Viteza

Usain Bolt a alergat în 2009, la campionatul mondial de la Berlin, 100 m în 9,58 s. Cât de repede a fost alergarea? Dacă ar fi ținut același ritm tot timpul, pe fiecare secundă ar fi revenit

$$\frac{100\mathrm{m}}{9,58\mathrm{s}}\approx 10,44\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

adică peste zece metri în fiecare secundă. Și cât înseamnă asta în kilometri pe oră?

$$10,44\mathrm{m}/\mathrm{s}=10,44\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 37,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Pe o stradă cu limita de 50 km/h, Bolt ar ține o vreme pasul cu mașinile. Cel puțin pe o sută de metri, mai mult nu ar rezista în ritmul acela.

Formula vitezei

Dacă vrei doar formula, viteza v o calculezi împărțind distanța parcursă s la timpul t în care a parcurs-o corpul:

$$v=\frac{s}{t}$$

Viteza arată ce distanță parcurge corpul într-o unitate de timp, de exemplu într-o secundă sau într-o oră. Cu cât distanța este mai mare în același timp, cu atât viteza este mai mare. Iar dacă parcurgem aceeași distanță în mai mult timp, viteza scade, căci timpul este la numitor.

Unitatea de măsură o obținem împărțind unitatea distanței la unitatea timpului. Distanța în metri și timpul în secunde dau metri pe secundă, m/s. Distanța în kilometri și timpul în ore dau kilometri pe oră, km/h. Între cele două unități se transformă cu numărul 3,6: din m/s în km/h înmulțim, invers împărțim.

Viteza medie

Drumul de la București la Constanța pe autostrada A2 măsoară aproximativ 205 km. Familia Popescu a făcut drumul în 2,5 h, inclusiv oprirea la benzinărie. Cu ce viteză au mers deci?

Să încercăm să calculăm:

$$v=\frac{205\mathrm{km}}{2,5\mathrm{h}}=82\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Vitezometrul mașinii nu a arătat însă aproape niciodată 82 km/h. Pe autostradă arăta în jur de 130 km/h, în coloana de la podul de la Fetești 20 km/h, iar la benzinărie zero. Numărul 82 km/h este viteza medie: viteza cu care ar fi trebuit să meargă mașina tot timpul, fără oprire, ca să ajungă la Constanța în același timp. O notăm v_m și o calculăm ca distanța totală împărțită la timpul total:

$$v_m=\frac{s}{t}$$

În timpul total intră totul, și opririle. Dacă familia Popescu ar fi stat la benzinărie cu o oră mai mult, ar fi parcurs aceiași 205 km în 3,5 h, iar viteza medie ar fi scăzut la

$$v_m=\frac{205\mathrm{km}}{3,5\mathrm{h}}\approx 58,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Medie a fost și viteza lui Bolt de 10,44 m/s din introducere. Bolt a pornit din repaus din blocurile de start, în primii metri abia accelera, așa că la început a alergat mai încet, iar spre final mai repede. La măsurătoarea de la Berlin a parcurs tronsonul dintre metrul 60 și metrul 80, adică 20 m, în 1,61 s:

$$v_m=\frac{20\mathrm{m}}{1,61\mathrm{s}}\approx 12,42\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 44,7\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Pe un tronson scurt din a doua jumătate a cursei a fost deci mult mai rapid decât spune media pe toată suta.

La dus 60, la întors 40

Problema asta se dă la lucrări scrise și la examene de admitere, pentru că aproape toată lumea răspunde greșit din prima. Domnul Ionescu merge cu mașina la o căsuță de la țară aflată la 120 km, cu viteza 60 km/h. La întoarcere drumul este aglomerat, așa că merge doar cu 40 km/h. Care a fost viteza lui medie pe tot drumul, dus și întors?

