Fiktive kræfter

Nora kører med toget til Aarhus og har hængt en lille tøjabe i en snor på en knage ved vinduet. Mens toget holder stille, hænger aben lodret nedad. Så snart toget sætter i gang, svinger den bagud, mod kørselsretningen, og bliver hængende på skrå, så længe toget accelererer. Hvem har dog skubbet til den? Ingen. Aben satte sig bare ikke i gang med det samme sammen med vognen.

Når henførelsessystemet accelererer

Lad os først se på det fra perronen. Toget accelererer fremad, og aben ville ifølge inertiens lov helst blive, hvor den er. Knagen trækker den dog med sig, snoren hælder og begynder at trække aben fremad. Det hele hænger sammen: Aben accelererer, fordi der virker en resulterende kraft, som ikke er nul.

Nora inde i vognen ser situationen anderledes. Aben hænger i hvile i forhold til hende, men på skrå. Der virker tyngdekraft nedad og snorkraft på skrå opad og fremad. De to giver ikke sammenlagt nul, for snoren trækker et stykke fremad, og intet forhindrer den i det. Ifølge Newtons love skulle aben sætte i gang fremad, og alligevel hænger den i hvile. I det henførelsessystem, der er knyttet til det accelererende tog, gælder hverken inertiens lov eller Newtons 2. lov.

Et sådant system kalder vi et ikke-inertialsystem. Hertil hører ethvert system, der accelererer i forhold til et inertialsystem, for eksempel i forhold til Jorden, som vi regner for et inertialsystem: et tog eller en bus, der sætter i gang eller bremser, en elevator ved igangsætning, en bil i et sving, en karrusel.

Fiktiv kraft

Nora kan dog hjælpe sig selv. Hun vil simpelthen regne, som om der på ethvert legeme i vognen virkede endnu en kraft, som peger modsat togets acceleration:

$$\overrightarrow{F_{\mathrm{fikt}}}=-m\cdot \overrightarrow{a},$$

hvor m er legemets masse og $\overrightarrow{a}$ er henførelsessystemets acceleration, her togets. Denne kraft kalder vi fiktiv kraft. Minustegnet betyder modsat retning: Toget sætter i gang fremad, den fiktive kraft peger bagud. Lægger Nora den til de øvrige kræfter, giver de kræfter, der virker på aben, tilsammen nul, og både Newtons 1. og 2. lov gælder igen i vognen.

Hvad den fiktive kraft beskriver, kender vi fra egen krop. Ved igangsætning bliver vi »trykket« ned i sædet, ved opbremsning »kastet« frem mod sikkerhedsselerne. Men det er en virkelig mærkelig kraft.

Kraften, som ingen udøver

Alle de kræfter, vi hidtil har regnet med, var et legemes påvirkning af et andet: Snoren trækker i aben, Jorden tiltrækker aben. Den fiktive kraft udøver intet. Prøv at lede efter, hvem der skubber aben bagud. Du finder ingen. Derfor har den fiktive kraft heller ingen reaktion. Ifølge Newtons 3. lov skulle reaktionen virke på ophavet til kraften, og der er intet ophav.

Den fiktive kraft er et hjælpemiddel for iagttageren, der kører med det accelererende system. Iagttageren på perronen klarer sig uden den og tegner den ikke på sin figur. Derfor kalder man den også en tilsyneladende kraft. Det betyder dog ikke, at du ikke mærker noget. Sædet trykker virkelig i ryggen på dig ved igangsætning, men det er sædets virkelige kraft, som sætter dig i gang sammen med toget.

Aben udefra og indefra

Lad os udregne, med hvilken vinkel aben svinger ud, når toget sætter i gang med accelerationen 0,8 m/s². Det gør vi straks to gange, en gang fra perronen og en gang fra vognen.

Fra perronen. På aben virker tyngdekraften $\overrightarrow{F_t}$ og snorkraften $\overrightarrow{F}$, som afviger fra lodret med vinklen α. Aben sætter i gang sammen med toget, derfor er den resulterende kraft af de to ifølge Newtons 2. lov $m\cdot \overrightarrow{a}$, og den peger vandret fremad. Snorkraften opløser vi i to komposanter. Den lodrette udligner tyngdekraften, den vandrette udgør den resulterende kraft:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

Fra vognen. Aben hænger i hvile, så den resulterende kraft er nul. Foruden tyngdekraften og snoren virker der nu også en fiktiv kraft af størrelsen m · a bagud. Snorkraftens lodrette komposant udligner tyngdekraften, den vandrette den fiktive kraft:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

Vi fik fuldstændig de samme ligninger, bare forklaret forskelligt hver gang. Produktet m · a var udefra den resulterende kraft, indefra den fiktive kraft. Vi deler den anden ligning med den første. Massen og snorkraften forkortes væk, og forholdet mellem sinus og cosinus er tangens:

$$\tan \alpha =\frac{a}{g}$$

Vi indsætter:

$$\tan \alpha =\frac{0,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \mathrm{0,082}$$

Vinklen, hvis tangens er 0,082, finder vi på lommeregneren med knappen tan⁻¹: α ≈ 4,7°. Aben svinger ud med knap fem grader, figuren overdriver vinklen af hensyn til læsbarheden. Massen betyder ikke noget, en tung rygsæk på knagen ville svinge ud nøjagtig lige så meget. Det virker også omvendt: Den, der måler vinklen, finder togets acceleration. Aben i snoren er faktisk en ganske god accelerationsmåler.

