Trägheitskräfte

Nele fährt mit dem Zug nach Würzburg und hat an einen Haken am Fenster ein Plüschäffchen an einer Schnur gehängt. Solange der Zug steht, hängt das Äffchen senkrecht nach unten. Sobald sich der Zug in Bewegung setzt, schwingt es nach hinten, gegen die Fahrtrichtung, und bleibt schräg hängen, solange der Zug beschleunigt. Wer hat ihm einen Stoß gegeben? Niemand. Das Äffchen ist einfach nicht sofort mit dem Waggon losgefahren.

Wenn das Bezugssystem beschleunigt

Betrachten wir das zuerst vom Bahnsteig aus. Der Zug beschleunigt nach vorn, und das Äffchen würde nach dem Trägheitsgesetz am liebsten bleiben, wo es ist. Der Haken zieht es aber mit, die Schnur neigt sich und beginnt, das Äffchen nach vorn zu ziehen. Alles passt zusammen: Das Äffchen beschleunigt, weil eine resultierende Kraft ungleich null auf es wirkt.

Nele im Waggon sieht die Situation anders. Das Äffchen hängt relativ zu ihr in Ruhe, aber schräg. Auf es wirken die Gewichtskraft nach unten und die Schnurkraft schräg nach oben und vorn. Diese beiden ergeben nicht null, denn die Schnur zieht ein Stück nach vorn und nichts hindert sie daran. Nach den newtonschen Gesetzen müsste sich das Äffchen nach vorn in Bewegung setzen, und trotzdem hängt es in Ruhe. In dem mit dem beschleunigenden Zug verbundenen Bezugssystem gelten weder das Trägheitsgesetz noch das zweite newtonsche Gesetz.

Ein solches System heißt beschleunigtes Bezugssystem, auch Nicht-Inertialsystem. Dazu gehört jedes System, das relativ zu einem Inertialsystem beschleunigt, zum Beispiel relativ zur Erde, die wir als Inertialsystem nehmen: ein Zug oder Bus, der anfährt oder bremst, ein Aufzug beim Anfahren, ein Auto in der Kurve, ein Karussell.

Trägheitskraft

Nele weiß sich aber zu helfen. Sie rechnet einfach so, als würde auf jeden Körper im Waggon noch eine zusätzliche Kraft wirken, die der Beschleunigung des Zuges entgegengerichtet ist:

$$\overrightarrow{F_T}=-m\cdot \overrightarrow{a},$$

wobei m die Masse des Körpers ist und $\overrightarrow{a}$ die Beschleunigung des Bezugssystems, hier des Zuges. Diese Kraft heißt Trägheitskraft. Das Minuszeichen steht für die entgegengesetzte Richtung: Der Zug fährt nach vorn an, die Trägheitskraft zeigt nach hinten. Addiert Nele sie zu den übrigen Kräften, ergeben die Kräfte auf das Äffchen zusammen null, und das erste und das zweite newtonsche Gesetz gelten im Waggon wieder.

Was die Trägheitskraft beschreibt, kennen wir aus eigener Erfahrung. Beim Anfahren werden wir in den Sitz „gedrückt“, beim Bremsen in die Gurte „geworfen“. Es ist aber eine recht merkwürdige Kraft.

Eine Kraft, die niemand ausübt

Alle Kräfte, mit denen wir bisher gerechnet haben, waren die Wirkung eines Körpers auf einen anderen: Die Schnur zieht das Äffchen, die Erde zieht das Äffchen an. Die Trägheitskraft übt nichts aus. Versuche herauszufinden, wer das Äffchen nach hinten drückt. Du findest niemanden. Deshalb hat die Trägheitskraft auch keine Gegenkraft. Nach dem dritten newtonschen Gesetz müsste die Gegenkraft auf den Urheber der Kraft wirken, und es gibt keinen Urheber.

Die Trägheitskraft ist ein Hilfsmittel des Beobachters, der mit dem beschleunigenden System mitfährt. Der Beobachter auf dem Bahnsteig kommt ohne sie aus und zeichnet sie nicht ein. Deshalb nennt man sie auch Scheinkraft. Das heißt aber nicht, dass du nichts spürst. Der Sitz drückt dich beim Anfahren wirklich in den Rücken, nur ist das die tatsächliche Kraft des Sitzes, der dich zusammen mit dem Zug beschleunigt.

