Schijnkrachten

Noor reist met de trein naar Groningen en heeft aan een haakje bij het raam een pluchen aapje aan een touwtje gehangen. Als de trein stilstaat, hangt het aapje verticaal omlaag. Zodra de trein optrekt, zwaait het naar achteren, tegen de rijrichting in, en blijft schuin hangen zolang de trein versnelt. Wie heeft er tegenaan geduwd? Niemand. Het aapje kwam gewoon niet meteen met de wagon in beweging.

Als het referentiestelsel versnelt

Eerst kijken we ernaar vanaf het perron. De trein versnelt naar voren en het aapje zou volgens de traagheidswet het liefst blijven waar het is. Het haakje trekt het echter mee, het touwtje helt en begint het aapje naar voren te trekken. Alles klopt: het aapje versnelt, omdat er een resulterende kracht op werkt die niet nul is.

Noor ziet binnen in de wagon de situatie anders. Het aapje hangt ten opzichte van haar stil, maar schuin. Er werken een zwaartekracht omlaag en een kracht van het touwtje schuin omhoog en naar voren op. Die twee tellen niet op tot nul, het touwtje trekt immers een beetje naar voren en niets belet het daarin. Volgens de wetten van Newton zou het aapje naar voren in beweging moeten komen, en toch hangt het stil. In het referentiestelsel dat aan de versnellende trein vastzit, gelden de traagheidswet en de tweede wet van Newton hier niet.

Zo'n stelsel heet een niet-inertiaalstelsel. Daartoe behoort elk stelsel dat ten opzichte van een inertiaalstelsel, bijvoorbeeld ten opzichte van de aarde, die we als inertiaal beschouwen, versnelt: een trein of bus die optrekt of remt, een lift bij het wegrijden, een auto in een bocht, een draaimolen.

Traagheidskracht

Noor weet zich echter raad. Ze zal gewoon rekenen alsof er op elk voorwerp in de wagon nog een extra kracht werkt, die tegen de versnelling van de trein in wijst:

$$\overrightarrow{F_T}=-m\cdot \overrightarrow{a},$$

waarbij m de massa van het voorwerp is en $\overrightarrow{a}$ de versnelling van het referentiestelsel, hier van de trein. Deze kracht heet traagheidskracht. Het minteken betekent de tegengestelde richting: de trein trekt naar voren op, de traagheidskracht wijst naar achteren. Als Noor haar bij de andere krachten optelt, geven de krachten die op het aapje werken samen nul en gelden de eerste en de tweede wet van Newton in de wagon weer.

Wat de traagheidskracht beschrijft, kennen we uit eigen ervaring. Bij het optrekken “drukt” ze ons in de stoel, bij het remmen “gooit” ze ons naar voren in de gordels. Maar het is een heel bijzondere kracht.

Een kracht die niemand uitoefent

Alle krachten waarmee we tot nu toe rekenden, waren de werking van het ene voorwerp op het andere: het touwtje trekt aan het aapje, de aarde trekt het aapje aan. De traagheidskracht wordt door niets uitgeoefend. Probeer te zoeken wie het aapje naar achteren duwt. Je vindt niemand. Daarom heeft de traagheidskracht ook geen reactie. Volgens de derde wet van Newton zou de reactie moeten werken op de veroorzaker van de kracht, en er is geen veroorzaker.

De traagheidskracht is een hulpmiddel van de waarnemer die met het versnellende stelsel meerijdt. De waarnemer op het perron kan zonder haar en tekent haar niet in de afbeelding. Daarom heet ze ook schijnkracht. Dat betekent echter niet dat je niets voelt. De stoel duwt je bij het optrekken echt in de rug, maar dat is een echte kracht van de stoel, die je samen met de trein in beweging zet.

Het aapje van buiten en van binnen

Laten we uitrekenen over welke hoek het aapje zwaait als de trein optrekt met een versnelling van 0,8 m/s². Dat doen we meteen twee keer, een keer vanaf het perron en een keer vanuit de wagon.

Vanaf het perron. Op het aapje werken de zwaartekracht $\overrightarrow{F_z}$ en de kracht van het touwtje $\overrightarrow{F}$, die over een hoek α van de verticaal afwijkt. Het aapje trekt samen met de trein op, daarom is de resulterende kracht van beide volgens de tweede wet van Newton $m\cdot \overrightarrow{a}$ en ze wijst horizontaal naar voren. De kracht van het touwtje ontbinden we in twee componenten. De verticale compenseert de zwaartekracht, de horizontale vormt de resulterende kracht:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

Vanuit de wagon. Het aapje hangt in rust, de resulterende kracht is dus nul. Behalve de zwaartekracht en het touwtje werkt er nu ook een traagheidskracht met grootte m · a naar achteren op. De verticale component van de kracht van het touwtje compenseert de zwaartekracht, de horizontale de traagheidskracht:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

We kregen volkomen dezelfde vergelijkingen, we hebben ze alleen elke keer anders uitgelegd. Het product m · a was van buiten de resulterende kracht, van binnen de traagheidskracht. De tweede vergelijking delen we door de eerste. De massa en de kracht van het touwtje vallen weg en de verhouding van sinus en cosinus is de tangens:

$$\tan \alpha =\frac{a}{g}$$

We vullen in:

$$\tan \alpha =\frac{0,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \mathrm{0,082}$$

De hoek met tangens 0,082 vinden we op de rekenmachine met de toets tan⁻¹: α ≈ 4,7°. Het aapje wijkt een kleine vijf graden uit, de afbeelding overdrijft de hoek voor de leesbaarheid. Op de massa komt het niet aan, een zware rugzak zou aan het haakje precies zo uitzwaaien. Het werkt ook omgekeerd: wie de hoek meet, kan de versnelling van de trein bepalen. Een aapje aan een touwtje is een behoorlijk goede versnellingsmeter.

