Tehetetlenségi erők

Nóra vonattal utazik Miskolcra, és az ablaknál lévő kampóra zsinórral felakasztott egy plüssmajmot. Amíg a vonat áll, a majom függőlegesen lóg. Amint a vonat elindul, hátrafelé kitér, a menetiránnyal szemben, és ferdén marad, amíg a vonat gyorsul. Ki lökte meg? Senki. A majom egyszerűen nem indult el azonnal a kocsival.

Amikor a vonatkoztatási rendszer gyorsul

Nézzük előbb a peronról. A vonat előrefelé gyorsul, a majom pedig a tehetetlenség törvénye szerint legszívesebben ott maradna, ahol van. A kampó azonban viszi magával, a zsinór megdől, és elkezdi a majmot előrehúzni. Minden összeillik: a majom gyorsul, mert nem nulla eredő erő hat rá.

Nóra a kocsi belsejében másképp látja a helyzetet. A majom hozzá képest nyugalomban van, csak ferdén. Rá a nehézségi erő hat lefelé, és a zsinór ereje ferdén felfelé és előre. Ez a kettő nem ad nullát, a zsinór ugyanis egy kicsit előre húz, és semmi sem akadályozza ebben. Newton törvényei szerint a majomnak el kellene indulnia előre, mégis nyugalomban lóg. A gyorsuló vonathoz kötött vonatkoztatási rendszerben sem a tehetetlenség törvénye, sem Newton második törvénye nem érvényes.

Az ilyen rendszert nem inerciális vonatkoztatási rendszernek hívjuk. Ide tartozik minden olyan rendszer, amely egy inerciarendszerhez képest, például a Földhöz képest, amelyet inerciarendszernek tekintünk, gyorsul: az induló vagy fékező vonat vagy busz, az induló lift, a kanyarban lévő autó, a körhinta.

Tehetetlenségi erő

Nóra azonban tudja, mit kell tenni. Egyszerűen úgy számol, mintha a kocsiban lévő minden testre még egy erő hatna, amely a vonat gyorsulásával ellentétes irányba mutat:

$$\overrightarrow{F_{\mathrm{teh}}}=-m\cdot \overrightarrow{a},$$

ahol m a test tömege, $\overrightarrow{a}$ pedig a vonatkoztatási rendszer gyorsulása, itt a vonaté. Ezt az erőt hívjuk tehetetlenségi erőnek. A mínuszjel ellentétes irányt jelent: a vonat előre indul, a tehetetlenségi erő hátrafelé mutat. Ha Nóra ezt hozzáadja a többi erőhöz, a majomra ható erők összege nulla, és Newton első és második törvénye a kocsiban újra érvényes.

Hogy mit ír le a tehetetlenségi erő, azt a saját bőrünkön ismerjük. Induláskor „belenyom” az ülésbe, fékezéskor előre „dob” a biztonsági övbe. Csakhogy ez egy igencsak furcsa erő.

Az erő, amelyet senki sem fejt ki

Az összes erő, amellyel eddig számoltunk, az egyik test hatása volt a másikra: a zsinór húzza a majmot, a Föld vonzza a majmot. A tehetetlenségi erőt semmi sem fejti ki. Próbáld megkeresni, ki tolja hátrafelé a majmot. Nem találsz senkit. Ezért a tehetetlenségi erőnek nincs ellenereje sem. Newton harmadik törvénye szerint az ellenerőnek az erő létrehozójára kellene hatnia, és nincs létrehozó.

A tehetetlenségi erő a gyorsuló rendszerrel együtt utazó megfigyelő segédeszköze. A peronon álló megfigyelő nélküle is boldogul, és nem rajzolja be az ábrájába. Ezért látszólagos erőnek is hívják. Ez azonban nem azt jelenti, hogy semmit sem érzel. Az ülés induláskor valóban nyomja a hátadat, de az az ülés valódi ereje, amely a vonattal együtt indít el téged.

A majom kívülről és belülről

Számoljuk ki, mekkora szöggel hajlik el a majom, amikor a vonat 0,8 m/s² gyorsulással indul. Rögtön kétszer számoljuk, egyszer a peronról, egyszer a kocsiból.

A peronról. A majomra az $\overrightarrow{F_g}$ nehézségi erő és az $\overrightarrow{F}$ zsinórerő hat, amely az α szöggel hajlik el a függőlegestől. A majom a vonattal együtt gyorsul, ezért a két erő eredője Newton második törvénye szerint $m\cdot \overrightarrow{a}$, és vízszintesen előre mutat. A zsinórerőt két összetevőre bontjuk. A függőleges kiegyenlíti a nehézségi erőt, a vízszintes adja az eredőt:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

A kocsiból. A majom nyugalomban lóg, az eredő tehát nulla. A nehézségi erőn és a zsinóron kívül most egy m · a nagyságú tehetetlenségi erő is hat rá hátrafelé. A zsinórerő függőleges összetevője kiegyenlíti a nehézségi erőt, a vízszintes a tehetetlenségi erőt:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

Pontosan ugyanazokat az egyenleteket kaptuk, csak mindig másképp értelmeztük őket. Az m · a szorzat kívülről az eredő volt, belülről a tehetetlenségi erő. A második egyenletet elosztjuk az elsővel. A tömeg és a zsinórerő kiesik, a szinusz és a koszinusz hányadosa pedig a tangens:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{g}$$

Behelyettesítünk:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{0,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \mathrm{0,082}$$

Azt a szöget, amelynek a tangense 0,082, a számológépen a tan⁻¹ gombbal találjuk meg: α ≈ 4,7°. A majom nem egészen öt fokkal tér ki, az ábra az olvashatóság kedvéért eltúlozza a szöget. A tömeg nem számít, egy nehéz hátizsák is pontosan ugyanígy kitérne a kampón. Fordítva is működik: aki megméri a szöget, megtudja a vonat gyorsulását. A zsinóron lógó majom egész tisztességes gyorsulásmérő.