Ești tentat să aduni cele două viteze și să împarți la doi:

$$\frac{60\mathrm{km}/\mathrm{h}+40\mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=50\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Dar asta este greșit. Viteza medie nu este media vitezelor, ci distanța totală împărțită la timpul total. De aceea aflăm mai întâi cât timp a mers în fiecare sens. La dus a parcurs 120 km cu viteza 60 km/h. Din formula $v=\frac{s}{t}$ exprimăm timpul înmulțind ambele părți cu t și împărțind la v:

$$t=\frac{s}{v}$$

Drumul la dus a durat

$$t_1=\frac{120\mathrm{km}}{60\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\mathrm{h}$$

iar drumul de întoarcere

$$t_2=\frac{120\mathrm{km}}{40\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

În total a parcurs 240 km în 5 h. Viteza medie este

$$v_m=\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Domnul Ionescu a mers cu viteza medie de 48 km/h, nu 50 km/h. Unde s-au pierdut cei doi kilometri pe oră? Răspunsul îl arată figura.

Fiecare dreptunghi reprezintă o oră de mers, iar numărul din el arată câți kilometri a parcurs domnul Ionescu în ea. Drumul la dus, cu roșu, i-a luat două ore, drumul de întoarcere, cu albastru, trei. Ambele drumuri sunt la fel de lungi, 120 km, dar cu viteza mică a mers mai mult. Când facem media celor cinci ore, valoarea 40 are trei voturi, iar 60 doar două:

$$\begin{array}{rl}{v}_m& =\frac{(60+60+40+40+40)\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}\\ & =\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Rândul verde arată că cinci ore cu 48 km/h dau aceiași 240 km. Media de 50 km/h ar ieși doar dacă domnul Ionescu ar fi mers cu ambele viteze la fel de mult timp, de exemplu o oră cu 60 și o oră cu 40. Aici a mers la fel de departe, nu la fel de mult timp, și de aceea media s-a apropiat de viteza mai mică.

Și mai perfidă este aceeași problemă pe dos. Domnul Ionescu a mers iar la dus cu 60 km/h și ar vrea să aibă pe tot drumul viteza medie 80 km/h. Cu ce viteză trebuie să meargă la întoarcere? Răspunsul 100 km/h se oferă de la sine, dar știm deja că vitezele nu se pot media așa. Tot drumul de 240 km cu viteza medie 80 km/h l-ar parcurge în

$$t=\frac{240\mathrm{km}}{80\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Două ore a consumat însă deja la dus. Pentru cei 120 km de întoarcere îi rămâne o singură oră, deci trebuie să meargă cu 120 km/h. Și dacă ar vrea media 120 km/h? Tot drumul ar trebui să-l parcurgă în două ore, iar pe acestea le-a consumat deja. La întoarcere ar trebui să ajungă într-un timp nul, așa că nu se poate, oricât de repede ar merge.

Viteza momentană

Vitezometrul mașinii nu arată viteza medie pe tot drumul. Arată cât de repede merge mașina chiar acum. Aceasta o numim viteză momentană. Cum o calculăm însă, când formula cere o anumită distanță și un anumit timp, iar un moment nu durează deloc?

Ne ajutăm de viteza medie pe un tronson tot mai scurt. Mașina pornește de la un semafor și la 100 m mai departe se află un stâlp de iluminat. Ne interesează cu ce viteză merge mașina chiar la stâlp. La stâlp punem o barieră fotoelectrică, de felul celor folosite la măsurarea timpului în atletism, iar pe a doua, pe rând, la 100 m, 10 m și 1 m după stâlp. Barierele măsoară cât timp a mers mașina pe fiecare tronson, iar din asta calculăm viteza medie:

Pe tronsonul de o sută de metri viteza medie a ieșit 24,14 m/s. Mașina a accelerat însă pe toți cei o sută de metri, așa că la capătul tronsonului mergea mult mai repede decât la stâlp și media a ieșit mai mare. Pe zece metri mașina apucă să accelereze mai puțin, iar pe un metru aproape deloc. Cu cât tronsonul este mai scurt, cu atât viteza se schimbă mai puțin pe el și cu atât viteza medie se apropie de viteza de la stâlp. Rezultatele se stabilizează în jurul a 20 m/s. Pe un tronson de 10 cm ar ieși 20,005 m/s, pe un milimetru încă un pic mai puțin. Viteza momentană a mașinii la stâlp este de aceea 20 m/s, adică 20 · 3,6 km/h = 72 km/h. Exact asta ar arăta atunci vitezometrul.

