Αδρανειακές δυνάμεις

Η Νεφέλη ταξιδεύει με το τρένο για τη Θεσσαλονίκη και στο γαντζάκι δίπλα στο παράθυρο έχει κρεμάσει με ένα κορδόνι μια λούτρινη μαϊμού. Όταν το τρένο στέκεται, η μαϊμού κρέμεται κατακόρυφα προς τα κάτω. Μόλις το τρένο ξεκινήσει, γέρνει προς τα πίσω, αντίθετα προς την κατεύθυνση της κίνησης, και μένει λοξή όσο το τρένο επιταχύνεται. Ποιος την έσπρωξε; Κανένας. Η μαϊμού απλώς δεν ξεκίνησε αμέσως μαζί με το βαγόνι.

Όταν το σύστημα αναφοράς επιταχύνεται

Ας το δούμε πρώτα από την αποβάθρα. Το τρένο επιταχύνεται προς τα εμπρός και η μαϊμού, σύμφωνα με τον νόμο της αδράνειας, θα προτιμούσε να μείνει εκεί που είναι. Το γαντζάκι όμως την τραβάει μαζί του, το κορδόνι γέρνει και αρχίζει να τραβάει τη μαϊμού προς τα εμπρός. Όλα ταιριάζουν: η μαϊμού επιταχύνεται, γιατί ασκείται σε αυτήν μη μηδενική συνισταμένη δύναμη.

Η Νεφέλη μέσα στο βαγόνι βλέπει την κατάσταση αλλιώς. Η μαϊμού ως προς αυτήν κρέμεται ακίνητη, αλλά λοξά. Ασκούνται σε αυτήν το βάρος προς τα κάτω και η δύναμη του κορδονιού πλάγια προς τα πάνω και προς τα εμπρός. Αυτές οι δύο δεν αθροίζονται σε μηδέν, γιατί το κορδόνι τραβάει λίγο προς τα εμπρός και τίποτα δεν το εμποδίζει. Σύμφωνα με τους νόμους του Νεύτωνα η μαϊμού θα έπρεπε να ξεκινήσει προς τα εμπρός, κι όμως κρέμεται ακίνητη. Στο σύστημα αναφοράς που συνδέεται με το επιταχυνόμενο τρένο δεν ισχύουν ούτε ο νόμος της αδράνειας ούτε ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα.

Ένα τέτοιο σύστημα λέγεται μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Σε αυτά ανήκει κάθε σύστημα που ως προς ένα αδρανειακό σύστημα, για παράδειγμα ως προς τη Γη, που τη θεωρούμε αδρανειακή, επιταχύνεται: ένα τρένο ή λεωφορείο που ξεκινά ή φρενάρει, ένας ανελκυστήρας στην εκκίνηση, ένα αυτοκίνητο στη στροφή, ένα περιστρεφόμενο καρουζέλ.

Αδρανειακή δύναμη

Η Νεφέλη όμως ξέρει να τα βγάζει πέρα. Απλώς θα υπολογίζει σαν να ασκείται σε κάθε σώμα μέσα στο βαγόνι και μία ακόμη δύναμη, που κατευθύνεται αντίθετα προς την επιτάχυνση του τρένου:

$$\overrightarrow{F_{\mathrm{\alpha }\mathrm{\delta }\mathrm{\rho }}}=-m\cdot \overrightarrow{\alpha },$$

όπου m είναι η μάζα του σώματος και $\overrightarrow{\alpha }$ η επιτάχυνση του συστήματος αναφοράς, εδώ του τρένου. Αυτή η δύναμη λέγεται αδρανειακή δύναμη. Το πρόσημο μείον δείχνει αντίθετη κατεύθυνση: το τρένο ξεκινά προς τα εμπρός, η αδρανειακή δύναμη κατευθύνεται προς τα πίσω. Αν η Νεφέλη την προσθέσει στις άλλες δυνάμεις, οι δυνάμεις που ασκούνται στη μαϊμού δίνουν μαζί μηδέν και ο πρώτος και ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα ισχύουν πάλι μέσα στο βαγόνι.

