Siły bezwładności

Nela jedzie pociągiem do Krakowa i na haczyku przy oknie powiesiła na sznureczku pluszową małpkę. Kiedy pociąg stoi, małpka wisi pionowo w dół. Gdy tylko pociąg rusza, odchyla się do tyłu, przeciwnie do kierunku jazdy, i wisi ukośnie, dopóki pociąg przyspiesza. Kto ją popchnął? Nikt. Małpka po prostu nie ruszyła od razu razem z wagonem.

Kiedy układ odniesienia przyspiesza

Najpierw popatrzmy na to z peronu. Pociąg przyspiesza do przodu, a małpka zgodnie z zasadą bezwładności najchętniej zostałaby tam, gdzie jest. Haczyk ciągnie ją jednak ze sobą, sznureczek się odchyla i zaczyna ciągnąć małpkę do przodu. Wszystko do siebie pasuje: małpka przyspiesza, bo działa na nią niezerowa siła wypadkowa.

Nela w wagonie widzi sytuację inaczej. Małpka wisi względem niej w spoczynku, tyle że ukośnie. Działa na nią siła ciężkości w dół i siła sznureczka ukośnie w górę i do przodu. Te dwie siły nie sumują się do zera, bo sznureczek ciągnie trochę do przodu i nic mu w tym nie przeszkadza. Zgodnie z zasadami dynamiki Newtona małpka powinna ruszyć do przodu, a mimo to wisi w spoczynku. W układzie odniesienia związanym z przyspieszającym pociągiem ani zasada bezwładności, ani druga zasada dynamiki tu nie obowiązują.

Taki układ nazywa się układem nieinercjalnym. Takim układem jest każdy układ, który przyspiesza względem układu inercjalnego, na przykład względem Ziemi, którą traktujemy jako układ inercjalny: pociąg albo autobus, który rusza lub hamuje, winda przy ruszaniu, samochód na zakręcie, karuzela.

Siła bezwładności

Nela potrafi sobie jednak poradzić. Będzie po prostu liczyć tak, jakby na każde ciało w wagonie działała jeszcze jedna, dodatkowa siła, skierowana przeciwnie do przyspieszenia pociągu:

$$\overrightarrow{F_b}=-m\cdot \overrightarrow{a},$$

gdzie m to masa ciała, a $\overrightarrow{a}$ to przyspieszenie układu odniesienia, tutaj pociągu. Tę siłę nazywamy siłą bezwładności. Znak minus oznacza przeciwny zwrot: pociąg rusza do przodu, siła bezwładności jest skierowana do tyłu. Jeśli Nela doda ją do pozostałych sił, siły działające na małpkę dadzą razem zero, a pierwsza i druga zasada dynamiki w wagonie znowu obowiązują.

To, co opisuje siła bezwładności, znamy z własnego doświadczenia. Przy ruszaniu „wciska” nas w fotel, przy hamowaniu „rzuca” do przodu na pasy. Jest to jednak siła naprawdę dziwna.

Siła, której nikt nie wywiera

Wszystkie siły, z którymi dotąd liczyliśmy, były działaniem jednego ciała na drugie: sznureczek ciągnie małpkę, Ziemia przyciąga małpkę. Siły bezwładności nic nie wywiera. Spróbuj poszukać, kto pcha małpkę do tyłu. Nikogo nie znajdziesz. Dlatego siła bezwładności nie ma też siły reakcji. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki reakcja musiałaby działać na sprawcę siły, a żadnego sprawcy nie ma.

Siła bezwładności to narzędzie obserwatora, który jedzie razem z przyspieszającym układem. Obserwator na peronie obejdzie się bez niej i nie zaznacza jej na rysunku. Dlatego nazywa się ją też siłą pozorną. Nie znaczy to jednak, że nic nie poczujesz. Fotel przy ruszaniu naprawdę pcha cię w plecy, tyle że to rzeczywista siła fotela, która rozpędza cię razem z pociągiem.