A lift belülről

Egy felfelé induló liftben, amely a gyorsulással indul, a tehetetlenségi erő lefelé mutat, ugyanúgy, mint a nehézségi erő. A bent utazónak úgy tűnik, hogy a Föld hirtelen erősebben vonz, mintha a nehézségi gyorsulás g értékről g + a értékre nőtt volna. A kezében lévő táska nehezebbnek tűnik, és a padlónak erősebben kell nyomnia. Amikor aztán a lift fent fékez, a gyorsulás lefelé mutat, a tehetetlenségi erő felfelé, és lefaragja a súly egy részét.

Ha a lift kötele elszakadna, és a lift g gyorsulással zuhanna, a felfelé mutató m · g tehetetlenségi erő pontosan kioltaná a nehézségi erőt, és az utas lebegne bent. Kívülről ez ugyanaz a jelenség, csak másként néz ki: az utas a lifttel együtt zuhan, és a padló nem nyomja.

Centrifugális erő

A körhinta forog, ezért minden pontjának ω² · r centripetális gyorsulása van a középpont felé. A tehetetlenségi erő ellenkező irányba, a tengelytől kifelé mutat, és centrifugális erőnek hívjuk:

$$F_{\mathrm{cf}}=m\cdot {\omega }^2\cdot r=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

A körhintával együtt forgó testnél ugyanakkora, mint a centripetális erő, csak ellenkező irányú, és csak a forgó rendszerben létezik. A hétköznapi beszédben éppen ezt értjük centrifugális erőn: azt, ami a kanyarban az utast az ajtóhoz nyomja. Az autó belsejében ez ésszerű leírás. A járdáról viszont senki sem lát kifelé ható erőt. Csak az ajtót látja, amely az utast a kanyar középpontja felé tolja, és kanyarodásra kényszeríti az autóval együtt.

Tamás 30 kg tömegű, és a játszótér körhintáján ül, a tengelytől 1,5 m távolságban. Kapaszkodik a fogantyúba, az apja pedig megpörgeti a körhintát úgy, hogy egy fordulat 4 s alatt legyen meg. Tamás sebessége

$$\begin{array}{rl}v& =\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}\\ & =0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,36\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

A padról nézve Tamás körpályán megy, ezért a fogantyúnak kell őt a középpont felé húznia centripetális erővel. Ennek nagysága, F_cp, a zöld fogantyúerő nagysága (az ülésen fellépő súrlódást nem számoljuk):

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{cp}}& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{30\mathrm{kg}\cdot (0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\mathrm{m}}\\ & =11,25{\pi }^2\mathrm{N}\approx 111\mathrm{N}\end{array}$$

A körhintáról Tamás nyugalomban ül. Kifelé a centrifugális erő húzza, ugyanazzal a képlettel megint 111 N, a fogantyú pedig ugyanekkora erővel tartja befelé. Az erők egyensúlyban vannak. A centrifugális erő viszont nem a fogantyúerő ellenereje, mindkettő Tamásra hat. Az ellenerő az az erő, amellyel Tamás a fogantyút húzza. A két leírás megegyezik abban, mit érez valójában Tamás: a kezében körülbelül 111 N erőt kell megtartania, mintha egy tizenegykilós táskát emelne. A függőleges erőket, a nehézségi erőt és a tartóerőt kihagytuk, mert kioltják egymást.

Mi van, ha Tamás elengedi? Amint a fogantyú már nem húz, semmilyen vízszintes erő nem hat, és az ülés nem tartja meg, mert az ülésen a súrlódást elhanyagoljuk. Tamás a tehetetlenség törvénye szerint egyenesen megy tovább, a körre húzott érintő mentén. Pontosan így viselkedik a kő, amikor elszakad a madzag. A körhintáról ez másképp néz ki: Tamás távolodik a tengelytől, és közben lemarad a forgásról. Ezt az elfordulást belülről még egy tehetetlenségi erő okozza, a Coriolis-erő, amely a forgó rendszerben a benne mozgó testekre hat.

Mikor melyik leírást használjuk

Mindkét leírás helyes, és ugyanarra az eredményre jut. Kívülről, az inerciarendszerből csak valódi erőket rajzolunk, és az eredőjük $m\cdot \overrightarrow{a}$. Belülről hozzáadjuk a tehetetlenségi erőt, és ha a test a járműhöz képest nyugalomban van, az összes erő összege nulla. Belülről akkor érdemes számolni, ha az érdekel minket, hogyan viselkedik valami a járműhöz képest: hogyan tér ki a majom, mennyit mutat a mérleg a liftben.

Gond akkor lesz, ha a két leírást összekeverjük. Például valaki az út széléről nézve rajzolja le a kanyarban lévő autót, és a súrlódás mellé a kifelé ható centrifugális erőt is felrajzolja. Az erők kioltják egymást, az eredő nulla, és az autó a tehetetlenség törvénye szerint egyenesen menne, nem körpályán. A centrifugális erő nem való a kívülről készült ábrába. Csak annak való, aki bent ül, és a többiekkel együtt forog.

Ezzel a cikkel véget ér a kinematikáról és dinamikáról szóló magyarázó cikkek sorozata. A következő, Megoldott kinematikai feladatok című cikk után a dinamikai feladatok jönnek.