Сили інерції

Оля їде потягом до Вінниці й повісила на гачок біля вікна на шнурку плюшеву мавпочку. Поки потяг стоїть, мавпочка висить вертикально вниз. Щойно потяг рушає, вона відхиляється назад, проти напрямку руху, і висить навскіс, доки потяг розганяється. Хто ж її штовхнув? Ніхто. Мавпочка просто не рушила одразу разом із вагоном.

Коли система відліку прискорюється

Спершу подивімося на це з платформи. Потяг розганяється вперед, а мавпочка за законом інерції найрадше лишилася б там, де є. Та гачок тягне її за собою, шнурок нахиляється й починає тягти мавпочку вперед. Усе сходиться: мавпочка прискорюється, бо на неї діє ненульова рівнодійна сила.

Оля у вагоні бачить ситуацію інакше. Мавпочка відносно неї висить у спокої, але навскіс. На неї діє сила тяжіння вниз і сила шнурка навскіс угору та вперед. Ці дві сили не дають у сумі нуль, бо шнурок тягне трохи вперед, і ніщо цьому не заважає. За законами Ньютона мавпочка мала б рушити вперед, а проте все одно висить у спокої. У системі відліку, пов'язаній із потягом, що розганяється, ні закон інерції, ні другий закон Ньютона тут не виконуються.

Таку систему називають неінерціальною системою відліку. Сюди належить кожна система, що прискорюється відносно інерціальної, наприклад відносно Землі, яку ми вважаємо інерціальною: потяг чи автобус, що рушає або гальмує, ліфт на початку руху, автомобіль на повороті, карусель.

Сила інерції

Але Оля вміє собі зарадити. Вона просто рахуватиме так, ніби на кожне тіло у вагоні діє ще одна додаткова сила, напрямлена проти прискорення потяга:

$$\overrightarrow{F_{\mathrm{і}\mathrm{н}}}=-m\cdot \overrightarrow{a},$$

де m — маса тіла, а $\overrightarrow{a}$ — прискорення системи відліку, тут потяга. Цю силу називають силою інерції. Знак мінус означає протилежний напрямок: потяг рушає вперед, а сила інерції напрямлена назад. Якщо Оля додасть її до інших сил, сили, що діють на мавпочку, разом дадуть нуль, і перший та другий закони Ньютона у вагоні знову виконуються.

Що описує сила інерції, ми знаємо з власного досвіду. Коли потяг рушає, нас «втискає» в сидіння, під час гальмування «кидає» вперед на ремені. Але це доволі дивна сила.

Сила, яку ніхто не створює

Усі сили, з якими ми досі рахували, були дією одного тіла на інше: шнурок тягне мавпочку, Земля притягує мавпочку. Силу інерції не створює ніщо. Спробуй знайти, хто штовхає мавпочку назад. Нікого не знайдеш. Тому в сили інерції немає і протидії. За третім законом Ньютона протидія мала б діяти на джерело сили, а джерела немає.

Сила інерції — допоміжний засіб спостерігача, який їде разом із системою, що прискорюється. Спостерігач на платформі без неї обходиться і на рисунок її не малює. Тому її також називають фіктивною силою. Але це не означає, що ти нічого не відчуєш. Коли потяг рушає, сидіння справді штовхає тебе в спину, проте це справжня сила сидіння, яка розганяє тебе разом із потягом.

Мавпочка ззовні та зсередини

Обчислімо, на який кут відхилиться мавпочка, коли потяг рушає з прискоренням 0,8 м/с². Зробимо це одразу двічі: раз з платформи, раз із вагона.

З платформи. На мавпочку діють сила тяжіння $\overrightarrow{F_{\mathrm{т}\mathrm{я}\mathrm{ж}}}$ і сила шнурка $\overrightarrow{F}$, відхилена від вертикалі на кут α. Мавпочка розганяється разом із потягом, тому рівнодійна обох сил за другим законом Ньютона дорівнює $m\cdot \overrightarrow{a}$ і напрямлена горизонтально вперед. Силу шнурка розкладемо на дві складові. Вертикальна зрівноважує силу тяжіння, горизонтальна утворює рівнодійну:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

З вагона. Мавпочка висить у спокої, тож рівнодійна дорівнює нулю. Крім сили тяжіння й шнурка, на неї тепер діє ще й сила інерції, модуль якої дорівнює m · a, напрямлена назад. Вертикальна складова сили шнурка зрівноважує силу тяжіння, горизонтальна — силу інерції:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

Ми отримали точнісінько такі самі рівняння, лише щоразу тлумачили їх по-іншому. Добуток m · a ззовні був рівнодійною, зсередини — силою інерції. Друге рівняння поділимо на перше. Маса й сила шнурка скорочуються, а відношення синуса до косинуса — це тангенс:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{g}$$

Підставимо:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{0,8{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2}{9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2}\approx \mathrm{0,082}$$

Кут, тангенс якого 0,082, знайдемо на калькуляторі кнопкою tg⁻¹: α ≈ 4,7°. Мавпочка відхилиться менш як на п'ять градусів, рисунок кут для наочності перебільшує. Від маси це не залежить, важкий рюкзак на гачку відхилився б точно так само. Працює це й навпаки: хто виміряє кут, дізнається прискорення потяга. Мавпочка на шнурку — цілком пристойний вимірювач прискорення.