Das Äffchen von außen und von innen

Berechnen wir, um welchen Winkel das Äffchen ausschlägt, wenn der Zug mit der Beschleunigung 0,8 m/s² anfährt. Das machen wir gleich zweimal, einmal vom Bahnsteig und einmal vom Waggon aus.

Vom Bahnsteig aus. Auf das Äffchen wirken die Gewichtskraft $\overrightarrow{F_G}$ und die Schnurkraft $\overrightarrow{F}$, die um den Winkel α von der Senkrechten abweicht. Das Äffchen fährt mit dem Zug an, deshalb ist die Resultierende beider Kräfte nach dem zweiten newtonschen Gesetz $m\cdot \overrightarrow{a}$ und zeigt waagerecht nach vorn. Wir zerlegen die Schnurkraft in zwei Komponenten. Die senkrechte gleicht die Gewichtskraft aus, die waagerechte bildet die Resultierende:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

Vom Waggon aus. Das Äffchen hängt in Ruhe, die Resultierende ist also null. Außer der Gewichtskraft und der Schnur wirkt jetzt auch noch die Trägheitskraft mit dem Betrag m · a nach hinten auf es. Die senkrechte Komponente der Schnurkraft gleicht die Gewichtskraft aus, die waagerechte die Trägheitskraft:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

Wir haben genau dieselben Gleichungen erhalten, nur jedes Mal anders gedeutet. Das Produkt m · a war von außen die Resultierende, von innen die Trägheitskraft. Wir teilen die zweite Gleichung durch die erste. Masse und Schnurkraft kürzen sich heraus, und der Quotient aus Sinus und Kosinus ist der Tangens:

$$\tan \alpha =\frac{a}{g}$$

Wir setzen ein:

$$\tan \alpha =\frac{0,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \mathrm{0,082}$$

Den Winkel, dessen Tangens 0,082 ist, findest du auf dem Taschenrechner mit der Taste tan⁻¹: α ≈ 4,7°. Das Äffchen schwingt also um knapp fünf Grad aus, die Abbildung übertreibt den Winkel der Lesbarkeit zuliebe. Auf die Masse kommt es nicht an, ein schwerer Rucksack würde am Haken genauso ausschlagen. Es funktioniert auch umgekehrt: Wer den Winkel misst, kennt die Beschleunigung des Zuges. Ein Äffchen an der Schnur ist ein ganz brauchbarer Beschleunigungsmesser.

Der Aufzug von innen

In einem Aufzug, der mit der Beschleunigung a nach oben anfährt, zeigt die Trägheitskraft nach unten, genau wie die Gewichtskraft. Dem Fahrgast drinnen kommt es vor, als würde die Erde plötzlich stärker anziehen, als wäre die Fallbeschleunigung von g auf g + a gewachsen. Die Tasche in der Hand scheint schwerer, und der Boden muss stärker drücken. Wenn der Aufzug dann oben bremst, zeigt die Beschleunigung nach unten, die Trägheitskraft nach oben, und sie nimmt einen Teil der scheinbaren Gewichtskraft weg.

Würde der Aufzug abreißen und mit der Beschleunigung g fallen, würde die Trägheitskraft m · g nach oben die Gewichtskraft genau aufheben, und der Fahrgast würde im Inneren schweben. Von außen ist es derselbe Vorgang, er sieht nur anders aus: Der Fahrgast fällt zusammen mit dem Aufzug, und der Boden drückt nicht auf ihn.

Zentrifugalkraft

Das Karussell dreht sich, jeder seiner Punkte hat also die Zentripetalbeschleunigung ω² · r zum Mittelpunkt. Die Trägheitskraft zeigt in die entgegengesetzte Richtung, also von der Achse weg, und heißt Zentrifugalkraft (auch Fliehkraft):

$$F_{\mathrm{Zf}}=m\cdot {\omega }^2\cdot r=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Bei einem Körper, der sich mit dem Karussell dreht, ist sie genauso groß wie die Zentripetalkraft, zeigt aber in die Gegenrichtung, und sie existiert nur in einem System, das sich dreht. Genau das meinen wir in der Alltagssprache mit Zentrifugalkraft: das, was in der Kurve den Fahrgast gegen die Tür drückt. Im Auto ist das eine vernünftige Beschreibung. Vom Gehweg aus sieht aber niemand eine Kraft nach außen. Man sieht nur die Tür, die den Fahrgast zum Mittelpunkt der Kurve drückt und ihn zwingt, mit dem Auto die Kurve zu fahren.