Een lift van binnenuit

In een lift die omhoog optrekt met een versnelling a, wijst de traagheidskracht omlaag, net als de zwaartekracht. De passagier binnen heeft het gevoel dat de aarde plotseling sterker trekt, alsof de valversnelling is gegroeid van g naar g + a. De tas in zijn hand lijkt zwaarder en de vloer moet harder duwen. Als de lift dan boven remt, wijst de versnelling omlaag, de traagheidskracht omhoog en neemt ze een stuk van het gewicht weg.

Als de lift zou losbreken en met versnelling g zou vallen, zou de traagheidskracht m · g omhoog de zwaartekracht precies opheffen en zou de passagier binnenin zweven. Van buiten is het hetzelfde gebeuren, het ziet er alleen anders uit: de passagier valt samen met de lift en de vloer duwt niet tegen hem.

Middelpuntvliedende kracht

De draaimolen draait, dus elk punt ervan heeft een middelpuntzoekende versnelling ω² · r naar het midden. De traagheidskracht wijst tegengesteld, dus naar buiten vanaf de as, en heet de middelpuntvliedende kracht:

$$F_{\mathrm{cf}}=m\cdot {\omega }^2\cdot r=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Bij een voorwerp dat met de draaimolen meedraait, is ze even groot als de middelpuntzoekende kracht, alleen wijst ze tegengesteld, en ze bestaat alleen in een stelsel dat draait. Juist dit bedoelen we in de gewone taal met de middelpuntvliedende kracht: wat in een bocht de passagier tegen het portier drukt. In de auto is het een redelijke beschrijving. Vanaf het trottoir ziet niemand echter een kracht naar buiten. Wie daar staat, ziet alleen het portier dat de passagier naar het midden van de bocht duwt en hem dwingt met de auto mee te draaien.

Thomas heeft een massa van 30 kg en zit op de draaimolen in de speeltuin, 1,5 m van de as. Hij houdt zich vast aan de beugel en zijn vader zet de draaimolen in beweging met een omwenteling per 4 s. Thomas' snelheid is

$$\begin{array}{rl}v& =\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}\\ & =0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,36\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Vanaf het bankje beweegt Thomas over een cirkel, en daarom moet de beugel hem met een middelpuntzoekende kracht naar het midden trekken. De grootte F_mpz ervan is de grootte van de groene kracht van de beugel (wrijving met het zitje tellen we niet):

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{mpz}}& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{30\mathrm{kg}\cdot (0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\mathrm{m}}\\ & =11,25{\pi }^2\mathrm{N}\approx 111\mathrm{N}\end{array}$$

Vanaf de draaimolen zit Thomas stil. Naar buiten trekt hem de middelpuntvliedende kracht, volgens dezelfde formule weer 111 N, en de beugel houdt hem met een even grote kracht naar binnen. De krachten zijn in evenwicht. De reactie op de kracht van de beugel is de middelpuntvliedende kracht echter niet, beide werken op Thomas. De reactie is Thomas' trekken aan de beugel. Beide beschrijvingen komen overeen in wat Thomas werkelijk voelt: in zijn handen moet hij ongeveer 111 N vasthouden, alsof hij een tas van elf kilo optilde. De verticale krachten, zwaartekracht en normaalkracht, hebben we weggelaten, omdat ze elkaar opheffen.

Wat als Thomas loslaat? Zodra de beugel ophoudt te trekken, werkt er geen horizontale kracht meer en het zitje houdt hem niet tegen, omdat we de wrijving met het zitje verwaarlozen. Thomas gaat volgens de traagheidswet rechtdoor, langs de raaklijn aan de cirkel. Precies zo gedraagt de steen zich als het touwtje knapt. Vanaf de draaimolen ziet het er anders uit: Thomas verwijdert zich van de as en blijft tegelijk achter bij het draaien. Van binnenuit gezien zorgt nog een traagheidskracht voor dat afbuigen, de corioliskracht, die in een draaiend stelsel werkt op voorwerpen die erin bewegen.

Welke beschrijving je wanneer gebruikt

Beide beschrijvingen zijn juist en komen tot dezelfde resultaten. Van buiten, vanuit het inertiaalstelsel, tekenen we alleen echte krachten en hun resulterende kracht is $m\cdot \overrightarrow{a}$. Van binnen voegen we de traagheidskracht toe, en als het voorwerp ten opzichte van het voertuig in rust is, is de som van alle krachten nul. Van binnen loont het te rekenen als we willen weten hoe iets zich gedraagt ten opzichte van het voertuig: hoe het aapje uitzwaait, hoeveel de weegschaal in de lift aangeeft.

Het probleem ontstaat als beide beschrijvingen worden gemengd. Iemand tekent bijvoorbeeld een auto in een bocht vanuit het gezichtspunt van de weg en voegt bij de wrijving ook de middelpuntvliedende kracht naar buiten toe. De krachten heffen elkaar dan op, de resulterende kracht komt nul uit en de auto zou volgens de traagheidswet rechtdoor rijden, niet langs een cirkel. De middelpuntvliedende kracht hoort niet in een tekening van buiten. Ze hoort alleen bij wie erin zit en met de anderen meedraait.

Met dit artikel eindigt de reeks uitleggende artikelen over kinematica en dynamica. Hierna volgen Opgaven kinematica met uitwerkingen en vervolgens opgaven over dynamica.