Forças de inércia

Nina viaja de trem e pendurou um macaquinho de pelúcia por um barbante num gancho junto à janela. Quando o trem está parado, o macaquinho pende na vertical. Assim que o trem arranca, ele se inclina para trás, contra o sentido da marcha, e fica pendurado obliquamente enquanto o trem acelera. Quem o empurrou? Ninguém. O macaquinho simplesmente não saiu logo em movimento com o vagão.

Quando o referencial acelera

Primeiro olhemos para isso da plataforma. O trem acelera para a frente e o macaquinho, pela lei da inércia, preferia ficar onde está. O gancho, porém, o leva consigo, o barbante se inclina e começa a puxar o macaquinho para a frente. Tudo se encaixa: o macaquinho acelera porque sobre ele age uma força resultante não nula.

Nina, dentro do vagão, vê a situação de outro modo. O macaquinho, em relação a ela, está parado, só que obliquamente. Sobre ele agem a força peso para baixo e a força do barbante obliquamente para cima e para a frente. Essas duas não somam zero, o barbante, afinal, puxa um pouco para a frente e nada o impede disso. Pelas leis de Newton, o macaquinho deveria sair para a frente e, mesmo assim, ele pende parado. No referencial ligado ao trem que acelera, nem a lei da inércia nem a segunda lei de Newton valem.

Um referencial assim se chama referencial não inercial. Pertence a essa categoria todo referencial que acelera em relação a um referencial inercial, por exemplo em relação à Terra, que tomamos como inercial: um trem ou ônibus que arranca ou freia, um elevador na arrancada, um carro na curva, um gira-gira.

A força de inércia

Nina, porém, sabe dar um jeito. Ela simplesmente calculará como se sobre cada corpo no vagão agisse ainda uma força a mais, que aponta contra a aceleração do trem:

$$\overrightarrow{F_{\mathrm{in}}}=-m\cdot \overrightarrow{a},$$

onde m é a massa do corpo e $\overrightarrow{a}$ é a aceleração do referencial, aqui o trem. Essa força se chama força de inércia. O sinal de menos indica o sentido oposto: o trem arranca para a frente, a força de inércia aponta para trás. Se Nina a somar às outras forças, as forças que agem sobre o macaquinho juntas dão zero e a primeira e a segunda lei de Newton no vagão voltam a valer.

Conhecemos na própria pele o que a força de inércia descreve. Na arrancada nos “cola” no assento, na frenagem nos “joga” para a frente, nos cintos. Só que é uma força bem estranha.

Uma força que ninguém exerce

Todas as forças com que calculamos até agora eram a ação de um corpo sobre outro: o barbante puxa o macaquinho, a Terra atrai o macaquinho. Ninguém exerce a força de inércia. Tente procurar quem empurra o macaquinho para trás. Você não vai encontrar ninguém. Por isso a força de inércia também não tem reação. Pela terceira lei de Newton, a reação teria de agir sobre o autor da força, e autor nenhum existe.

A força de inércia é um recurso do observador que viaja com um referencial acelerado. O observador na plataforma a dispensa e não a desenha na figura. Por isso ela também é chamada de força fictícia. Isso, porém, não significa que você não sente nada. O assento realmente empurra você nas costas na arrancada, só que essa é a força real do assento, que põe você em movimento junto com o trem.

O macaquinho visto de fora e de dentro

Calculemos de que ângulo o macaquinho se inclina quando o trem arranca com aceleração de 0,8 m/s². Faremos isso logo duas vezes, uma da plataforma e outra do vagão.

Da plataforma. Sobre o macaquinho agem a força peso $\overrightarrow{P}$ e a força do barbante $\overrightarrow{F}$, que está desviada da vertical pelo ângulo α. O macaquinho arranca junto com o trem, por isso a resultante das duas forças é, pela segunda lei de Newton, $m\cdot \overrightarrow{a}$ e aponta horizontalmente para a frente. Decompomos a força do barbante em duas componentes. A vertical equilibra a força peso, a horizontal forma a resultante:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \mathrm{sen}\alpha =m\cdot a$$

Do vagão. O macaquinho pende parado, a resultante é, portanto, nula. Além da força peso e do barbante, agora age sobre ele também a força de inércia de módulo m · a para trás. A componente vertical da força do barbante equilibra a força peso, a horizontal a de inércia:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \mathrm{sen}\alpha =m\cdot a$$

Obtivemos exatamente as mesmas equações, só que interpretadas a cada vez de modo diferente. O produto m · a foi, de fora, a resultante, de dentro, a força de inércia. Dividimos a segunda equação pela primeira. A massa e a força do barbante se cancelam e a razão entre seno e cosseno é a tangente:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{g}$$

Substituímos:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{0,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \mathrm{0,082}$$

Encontramos na calculadora o ângulo cuja tangente é 0,082 com a tecla tan⁻¹: α ≈ 4,7°. O macaquinho se desvia menos de cinco graus, a figura exagera o ângulo para ficar legível. Isso não depende da massa, uma mochila pesada no gancho se inclinaria exatamente igual. Funciona também ao contrário: quem mede o ângulo descobre a aceleração do trem. Um macaquinho num barbante é um medidor de aceleração bem decente.

