremos mais adiante, na aceleração.

Resta justificar por que a seta aponta ao longo da tangente, isto é, da reta que apenas toca a trajetória no lugar dado. Voltemos à velocidade média, desta vez como vetor. O carro, no tempo Δt, se desloca do ponto A para algum outro ponto da trajetória. O seu deslocamento é a seta $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$, e a velocidade média como vetor é

$$\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}.$$

Atenção, o módulo desse vetor em geral não é o mesmo que a distância dividida pelo tempo. O deslocamento costuma ser menor que a distância percorrida e só coincide com ela num trecho muito curto.

Dividir um vetor por um número significa o mesmo que multiplicá-lo pelo número $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$. A seta apenas encurta ou alonga, a direção e o sentido permanecem, e por isso a velocidade média aponta no mesmo sentido que o deslocamento.

A imagem mostra a trajetória preta, pela qual o carro anda da esquerda para a direita. As setas verdes são os deslocamentos a partir do ponto A em tempos cada vez mais curtos, até pontos cada vez mais próximos de A. O deslocamento longo aponta obliquamente para cima, o mais curto já menos e, quanto mais curto o tempo, mais a seta se aproxima da tangente cinza tracejada. A velocidade instantânea é a velocidade média num trecho muito curto e, por isso, aponta ao longo da tangente, na imagem na direção da seta vermelha.

Você pode até ver a tangente à trajetória. As faíscas de um esmeril saem do disco ao longo da tangente, na direção em que o pedacinho de metal se movia no instante em que se soltou do disco. Do mesmo modo se comportam as gotas que saem de um guarda-chuva girando. Se o carro na rotatória pegasse uma mancha de óleo na pista e as rodas perdessem a aderência, ele seguiria aproximadamente em linha reta, na direção da sua seta de velocidade, e não pela circunferência.

Com que velocidade se movem as coisas

Para ter uma ideia, aqui estão algumas velocidades típicas, arredondadas:

A velocidade do som na tabela vale para o ar a uma temperatura de 20 °C. O som é lento em comparação com a luz, e por isso você vê o relâmpago antes de ouvir o trovão: a luz chega até você praticamente de imediato, e o som percorre um quilômetro em cerca de três segundos. Se entre o relâmpago e o trovão você contar nove segundos, a tempestade está a cerca de três quilômetros de distância. A luz é a mais rápida de todas. Da Lua ela chega até nós em pouco mais de um segundo e, do Sol, em cerca de oito minutos.

Calculadora

Digite a distância percorrida e o tempo e a calculadora calcula a velocidade média. Os valores preenchidos vêm da viagem da família Silva a Brno.

O movimento mais simples é aquele em que a velocidade não muda nada, nem em módulo nem em direção. Esse movimento é uniforme e retilíneo, e a ele se dedica o próximo artigo, Movimento retilíneo uniforme.