Forțele de inerție

Ilinca merge cu trenul spre Brașov și a atârnat de un cârlig de lângă geam o maimuță de pluș, legată de o ață. Cât timp trenul stă, maimuța atârnă vertical în jos. De îndată ce trenul pornește, ea se înclină înapoi, împotriva sensului de mers, și rămâne agățată oblic cât timp trenul accelerează. Cine a împins-o? Nimeni. Maimuța pur și simplu nu a pornit imediat odată cu vagonul.

Când sistemul de referință accelerează

Să privim mai întâi situația de pe peron. Trenul accelerează înainte, iar maimuța, conform principiului inerției, ar prefera să rămână pe loc. Cârligul o trage însă după el, ața se înclină și începe să tragă maimuța înainte. Totul se leagă: maimuța accelerează, pentru că asupra ei acționează o forță rezultantă nenulă.

Ilinca din interiorul vagonului vede situația altfel. Față de ea, maimuța atârnă în repaus, dar oblic. Asupra ei acționează greutatea în jos și forța din ață oblic în sus și înainte. Cele două nu se adună la zero, pentru că ața trage puțin înainte și nimic nu o împiedică. Conform legilor lui Newton, maimuța ar trebui să pornească înainte, și totuși atârnă în repaus. În sistemul de referință legat de trenul care accelerează nu sunt valabile nici principiul inerției, nici principiul fundamental al dinamicii (a doua lege a lui Newton).

Un asemenea sistem se numește sistem de referință neinerțial. Aici intră orice sistem care accelerează față de un sistem inerțial, de pildă față de Pământ, pe care îl luăm drept inerțial: un tren sau un autobuz care pornește sau frânează, un lift la pornire, o mașină în curbă, un carusel.

Forța de inerție

Ilinca știe însă să se descurce. Va calcula pur și simplu ca și cum asupra fiecărui corp din vagon ar acționa încă o forță în plus, îndreptată împotriva accelerației trenului:

$$\overrightarrow{F_i}=-m\cdot \overrightarrow{a},$$

unde m este masa corpului, iar $\overrightarrow{a}$ este accelerația sistemului de referință, aici a trenului. Această forță se numește forță de inerție. Semnul minus înseamnă sens opus: trenul pornește înainte, forța de inerție este îndreptată înapoi. Dacă Ilinca o adaugă la celelalte forțe, forțele care acționează asupra maimuței dau împreună zero, iar principiul inerției și principiul fundamental al dinamicii sunt din nou valabile în vagon.

Ce descrie forța de inerție, știm pe propria piele. La pornire ne „lipește” de scaun, la frânare ne „aruncă” înainte în centuri. Este însă o forță cu totul ciudată.

O forță pe care nimeni nu o exercită

Toate forțele cu care am calculat până acum erau acțiunea unui corp asupra altuia: ața trage de maimuță, Pământul atrage maimuța. Forța de inerție nu o exercită nimic. Încearcă să cauți cine împinge maimuța înapoi. Nu vei găsi pe nimeni. De aceea forța de inerție nu are nici reacțiune. Conform principiului acțiunii și reacțiunii (a treia lege a lui Newton), reacțiunea ar trebui să acționeze asupra corpului care exercită forța, iar un asemenea corp nu există.

Forța de inerție este un instrument ajutător pentru observatorul care se deplasează odată cu sistemul care accelerează. Observatorul de pe peron se descurcă fără ea și nu o desenează în figură. De aceea se mai numește forță aparentă. Asta nu înseamnă însă că nu simți nimic. Scaunul te împinge într-adevăr în spate la pornire, dar aceea este forța reală a scaunului, care te pune în mișcare odată cu trenul.

Maimuța din exterior și din interior

Să calculăm cu ce unghi se înclină maimuța când trenul pornește cu accelerația de 0,8 m/s². O facem chiar de două ori, o dată de pe peron și o dată din vagon.

De pe peron. Asupra maimuței acționează greutatea $\overrightarrow{G}$ și forța din ață $\overrightarrow{F}$, care este înclinată față de verticală cu unghiul α. Maimuța pornește odată cu trenul, de aceea rezultanta celor două forțe este, conform principiului fundamental al dinamicii, $m\cdot \overrightarrow{a}$ și este îndreptată orizontal înainte. Descompunem forța din ață în două componente. Cea verticală echilibrează greutatea, cea orizontală formează rezultanta:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

Din vagon. Maimuța atârnă în repaus, deci rezultanta este nulă. În afară de greutate și de ață, asupra ei acționează acum și forța de inerție de mărime m · a, îndreptată înapoi. Componenta verticală a forței din ață echilibrează greutatea, cea orizontală pe cea de inerție:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

Am obținut exact aceleași ecuații, doar că le-am interpretat de fiecare dată altfel. Produsul m · a a fost din exterior rezultanta, din interior forța de inerție. Împărțim a doua ecuație la prima. Masa și forța din ață se simplifică, iar raportul dintre sinus și cosinus este tangenta:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{g}$$

Înlocuim:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{0,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \mathrm{0,082}$$

Unghiul a cărui tangentă este 0,082 îl găsim pe calculator cu tasta tan⁻¹: α ≈ 4,7°. Maimuța se înclină cu puțin sub cinci grade, figura exagerează unghiul ca să fie lizibil. Masa nu contează, un rucsac greu atârnat de cârlig s-ar înclina exact la fel. Funcționează și invers: cine măsoară unghiul află accelerația trenului. Maimuța de pe ață este un accelerometru destul de bun.