O elevador visto de dentro

Num elevador que arranca para cima com aceleração a, a força de inércia aponta para baixo, como a força peso. Para o passageiro lá dentro, parece que a Terra de repente atrai mais forte, como se a aceleração da gravidade tivesse crescido de g para g + a. A sacola na mão parece mais pesada e o piso precisa empurrar mais. Quando o elevador, lá em cima, freia, a aceleração aponta para baixo, a força de inércia para cima e tira um pedaço do peso aparente.

Se o elevador se soltasse e caísse com aceleração g, a força de inércia m · g para cima anularia exatamente a força peso e o passageiro flutuaria lá dentro. De fora é o mesmo processo, só que parece diferente: o passageiro cai junto com o elevador e o piso não o empurra.

A força centrífuga

O gira-gira está girando, então cada ponto dele tem aceleração centrípeta ω² · r para o centro. A força de inércia aponta no sentido oposto, ou seja, para fora do eixo, e se chama força centrífuga:

$$F_{\mathrm{cf}}=m\cdot {\omega }^2\cdot r=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Num corpo que gira com o gira-gira, ela tem o mesmo módulo que a força centrípeta, só que aponta no sentido oposto, e existe apenas no referencial que gira. É isso que, na linguagem comum, queremos dizer com força centrífuga: o que na curva pressiona o passageiro contra a porta. Dentro do carro é uma descrição razoável. Da calçada, porém, ninguém vê força nenhuma para fora. Vê só a porta, que empurra o passageiro para o centro da curva e o obriga a fazer a curva com o carro.

Tomás tem 30 kg e está sentado num gira-gira de parquinho, a 1,5 m do eixo. Ele se segura na barra e o pai põe o gira-gira para girar a uma volta em 4 s. A velocidade de Tomás é

$$\begin{array}{rl}v& =\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}\\ & =0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,36\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Do banco, Tomás anda numa circunferência e, por isso, a barra precisa puxá-lo para o centro com a força centrípeta. O módulo dela F_cp é o módulo da força verde da barra (não contamos o atrito com o assento):

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{cp}}& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{30\mathrm{kg}\cdot (0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\mathrm{m}}\\ & =11,25{\pi }^2\mathrm{N}\approx 111\mathrm{N}\end{array}$$

Do gira-gira, Tomás está sentado parado. A força centrífuga o puxa para fora, pela mesma fórmula, de novo com 111 N, e a barra o segura para dentro com uma força de mesmo módulo. As forças estão em equilíbrio. A força centrífuga, porém, não é a reação à força da barra, as duas agem sobre Tomás. A reação é a puxada de Tomás na barra. As duas descrições concordam sobre o que Tomás realmente sente: nas mãos ele precisa aguentar cerca de 111 N, como se levantasse uma sacola de onze quilos. Omitimos as forças verticais, a força peso e a normal, porque se anulam.

E se Tomás se soltar? Assim que a barra deixa de puxar, nenhuma força horizontal age e o assento não o segura, porque desprezamos o atrito com o assento. Tomás, pela lei da inércia, segue em linha reta, ao longo da tangente à circunferência. Exatamente assim se comporta a pedra quando o barbante arrebenta. Do gira-gira parece diferente: Tomás se afasta do eixo e ao mesmo tempo fica para trás em relação à rotação. Essa curvatura, de dentro, é produzida por mais uma força de inércia, a de Coriolis, que no referencial que gira age sobre os corpos que nele se movem.

Quando usar qual descrição

As duas descrições estão corretas e chegam aos mesmos resultados. De fora, do referencial inercial, desenhamos só as forças reais e a resultante delas é $m\cdot \overrightarrow{a}$. De dentro acrescentamos a força de inércia e, quando o corpo está parado em relação ao veículo, a soma de todas as forças é nula. De dentro vale a pena calcular quando nos interessa como algo se comporta em relação ao veículo: como o macaquinho se inclina, quanto a balança mostra no elevador.

O problema surge quando as duas descrições são misturadas. Por exemplo, alguém desenha o carro na curva do ponto de vista da estrada e acrescenta ao atrito também a força centrífuga para fora. As forças então se anulam, a resultante sai nula e o carro, pela lei da inércia, andaria em linha reta, não numa circunferência. A força centrífuga não pertence à figura de fora. Pertence só a quem está sentado lá dentro e gira com os demais.

Com este artigo terminam os artigos expositivos da série sobre cinemática e dinâmica. Seguem os Exercícios resolvidos de cinemática e, depois deles, os de dinâmica.