Elevatoren indefra

I en elevator, der sætter i gang opad med accelerationen a, peger den fiktive kraft nedad, ligesom tyngdekraften. For passageren indeni virker det, som om Jorden pludselig trak kraftigere, som om tyngdeaccelerationen var vokset fra g til g + a. En pose i hånden forekommer tungere, og gulvet må trykke mere. Når elevatoren så bremser foroven, peger accelerationen nedad, den fiktive kraft opad, og den tager en bid af den tilsyneladende vægt.

Hvis elevatoren røg løs og faldt med accelerationen g, ville den fiktive kraft m · g opad udligne tyngdekraften præcist, og passageren ville svæve indeni. Udefra er det det samme forløb, bare ser det anderledes ud: Passageren falder sammen med elevatoren, og gulvet trykker ikke på ham.

Centrifugalkraft

Karrusellen drejer rundt, så ethvert punkt på den har centripetalaccelerationen ω² · r mod centrum. Den fiktive kraft peger modsat, altså udad fra aksen, og kaldes centrifugalkraft:

$$F_{\mathrm{cf}}=m\cdot {\omega }^2\cdot r=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

For et legeme, der drejer med karrusellen, er den lige så stor som centripetalkraften, bare modsat rettet, og den findes kun i et system, der roterer. Det er netop det, vi i dagligdagen mener med centrifugalkraft: det, der i et sving trykker passageren mod døren. Inde i bilen er det en fornuftig beskrivelse. Fra fortovet kan ingen dog se nogen kraft udad. Man ser kun døren, som trykker passageren mod svingets centrum og tvinger ham til at dreje med bilen.

Noah vejer 30 kg og sidder på en karrusel på en legeplads, 1,5 m fra aksen. Han holder fast i håndtaget, og far sætter karrusellen i gang med én omdrejning på 4 s. Noahs fart er

$$\begin{array}{rl}v& =\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}\\ & =0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,36\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Fra bænken bevæger Noah sig på en cirkel, og derfor skal håndtaget trække ham mod centrum med en centripetalkraft. Dens størrelse F_c er størrelsen af den grønne håndtagskraft (gnidningen mod sædet regner vi ikke med):

$$\begin{array}{rl}{F}_c& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{30\mathrm{kg}\cdot (0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\mathrm{m}}\\ & =11,25{\pi }^2\mathrm{N}\approx 111\mathrm{N}\end{array}$$

Fra karrusellen sidder Noah i hvile. Udad trækker centrifugalkraften, ifølge den samme formel igen 111 N, og håndtaget holder ham med en lige så stor kraft indad. Kræfterne er i ligevægt. Centrifugalkraften er dog ikke reaktionen på håndtagskraften, begge virker på Noah. Reaktionen er Noahs træk i håndtaget. De to beskrivelser er enige om, hvad Noah virkelig mærker: I hænderne skal han holde fast i cirka 111 N, som om han løftede en pose på elleve kilo. De lodrette kræfter, tyngdekraften og normalkraften, har vi udeladt, for de ophæver hinanden.

Hvad hvis Noah slipper? Så snart håndtaget holder op med at trække, virker der ingen vandret kraft, og sædet holder ham ikke, for gnidningen mod sædet ser vi bort fra. Ifølge inertiens lov fortsætter Noah ligeud, langs tangenten til cirklen. Det er præcis sådan, en sten opfører sig, når snoren springer. Fra karrusellen ser det anderledes ud: Noah fjerner sig fra aksen og sakker samtidig bagud i forhold til rotationen. Denne drejning indefra sørger endnu en fiktiv kraft for, corioliskraften, som i et roterende system virker på legemer, der bevæger sig i det.

Hvornår hvilken beskrivelse

Begge beskrivelser er rigtige og når frem til de samme resultater. Udefra, fra et inertialsystem, tegner vi kun virkelige kræfter, og deres resulterende kraft er $m\cdot \overrightarrow{a}$. Indefra tilføjer vi den fiktive kraft, og når legemet er i hvile i forhold til køretøjet, er summen af alle kræfter nul. Indefra kan det betale sig at regne, når vi interesserer os for, hvordan noget opfører sig i forhold til køretøjet: hvordan aben svinger ud, hvad vægten viser i elevatoren.

Der opstår problemer, når de to beskrivelser blandes. For eksempel tegner nogen en bil i et sving fra vejens synspunkt og tilføjer til gnidningen også centrifugalkraften udad. Kræfterne ophæver så hinanden, den resulterende kraft bliver nul, og bilen ville ifølge inertiens lov køre ligeud og ikke på en cirkel. Centrifugalkraften hører ikke hjemme på en figur udefra. Den hører kun hjemme hos den, der sidder indeni og drejer med de andre.

Med denne artikel slutter rækken af forklarende artikler om kinematik og dynamik. Derefter følger Opgaver i kinematik med løsninger og efter dem opgaver i dynamik.