Viteza momentană o obținem deci ca viteză medie pe un tronson foarte scurt. Bucata de distanță pe care o parcurge corpul o scriem Δs, iar timpul în care o parcurge Δt. Litera grecească Δ înseamnă schimbare. Atunci

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t},$$

unde timpul Δt trebuie să fie atât de scurt încât viteza să nu se schimbe vizibil în el. Cât de scurt este destul de scurt depinde de mișcare. O mașină care merge pe autostradă cu tempomatul pornit își schimbă viteza într-o secundă doar nesemnificativ. O mașină care se lovește de un zid se oprește într-o zecime de secundă.

Mișcarea uniformă este aceea în care corpul parcurge în intervale de timp la fel de lungi aceleași distanțe. Acum o putem descrie și altfel: este mișcarea în care modulul vitezei momentane nu se schimbă. Vitezometrul arată mereu același număr, iar viteza medie pe orice tronson este aceeași cu cea momentană. La mișcarea neuniformă viteza momentană se schimbă, iar viteza medie este doar un număr oarecare între cea mai mică și cea mai mare viteză momentană.

Pentru curioși: derivata

Cine cunoaște deja limitele și derivatele recunoaște ce am făcut în tabel. Am scurtat timpul Δt și am urmărit de ce se apropie raportul $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$. Un matematician ar spune că viteza momentană este limita acestui raport, adică derivata distanței în raport cu timpul:

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=s^{\prime }(t)$$

Mașina din tabel a parcurs de la semafor, în timpul t, distanța s = 1 m/s² · t², la stâlp a ajuns după zece secunde. Derivata lui t² este 2t, deci

$$v=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot t=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

și aceasta este exact valoarea de care se apropia tabelul. Altfel, în toată categoria ne descurcăm fără derivate.

Viteza ca vector

O mașină ocolește un sens giratoriu, iar vitezometrul arată tot timpul aceiași 30 km/h. Se schimbă viteza mașinii sau nu?

Viteza este un vector. Nu ajunge să știm cât de repede merge mașina, important este și încotro. Săgeata vitezei o notăm $\overrightarrow{v}$. Modulul ei $v=|\overrightarrow{v}|$ este ceea ce arată vitezometrul. Săgeata este îndreptată încotro se mișcă corpul chiar atunci.

În figură, mașina merge pe cercul gri punctat invers acelor de ceasornic, cum se merge într-un sens giratoriu. Săgeata roșie arată viteza ei. Săgețile mai deschise ${\overrightarrow{v}}_1$ până la ${\overrightarrow{v}}_4$ redau viteza mașinii în patru locuri, din sfert în sfert de cerc. În animație mașina ocolește sensul giratoriu în cerc, iar săgeata ei se suprapune pe rând peste fiecare dintre ele. Săgeata are tot timpul aceeași lungime, pentru că vitezometrul arată mereu 30 km/h. Direcția ei se schimbă însă continuu.

Mutăm acum toate cele patru săgeți într-un singur punct. Săgețile le putem muta, dacă nu le rotim și nu le schimbăm lungimea, așa că sunt în continuare aceiași vectori.