Małpka z zewnątrz i od środka

Policzmy, o jaki kąt odchyli się małpka, kiedy pociąg rusza z przyspieszeniem 0,8 m/s². Zrobimy to od razu dwa razy, raz z peronu i raz z wagonu.

Z peronu. Na małpkę działa siła ciężkości $\overrightarrow{F_g}$ i siła sznureczka $\overrightarrow{F}$, która jest odchylona od pionu o kąt α. Małpka rusza razem z pociągiem, dlatego wypadkowa obu sił jest zgodnie z drugą zasadą dynamiki równa $m\cdot \overrightarrow{a}$ i jest skierowana poziomo do przodu. Siłę sznureczka rozkładamy na dwie składowe. Pionowa równoważy siłę ciężkości, pozioma tworzy siłę wypadkową:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

Z wagonu. Małpka wisi w spoczynku, więc siła wypadkowa jest równa zeru. Oprócz siły ciężkości i siły sznureczka działa teraz na nią także siła bezwładności o wartości m · a, skierowana do tyłu. Pionowa składowa siły sznureczka równoważy siłę ciężkości, pozioma siłę bezwładności:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

Otrzymaliśmy dokładnie te same równania, tylko za każdym razem zinterpretowaliśmy je inaczej. Iloczyn m · a był z zewnątrz siłą wypadkową, od środka siłą bezwładności. Drugie równanie dzielimy przez pierwsze. Masa i siła sznureczka się skracają, a iloraz sinusa i cosinusa to tangens (w Polsce zapisywany tg):

$$\tan \alpha =\frac{a}{g}$$

Podstawiamy:

$$\tan \alpha =\frac{0,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \mathrm{0,082}$$

Kąt, którego tangens wynosi 0,082, znajdziemy na kalkulatorze przyciskiem tan⁻¹: α ≈ 4,7°. Małpka odchyli się o niecałe pięć stopni, rysunek dla czytelności przesadza z kątem. Masa nie ma znaczenia, ciężki plecak na haczyku odchyliłby się dokładnie tak samo. Działa to też w drugą stronę: kto zmierzy kąt, pozna przyspieszenie pociągu. Małpka na sznureczku to całkiem niezły miernik przyspieszenia.

Winda od środka

W windzie, która rusza w górę z przyspieszeniem a, siła bezwładności jest skierowana w dół, tak samo jak siła ciężkości. Pasażerowi w środku wydaje się, że Ziemia nagle przyciąga mocniej, jakby przyspieszenie ziemskie wzrosło z g do g + a. Torba w ręce wydaje się cięższa, a podłoga musi działać na niego większą siłą. Kiedy potem winda na górze hamuje, przyspieszenie jest skierowane w dół, siła bezwładności w górę i zmniejsza siłę nacisku na podłogę (ciężar pozorny).

Gdyby winda się urwała i spadała z przyspieszeniem g, siła bezwładności m · g skierowana w górę dokładnie zniosłaby siłę ciężkości, a pasażer unosiłby się w środku. Z zewnątrz to to samo zjawisko, tylko wygląda inaczej: pasażer spada razem z windą, a podłoga na niego nie działa.

Siła odśrodkowa

Karuzela się obraca, więc każdy jej punkt ma przyspieszenie dośrodkowe ω² · r skierowane do środka. Siła bezwładności jest skierowana przeciwnie, czyli na zewnątrz od osi, i nazywa się ją siłą odśrodkową:

$$F_{\mathrm{od}}=m\cdot {\omega }^2\cdot r=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Dla ciała, które obraca się razem z karuzelą, ma ona taką samą wartość jak siła dośrodkowa, tylko przeciwny zwrot, i istnieje tylko w układzie, który się obraca. Właśnie to w potocznej mowie mamy na myśli, mówiąc o sile odśrodkowej: to, co na zakręcie przyciska pasażera do drzwi. W środku samochodu to rozsądny opis. Z chodnika jednak nikt żadnej siły skierowanej na zewnątrz nie widzi. Widać tylko drzwi, które pchają pasażera do środka zakrętu i zmuszają go do skręcania razem z samochodem.