Tom hat eine Masse von 30 kg und sitzt auf dem Karussell auf dem Spielplatz, 1,5 m von der Achse entfernt. Er hält sich am Haltegriff fest, und sein Papa setzt das Karussell so in Bewegung, dass es eine Umdrehung in 4 s macht. Toms Geschwindigkeit ist

$$\begin{array}{rl}v& =\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}\\ & =0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,36\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Von der Bank aus fährt Tom auf einer Kreisbahn, und deshalb muss der Haltegriff ihn mit der Zentripetalkraft zum Mittelpunkt ziehen. Ihr Betrag F_Z ist der Betrag der grünen Kraft des Haltegriffs (die Reibung am Sitz rechnen wir nicht mit):

$$\begin{array}{rl}{F}_Z& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{30\mathrm{kg}\cdot (0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\mathrm{m}}\\ & =11,25{\pi }^2\mathrm{N}\approx 111\mathrm{N}\end{array}$$

Vom Karussell aus sitzt Tom in Ruhe. Nach außen zieht ihn die Zentrifugalkraft, nach derselben Formel wieder 111 N, und der Haltegriff hält ihn mit einer gleich großen Kraft nach innen. Die Kräfte sind im Gleichgewicht. Die Gegenkraft zur Kraft des Haltegriffs ist die Zentrifugalkraft aber nicht, beide wirken auf Tom. Die Gegenkraft ist Toms Zug am Haltegriff. Beide Beschreibungen stimmen in dem überein, was Tom tatsächlich spürt: In den Händen muss er etwa 111 N halten, als würde er eine Tasche mit elf Kilo hochheben. Die senkrechten Kräfte, Gewichtskraft und Normalkraft, haben wir weggelassen, weil sie sich aufheben.

Was, wenn Tom loslässt? Sobald der Haltegriff nicht mehr zieht, wirkt keine waagerechte Kraft, und der Sitz hält ihn nicht, weil wir die Reibung am Sitz vernachlässigen. Tom fährt nach dem Trägheitsgesetz geradeaus weiter, tangential zum Kreis. Genauso verhält sich der Stein, wenn die Schnur reißt. Vom Karussell aus sieht es anders aus: Tom entfernt sich von der Achse und bleibt zugleich hinter der Drehung zurück. Für dieses Abdrehen sorgt in der Innensicht noch eine weitere Trägheitskraft, die Corioliskraft, die in einem sich drehenden System auf Körper wirkt, die sich in ihm bewegen.

Wann man welche Beschreibung verwendet

Beide Beschreibungen sind richtig und führen zu denselben Ergebnissen. Von außen, aus dem Inertialsystem, zeichnen wir nur tatsächliche Kräfte, und ihre Resultierende ist $m\cdot \overrightarrow{a}$. Von innen fügen wir die Trägheitskraft hinzu, und wenn der Körper relativ zum Fahrzeug in Ruhe ist, ist die Summe aller Kräfte null. Von innen lohnt es sich zu rechnen, wenn uns interessiert, wie sich etwas relativ zum Fahrzeug verhält: wie das Äffchen ausschlägt, was die Waage im Aufzug anzeigt.

Probleme gibt es, wenn man beide Beschreibungen vermischt. Zum Beispiel zeichnet jemand ein Auto in der Kurve aus der Sicht der Straße und fügt zur Reibung auch noch die Zentrifugalkraft nach außen hinzu. Die Kräfte heben sich dann auf, die Resultierende ist null, und das Auto würde nach dem Trägheitsgesetz geradeaus fahren statt auf einer Kreisbahn. Die Zentrifugalkraft gehört nicht in eine Zeichnung von außen. Sie gehört nur dem, der drinnen sitzt und sich mit den anderen dreht.

Mit diesem Artikel endet die Reihe der erklärenden Artikel zur Kinematik und Dynamik. Es folgen die Aufgaben zur Kinematik mit Lösungen und danach die Aufgaben zur Dynamik.