Toate cele patru săgeți se termină pe același cerc punctat, au deci același modul, $|{\overrightarrow{v}}_1|=|{\overrightarrow{v}}_2|=|{\overrightarrow{v}}_3|=|{\overrightarrow{v}}_4|=30\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Fiecare este însă îndreptată în altă parte, deci sunt patru vectori diferiți, ${\overrightarrow{v}}_1\ne {\overrightarrow{v}}_2$. Răspunsul la întrebare este deci: viteza mașinii se schimbă, deși vitezometrul arată tot timpul același lucru. Se schimbă direcția ei. Vitezometrul arată doar modulul vitezei, direcția nu o vede.

Mișcarea uniformă am recunoscut-o după distanțe, iar distanța nu are direcție. De aceea considerăm uniformă mișcarea în care nu se schimbă modulul vitezei. Mașina din sensul giratoriu merge deci uniform și totuși viteza ei ca vector se schimbă. Că este o deosebire importantă simți singur în mașină: în curbă trebuie să te sprijini, chiar dacă șoferul nu atinge nici pedala de accelerație, nici frâna. De ce este așa, vom explica mai târziu la accelerație.

Rămâne să explicăm de ce săgeata este îndreptată pe tangentă, adică pe dreapta care atinge traiectoria doar în locul dat. Ne întoarcem la viteza medie, de data aceasta ca vector. În timpul Δt mașina se deplasează din punctul A într-un alt punct al traiectoriei. Deplasarea ei este săgeata $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$, iar viteza medie ca vector este

$$\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}.$$

Atenție, modulul acestui vector în general nu este același lucru cu distanța împărțită la timp. Deplasarea este de obicei mai scurtă decât distanța parcursă și se confundă cu ea doar pe un tronson foarte scurt.

A împărți un vector la un număr înseamnă același lucru cu a-l înmulți cu numărul $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$. Săgeata doar se scurtează sau se lungește, direcția îi rămâne, și de aceea viteza medie este îndreptată la fel ca deplasarea.

Figura arată traiectoria neagră pe care merge mașina de la stânga la dreapta. Săgețile verzi sunt deplasările din punctul A în timp tot mai scurt, în puncte aflate tot mai aproape de A. Deplasarea lungă este îndreptată oblic în sus, una mai scurtă mai puțin, și cu cât timpul este mai scurt, cu atât săgeata se lipește mai tare de tangenta gri punctată. Viteza momentană este viteza medie pe un tronson foarte scurt și de aceea este îndreptată pe tangentă, în figură în direcția săgeții roșii.

Tangenta la traiectorie o poți chiar vedea. Scânteile de la polizor zboară de pe disc pe tangentă, în direcția în care se mișca bucățica de metal în momentul în care s-a desprins de disc. La fel se comportă picăturile care zboară de pe o umbrelă pusă în rotație. Dacă mașina ar da în sensul giratoriu peste polei și roțile ar înceta să țină, ar merge mai departe aproximativ drept, în direcția săgeții vitezei ei, nu pe cerc.

Cu ce viteză se mișcă ce

Ca să-ți faci o idee, iată câteva viteze tipice, rotunjite:

Viteza sunetului din tabel este valabilă pentru aer cu temperatura 20 °C. Sunetul este lent față de lumină și de aceea vezi fulgerul înainte să auzi tunetul: lumina ajunge la tine practic instantaneu, sunetul parcurge un kilometru în aproximativ trei secunde. Dacă între fulger și tunet numeri nouă secunde, furtuna este la aproximativ trei kilometri. Lumina este cea mai rapidă dintre toate. De la Lună ajunge la noi în ceva mai mult de o secundă, iar de la Soare în aproximativ opt minute.

Calculator

Introdu distanța parcursă și timpul, iar calculatorul îți calculează viteza medie. Valorile precompletate provin din drumul familiei Popescu la Constanța.

Cea mai simplă este mișcarea în care viteza nu se schimbă deloc, nici ca modul, nici ca direcție. O astfel de mișcare este uniformă și rectilinie, iar articolul următor îi este dedicat, Mișcarea rectilinie uniformă.