Αυτό που περιγράφει η αδρανειακή δύναμη το ξέρουμε από πρώτο χέρι. Στην εκκίνηση μας «κολλάει» στο κάθισμα, στο φρενάρισμα μας «πετάει» προς τα εμπρός στις ζώνες. Πρόκειται όμως για μια πολύ περίεργη δύναμη.

Μια δύναμη που δεν την ασκεί κανείς

Όλες οι δυνάμεις με τις οποίες υπολογίζαμε μέχρι τώρα ήταν επίδραση ενός σώματος σε άλλο: το κορδόνι τραβάει τη μαϊμού, η Γη έλκει τη μαϊμού. Την αδρανειακή δύναμη δεν την ασκεί τίποτα. Δοκίμασε να βρεις ποιος σπρώχνει τη μαϊμού προς τα πίσω. Δεν θα βρεις κανέναν. Γι' αυτό η αδρανειακή δύναμη δεν έχει ούτε αντίδραση. Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα η αντίδραση θα έπρεπε να ασκείται στο σώμα που ασκεί τη δύναμη, και τέτοιο σώμα δεν υπάρχει.

Η αδρανειακή δύναμη είναι βοήθημα του παρατηρητή που μετακινείται μαζί με το επιταχυνόμενο σύστημα. Ο παρατηρητής στην αποβάθρα τα βγάζει πέρα χωρίς αυτήν και δεν τη σχεδιάζει στο σχήμα. Γι' αυτό λέγεται και φαινομενική δύναμη. Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι δεν νιώθεις τίποτα. Το κάθισμα σε σπρώχνει πραγματικά στην πλάτη κατά την εκκίνηση, αλλά αυτή είναι η πραγματική δύναμη του καθίσματος, που σε επιταχύνει μαζί με το τρένο.

Η μαϊμού απ' έξω και από μέσα

Ας υπολογίσουμε κατά ποια γωνία γέρνει η μαϊμού όταν το τρένο ξεκινά με επιτάχυνση 0,8 m/s². Θα το κάνουμε δύο φορές, μία από την αποβάθρα και μία από το βαγόνι.

Από την αποβάθρα. Στη μαϊμού ασκούνται το βάρος $\overrightarrow{B}$ και η δύναμη του κορδονιού $\overrightarrow{F}$, που αποκλίνει από την κατακόρυφο κατά γωνία θ. Η μαϊμού ξεκινά μαζί με το τρένο, γι' αυτό η συνισταμένη των δύο δυνάμεων είναι σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα $m\cdot \overrightarrow{\alpha }$ και κατευθύνεται οριζόντια προς τα εμπρός. Αναλύουμε τη δύναμη του κορδονιού σε δύο συνιστώσες. Η κατακόρυφη εξισορροπεί το βάρος, η οριζόντια αποτελεί τη συνισταμένη:

$$F\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\theta =m\cdot g,F\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\theta =m\cdot \alpha$$

Από το βαγόνι. Η μαϊμού κρέμεται ακίνητη, άρα η συνισταμένη είναι μηδέν. Εκτός από το βάρος και το κορδόνι ασκείται σε αυτήν τώρα και η αδρανειακή δύναμη μέτρου m · α προς τα πίσω. Η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης του κορδονιού εξισορροπεί το βάρος, η οριζόντια την αδρανειακή:

$$F\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\theta =m\cdot g,F\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\theta =m\cdot \alpha$$

Βρήκαμε απολύτως τις ίδιες εξισώσεις, μόνο που κάθε φορά τις ερμηνεύσαμε αλλιώς. Το γινόμενο m · α ήταν απ' έξω συνισταμένη, από μέσα αδρανειακή δύναμη. Διαιρούμε τη δεύτερη εξίσωση με την πρώτη. Η μάζα και η δύναμη του κορδονιού απλοποιούνται και το πηλίκο ημιτόνου και συνημιτόνου είναι η εφαπτομένη:

$$\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }\theta =\frac{\alpha }{g}$$

Αντικαθιστούμε:

$$\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }\theta =\frac{0,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \mathrm{0,082}$$

Τη γωνία με εφαπτομένη 0,082 τη βρίσκουμε στο κομπιουτεράκι με το πλήκτρο tan⁻¹: θ ≈ 4,7°. Η μαϊμού γέρνει λιγότερο από πέντε μοίρες, στο σχήμα η γωνία είναι μεγαλύτερη, για να φαίνεται καθαρά. Από τη μάζα δεν εξαρτάται, ένα βαρύ σακίδιο στο γαντζάκι θα γερνούσε ακριβώς το ίδιο. Λειτουργεί και αντίστροφα: όποιος μετρήσει τη γωνία, βρίσκει την επιτάχυνση του τρένου. Η μαϊμού στο κορδόνι είναι ένα αρκετά καλό όργανο μέτρησης της επιτάχυνσης.