Tomek ma masę 30 kg i siedzi na karuzeli na placu zabaw, 1,5 m od osi. Trzyma się uchwytu, a tata rozkręca karuzelę do jednego obrotu na 4 s. Prędkość Tomka wynosi

$$\begin{array}{rl}v& =\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}\\ & =0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,36\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Z ławki Tomek porusza się po okręgu, dlatego uchwyt musi go ciągnąć do środka siłą dośrodkową. Jej wartość F_d to wartość zielonej siły uchwytu (tarcia o siedzisko nie liczymy):

$$\begin{array}{rl}{F}_d& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{30\mathrm{kg}\cdot (0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\mathrm{m}}\\ & =11,25{\pi }^2\mathrm{N}\approx 111\mathrm{N}\end{array}$$

Z karuzeli Tomek siedzi w spoczynku. Na zewnątrz ciągnie go siła odśrodkowa, według tego samego wzoru znowu 111 N, a uchwyt ciągnie go do środka siłą o tej samej wartości. Siły są w równowadze. Siła odśrodkowa nie jest jednak reakcją na siłę uchwytu, obie działają na Tomka. Reakcją jest to, że Tomek ciągnie za uchwyt. Oba opisy zgadzają się co do tego, co Tomek naprawdę poczuje: w rękach musi utrzymać około 111 N, jakby podnosił jedenastokilogramową torbę. Siły pionowe, siłę ciężkości i siłę reakcji podłoża, pominęliśmy, bo się znoszą.

A co, jeśli Tomek puści uchwyt? Gdy tylko uchwyt przestanie ciągnąć, nie działa żadna pozioma siła, a siedzisko go nie utrzyma, bo tarcie o siedzisko pomijamy. Tomek zgodnie z zasadą bezwładności porusza się dalej prosto, wzdłuż stycznej do okręgu. Dokładnie tak zachowuje się kamień, kiedy zerwie się sznurek. Z karuzeli wygląda to inaczej: Tomek oddala się od osi i jednocześnie zostaje w tyle za obrotem. To zakrzywienie toru od środka zapewnia jeszcze jedna siła bezwładności, siła Coriolisa, która w obracającym się układzie działa na ciała poruszające się względem niego.

Kiedy którego opisu użyć

Oba opisy są poprawne i prowadzą do tych samych wyników. Z zewnątrz, z układu inercjalnego, rysujemy tylko rzeczywiste siły, a ich wypadkowa jest równa $m\cdot \overrightarrow{a}$. Od środka dodajemy siłę bezwładności, a kiedy ciało jest względem pojazdu w spoczynku, suma wszystkich sił jest równa zeru. Liczyć od środka opłaca się wtedy, gdy interesuje nas, jak coś zachowuje się względem pojazdu: jak odchyli się małpka, ile pokaże waga w windzie.

Kłopot pojawia się, kiedy ktoś pomiesza oba opisy. Ktoś na przykład rysuje samochód na zakręcie z punktu widzenia drogi i do tarcia dodaje jeszcze siłę odśrodkową skierowaną na zewnątrz. Siły mu się wtedy znoszą, wypadkowa wychodzi równa zeru, a samochód zgodnie z zasadą bezwładności jechałby prosto, a nie po okręgu. Siła odśrodkowa nie należy do rysunku z zewnątrz. Należy tylko do tego, kto siedzi w środku i obraca się razem z resztą.

Tym artykułem kończy się seria artykułów teoretycznych o kinematyce i dynamice. Dalej są Zadania z kinematyki z rozwiązaniami, a po nich zadania z dynamiki.