Ліфт зсередини

У ліфті, що рушає вгору з прискоренням a, сила інерції напрямлена вниз, так само як сила тяжіння. Пасажирові всередині здається, що Земля раптом притягує сильніше, ніби прискорення вільного падіння зросло з g до g + a. Сумка в руці здається важчою, а підлога мусить тиснути сильніше. Коли ліфт угорі гальмує, прискорення напрямлене вниз, сила інерції вгору, і вона забирає шматок ваги.

Якби ліфт обірвався й падав із прискоренням g, сила інерції m · g угору точно зрівноважила б силу тяжіння, і пасажир усередині ширяв би. Ззовні це той самий процес, тільки виглядає інакше: пасажир падає разом із ліфтом, і підлога на нього не тисне.

Відцентрова сила

Карусель обертається, тож кожна її точка має доцентрове прискорення ω² · r до центра. Сила інерції напрямлена протилежно, тобто від осі, і називається відцентровою силою:

$$F_{\mathrm{в}\mathrm{і}\mathrm{д}\mathrm{ц}}=m\cdot {\omega }^2\cdot r=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Для тіла, що обертається разом із каруселлю, вона така сама за модулем, як і доцентрова, тільки напрямлена протилежно, і існує лише в системі, що обертається. Саме це в повсякденній мові ми й називаємо відцентровою силою: те, що на повороті притискає пасажира до дверей. Усередині автомобіля це розумний опис. Але з тротуару жодної сили назовні ніхто не бачить. Видно лише двері, які штовхають пасажира до центра повороту й змушують його повертати разом з автомобілем.

Данило має масу 30 кг і сидить на каруселі на дитячому майданчику, за 1,5 м від осі. Він тримається за поручень, а тато розкручує карусель на один оберт за 4 с. Швидкість Данила дорівнює

$$\begin{array}{rl}v& =\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\mathrm{м}}{4\mathrm{с}}\\ & =0,75\pi \mathrm{м}/\mathrm{с}\approx 2,36\mathrm{м}/\mathrm{с}.\end{array}$$

З лавки Данило рухається по колу, тому поручень мусить тягти його до центра доцентровою силою. Її модуль F_дц — це модуль зеленої сили поручня (тертя об сидіння не враховуємо):

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{д}\mathrm{ц}}& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{30\mathrm{к}\mathrm{г}\cdot (0,75\pi \mathrm{м}/\mathrm{с}{)}^2}{1,5\mathrm{м}}\\ & =11,25{\pi }^2\mathrm{Н}\approx 111\mathrm{Н}\end{array}$$

З каруселі Данило сидить у спокої. Назовні його тягне відцентрова сила, за тією самою формулою знову 111 Н, а поручень утримує його досередини такою самою силою. Сили зрівноважені. Але протидією силі поручня відцентрова сила не є, обидві діють на Данила. Протидія — це сила, з якою Данило тягне за поручень. Обидва описи сходяться в тому, що Данило справді відчує: в руках йому треба втримати приблизно 111 Н, ніби він піднімає сумку на одинадцять кілограмів. Вертикальні сили, тяжіння й реакції опори, ми пропустили, бо вони зрівноважуються.

А що, як Данило відпустить поручень? Щойно поручень перестає тягти, жодна горизонтальна сила не діє, і сидіння його не втримає, бо тертям об сидіння ми нехтуємо. За законом інерції Данило продовжує рух прямо, по дотичній до кола. Так само поводиться камінь, коли рветься мотузка. З каруселі це виглядає інакше: Данило віддаляється від осі й водночас відстає від обертання. Таке відхилення, як його видно зсередини, забезпечує ще одна сила інерції, сила Коріоліса, яка в системі, що обертається, діє на тіла, які в ній рухаються.

Коли який опис використовувати

Обидва описи правильні й дають однакові результати. Ззовні, з інерціальної системи, малюємо лише справжні сили, і їхня рівнодійна дорівнює $m\cdot \overrightarrow{a}$. Зсередини додаємо силу інерції, і коли тіло відносно транспорту в спокої, сума всіх сил дорівнює нулю. Зсередини зручно рахувати тоді, коли нас цікавить, як щось поводиться відносно транспорту: як відхилиться мавпочка, скільки покажуть ваги в ліфті.

Проблема виникає, коли обидва описи змішують. Скажімо, хтось малює автомобіль на повороті з погляду дороги й додає до тертя ще й відцентрову силу назовні. Сили в нього тоді зрівноважуються, рівнодійна виходить нульовою, і автомобіль за законом інерції їхав би прямо, а не по колу. Відцентрова сила на рисунок ззовні не належить. Вона належить лише тому, хто сидить усередині й обертається разом з усіма.

На цій статті закінчується серія пояснювальних статей про кінематику й динаміку. Далі йдуть Задачі з кінематики з розв'язками, а за ними задачі з динаміки.