Ο ανελκυστήρας από μέσα

Σε έναν ανελκυστήρα που ξεκινά προς τα πάνω με επιτάχυνση α, η αδρανειακή δύναμη κατευθύνεται προς τα κάτω, όπως και το βάρος. Στον επιβάτη μέσα φαίνεται ότι η Γη ξαφνικά έλκει πιο δυνατά, σαν να αυξήθηκε η επιτάχυνση της βαρύτητας από g σε g + α. Η τσάντα στο χέρι φαίνεται βαρύτερη και το δάπεδο πρέπει να πιέζει περισσότερο. Όταν ο ανελκυστήρας φρενάρει πριν από τον επάνω όροφο, η επιτάχυνση κατευθύνεται προς τα κάτω, η αδρανειακή δύναμη προς τα πάνω και αφαιρεί ένα κομμάτι από το φαινόμενο βάρος (τη δύναμη με την οποία το σώμα πιέζει το δάπεδο).

Αν κοβόταν το συρματόσχοινο και ο ανελκυστήρας έπεφτε με επιτάχυνση g, η αδρανειακή δύναμη m · g προς τα πάνω θα εξουδετέρωνε ακριβώς το βάρος και ο επιβάτης θα αιωρούνταν μέσα. Απ' έξω είναι το ίδιο φαινόμενο, μόνο που φαίνεται διαφορετικά: ο επιβάτης πέφτει μαζί με τον ανελκυστήρα και το δάπεδο δεν τον πιέζει.

Φυγόκεντρος δύναμη

Το καρουζέλ περιστρέφεται, άρα κάθε σημείο του έχει κεντρομόλο επιτάχυνση ω² · R προς το κέντρο. Η αδρανειακή δύναμη κατευθύνεται αντίθετα, δηλαδή προς τα έξω από τον άξονα, και λέγεται φυγόκεντρος δύναμη:

$$F_{\mathrm{\phi }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\gamma }}=m\cdot {\omega }^2\cdot R=\frac{m\cdot {\upsilon }^2}{R}$$

Για ένα σώμα που περιστρέφεται μαζί με το καρουζέλ είναι ίση με την κεντρομόλο δύναμη, μόνο που κατευθύνεται αντίθετα, και υπάρχει μόνο στο σύστημα που περιστρέφεται. Αυτό ακριβώς εννοούμε στην καθημερινή γλώσσα με τη φυγόκεντρο δύναμη: αυτό που στη στροφή κολλάει τον επιβάτη στην πόρτα. Μέσα στο αυτοκίνητο είναι λογική περιγραφή. Από το πεζοδρόμιο όμως καμία δύναμη προς τα έξω δεν φαίνεται. Φαίνεται μόνο η πόρτα που σπρώχνει τον επιβάτη προς το κέντρο της στροφής και τον αναγκάζει να στρίβει μαζί με το αυτοκίνητο.

Ο Θωμάς έχει μάζα 30 kg και κάθεται στο καρουζέλ μιας παιδικής χαράς, σε απόσταση 1,5 m από τον άξονα. Κρατιέται από τη λαβή και ο μπαμπάς του περιστρέφει το καρουζέλ με μία στροφή ανά 4 s. Η ταχύτητα του Θωμά είναι

$$\begin{array}{rl}\upsilon & =\frac{2\pi \cdot R}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}\\ & =0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,36\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Από το παγκάκι ο Θωμάς κινείται σε κύκλο και γι' αυτό η λαβή πρέπει να τον τραβάει προς το κέντρο με κεντρομόλο δύναμη. Το μέτρο της F_κ είναι το μέτρο της πράσινης δύναμης της λαβής (την τριβή με το κάθισμα δεν την υπολογίζουμε):

$$\begin{array}{rl}{F}_{\kappa }& =\frac{m\cdot {\upsilon }^2}{R}=\frac{30\mathrm{kg}\cdot (0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\mathrm{m}}\\ & =11,25{\pi }^2\mathrm{N}\approx 111\mathrm{N}\end{array}$$