Liftul din interior

Într-un lift care pornește în sus cu accelerația a, forța de inerție este îndreptată în jos, la fel ca greutatea. Pasagerului dinăuntru i se pare că Pământul atrage deodată mai tare, ca și cum accelerația gravitațională ar fi crescut de la g la g + a. Sacoșa din mână pare mai grea, iar podeaua trebuie să apese mai mult. Când apoi liftul frânează sus, accelerația este îndreptată în jos, forța de inerție în sus și scade din forța de apăsare.

Dacă s-ar rupe cablul și liftul ar cădea cu accelerația g, forța de inerție m · g în sus ar anula exact greutatea, iar pasagerul ar pluti înăuntru. Din exterior este același fenomen, doar că arată altfel: pasagerul cade odată cu liftul, iar podeaua nu apasă pe el.

Forța centrifugă

Caruselul se rotește, deci fiecare punct al lui are accelerația centripetă ω² · r spre centru. Forța de inerție este îndreptată invers, adică dinspre axă spre exterior, și se numește forță centrifugă:

$$F_{\mathrm{cf}}=m\cdot {\omega }^2\cdot r=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

La un corp care se rotește odată cu caruselul este la fel de mare ca forța centripetă, doar că este îndreptată invers, și există numai în sistemul care se rotește. Tocmai la asta ne referim în vorbirea obișnuită când spunem forță centrifugă: ceea ce în curbă lipește pasagerul de portieră. În interiorul mașinii este o descriere rezonabilă. De pe trotuar însă nimeni nu vede nicio forță spre exterior. Vede doar portiera, care împinge pasagerul spre centrul curbei și îl silește să vireze odată cu mașina.

Matei are 30 kg și stă pe un carusel de la locul de joacă, la 1,5 m de axă. Se ține de bară, iar tata învârte caruselul, care face o rotație în 4 s. Viteza lui Matei este

$$\begin{array}{rl}v& =\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}\\ & =0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,36\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

De pe bancă Matei merge pe un cerc, iar bara trebuie de aceea să-l tragă spre centru cu forța centripetă. Mărimea ei F_cp este mărimea forței verzi a barei (frecarea cu scaunul nu o luăm în calcul):

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{cp}}& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{30\mathrm{kg}\cdot (0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\mathrm{m}}\\ & =11,25{\pi }^2\mathrm{N}\approx 111\mathrm{N}\end{array}$$

De pe carusel Matei stă în repaus. În afară îl trage forța centrifugă, după aceeași formulă din nou 111 N, iar bara îl ține spre interior cu o forță la fel de mare. Forțele sunt în echilibru. Forța centrifugă nu este însă reacțiunea forței barei, ambele acționează asupra lui Matei. Reacțiunea este forța cu care Matei trage de bară. Ambele descrieri concordă în privința a ceea ce simte Matei în realitate: în mâini trebuie să țină aproximativ 111 N, ca și cum ar ridica o sacoșă de unsprezece kilograme. Forțele verticale, greutatea și reacțiunea normală, le-am omis, pentru că se anulează.

Ce se întâmplă dacă Matei dă drumul? De îndată ce bara încetează să tragă, nu mai acționează nicio forță orizontală, iar scaunul nu-l ține, pentru că frecarea cu scaunul o neglijăm. Conform principiului inerției, Matei continuă drept, pe tangenta la cerc. Exact așa se comportă piatra când se rupe sfoara. De pe carusel arată altfel: Matei se depărtează de axă și rămâne în același timp în urma rotației. Văzută din interior, această curbare a traiectoriei o produce încă o forță de inerție, forța Coriolis, care în sistemul care se rotește acționează asupra corpurilor ce se mișcă în el.

Când să folosești care descriere

Ambele descrieri sunt corecte și ajung la aceleași rezultate. Din exterior, dintr-un sistem inerțial, desenăm doar forțele reale, iar rezultanta lor este $m\cdot \overrightarrow{a}$. Din interior adăugăm forța de inerție, iar când corpul este în repaus față de vehicul, suma tuturor forțelor este nulă. Din interior merită să calculăm atunci când ne interesează cum se comportă ceva față de vehicul: cum se abate maimuța, cât indică cântarul din lift.

Dificultăți apar când cele două descrieri se amestecă. De pildă, cineva desenează mașina în curbă din punctul de vedere al șoselei și adaugă la frecare și forța centrifugă spre exterior. Atunci forțele i se anulează, rezultanta iese nulă, iar conform principiului inerției mașina ar merge drept, nu pe cerc. Forța centrifugă nu are ce căuta în desenul din exterior. Aparține doar celui care stă înăuntru și se rotește odată cu ceilalți.

Cu acest articol se încheie seria articolelor explicative despre cinematică și dinamică. Urmează Probleme rezolvate de cinematică și după ele probleme de dinamică.