Από το καρουζέλ ο Θωμάς κάθεται ακίνητος. Προς τα έξω τον τραβάει η φυγόκεντρος δύναμη, σύμφωνα με τον ίδιο τύπο πάλι 111 N, και η λαβή τον κρατά προς τα μέσα με ίση δύναμη. Οι δυνάμεις ισορροπούν. Αντίδραση στη δύναμη της λαβής όμως η φυγόκεντρος δύναμη δεν είναι, και οι δύο ασκούνται στον Θωμά. Αντίδραση είναι η δύναμη με την οποία ο Θωμάς τραβάει τη λαβή. Και οι δύο περιγραφές συμφωνούν σε ό,τι πραγματικά νιώθει ο Θωμάς: στα χέρια του πρέπει να κρατά περίπου 111 N, σαν να σήκωνε μια τσάντα έντεκα κιλών. Τις κατακόρυφες δυνάμεις, το βάρος και την κάθετη δύναμη, τις παραλείψαμε, γιατί αλληλοαναιρούνται.

Τι γίνεται αν ο Θωμάς αφήσει τη λαβή; Μόλις η λαβή πάψει να τραβάει, δεν ασκείται καμία οριζόντια δύναμη και το κάθισμα δεν τον κρατά, γιατί την τριβή με το κάθισμα την αγνοούμε. Ο Θωμάς σύμφωνα με τον νόμο της αδράνειας συνεχίζει ευθεία, κατά την εφαπτομένη του κύκλου. Ακριβώς έτσι συμπεριφέρεται η πέτρα όταν σπάσει το σχοινί. Από το καρουζέλ φαίνεται αλλιώς: ο Θωμάς απομακρύνεται από τον άξονα και ταυτόχρονα μένει πίσω από την περιστροφή. Αυτή την καμπύλη τροχιά, όπως φαίνεται από μέσα, την εξηγεί μια ακόμη αδρανειακή δύναμη, η δύναμη Coriolis, που στο περιστρεφόμενο σύστημα ασκείται στα σώματα που κινούνται μέσα σε αυτό.

Πότε χρησιμοποιούμε ποια περιγραφή

Και οι δύο περιγραφές είναι σωστές και καταλήγουν στα ίδια αποτελέσματα. Απ' έξω, από αδρανειακό σύστημα, σχεδιάζουμε μόνο τις πραγματικές δυνάμεις και η συνισταμένη τους είναι $m\cdot \overrightarrow{\alpha }$. Από μέσα προσθέτουμε την αδρανειακή δύναμη και, όταν το σώμα είναι ακίνητο ως προς το όχημα, το άθροισμα όλων των δυνάμεων είναι μηδέν. Από μέσα συμφέρει να υπολογίζουμε όταν μας ενδιαφέρει πώς συμπεριφέρεται κάτι ως προς το όχημα: πόσο γέρνει η μαϊμού, τι δείχνει η ζυγαριά στον ανελκυστήρα.

Το πρόβλημα ξεκινά όταν οι δύο περιγραφές ανακατεύονται. Ας πούμε ότι κάποιος σχεδιάζει το αυτοκίνητο στη στροφή από την οπτική του δρόμου και εκτός από την τριβή προσθέτει και φυγόκεντρο δύναμη προς τα έξω. Οι δυνάμεις τότε αλληλοαναιρούνται, η συνισταμένη βγαίνει μηδέν και το αυτοκίνητο, σύμφωνα με τον νόμο της αδράνειας, θα πήγαινε ευθεία και όχι σε κύκλο. Η φυγόκεντρος δύναμη δεν έχει θέση στο σχήμα απ' έξω. Ανήκει μόνο σε αυτόν που κάθεται μέσα και περιστρέφεται μαζί με τους άλλους.

Με αυτό το άρθρο τελειώνει η σειρά των θεωρητικών άρθρων για την κινηματική και τη δυναμική. Ακολουθούν οι Λυμένες ασκήσεις κινηματικής και μετά από αυτές οι ασκήσεις δυναμικής.