Fuerzas de inercia

Nerea viaja en tren a Córdoba y ha colgado un mono de peluche de un cordel atado a un gancho junto a la ventana. Mientras el tren está parado, el mono cuelga verticalmente hacia abajo. En cuanto el tren arranca, se inclina hacia atrás, en contra del sentido de la marcha, y se queda colgando inclinado mientras el tren acelera. ¿Quién lo ha empujado? Nadie. Sencillamente, el mono no ha arrancado enseguida con el vagón.

Cuando el sistema de referencia acelera

Miremos primero desde el andén. El tren acelera hacia delante y el mono, según la ley de la inercia, preferiría quedarse donde está. Pero el gancho tira de él, el cordel se inclina y empieza a tirar del mono hacia delante. Todo encaja: el mono acelera porque sobre él actúa una fuerza resultante distinta de cero.

Nerea, dentro del vagón, ve la situación de otra manera. Respecto a ella, el mono está en reposo, pero inclinado. Sobre él actúan el peso hacia abajo y la fuerza del cordel en diagonal hacia arriba y hacia delante. Esas dos no suman cero, porque el cordel tira un poco hacia delante y nada se lo impide. Según las leyes de Newton, el mono debería ponerse en marcha hacia delante y, sin embargo, cuelga en reposo. En el sistema de referencia ligado al tren que acelera, no valen ni la ley de la inercia ni la segunda ley de Newton.

A un sistema así se le llama sistema de referencia no inercial. Pertenece a esta clase todo sistema que acelera respecto a un sistema inercial, por ejemplo, respecto a la Tierra, que tomamos como inercial: un tren o un autobús que arranca o frena, un ascensor al ponerse en marcha, un coche en una curva, un tiovivo.

Fuerza de inercia

Pero Nerea sabe arreglárselas. Simplemente calculará como si sobre cada cuerpo del vagón actuara además otra fuerza, dirigida en contra de la aceleración del tren:

$$\overrightarrow{F_i}=-m\cdot \overrightarrow{a},$$

donde m es la masa del cuerpo y $\overrightarrow{a}$ es la aceleración del sistema de referencia, aquí la del tren. A esta fuerza se le llama fuerza de inercia. El signo menos indica el sentido contrario: el tren arranca hacia delante y la fuerza de inercia apunta hacia atrás. Si Nerea la suma a las demás fuerzas, las fuerzas que actúan sobre el mono dan en total cero, y la primera y la segunda ley de Newton valen de nuevo dentro del vagón.

Lo que describe la fuerza de inercia lo conocemos en carne propia. Al arrancar, nos «aplasta» contra el asiento; al frenar, nos «lanza» hacia delante contra el cinturón. Pero es una fuerza bien extraña.

Una fuerza que nadie ejerce

Todas las fuerzas con las que hemos calculado hasta ahora eran la acción de un cuerpo sobre otro: el cordel tira del mono, la Tierra atrae al mono. La fuerza de inercia no la ejerce nada. Prueba a buscar quién empuja al mono hacia atrás. No encontrarás a nadie. Por eso la fuerza de inercia tampoco tiene reacción. Según la tercera ley de Newton, la reacción tendría que actuar sobre el causante de la fuerza, y no hay ningún causante.

La fuerza de inercia es un recurso del observador que viaja con el sistema que acelera. El observador del andén puede prescindir de ella y no la dibuja en la figura. Por eso se le llama también fuerza ficticia. Pero eso no significa que no notes nada. El asiento, al arrancar, te empuja de verdad por la espalda, solo que esa es la fuerza real del asiento, que te pone en marcha junto con el tren.

El mono visto desde fuera y desde dentro

Calculemos qué ángulo se inclina el mono cuando el tren arranca con una aceleración de 0,8 m/s². Lo haremos dos veces, una desde el andén y otra desde el vagón.

Desde el andén. Sobre el mono actúan el peso $\overrightarrow{P}$ y la fuerza del cordel $\overrightarrow{F}$, que está desviada de la vertical un ángulo α. El mono arranca con el tren, así que la resultante de las dos fuerzas es, según la segunda ley de Newton, $m\cdot \overrightarrow{a}$ y apunta horizontalmente hacia delante. Descomponemos la fuerza del cordel en dos componentes. La vertical compensa el peso y la horizontal forma la resultante:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \mathrm{sen}\alpha =m\cdot a$$

Desde el vagón. El mono cuelga en reposo, así que la resultante es nula. Además del peso y del cordel, ahora actúa también la fuerza de inercia de módulo m · a hacia atrás. La componente vertical de la fuerza del cordel compensa el peso y la horizontal, la fuerza de inercia:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \mathrm{sen}\alpha =m\cdot a$$

Hemos obtenido exactamente las mismas ecuaciones, solo que cada vez las hemos interpretado de otra manera. El producto m · a era desde fuera la resultante y desde dentro, la fuerza de inercia. Dividimos la segunda ecuación entre la primera. La masa y la fuerza del cordel se simplifican y el cociente del seno y el coseno es la tangente:

$$\tan \alpha =\frac{a}{g}$$

Sustituimos:

$$\tan \alpha =\frac{0,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \mathrm{0,082}$$

El ángulo cuya tangente es 0,082 lo encontramos en la calculadora con la tecla tan⁻¹: α ≈ 4,7°. El mono se desvía menos de cinco grados; la figura exagera el ángulo para que se vea bien. La masa no importa, una mochila pesada se inclinaría en el gancho exactamente igual. Funciona también al revés: quien mida el ángulo averiguará la aceleración del tren. Un mono colgado de un cordel es un acelerómetro bastante decente.

El ascensor visto desde dentro

En un ascensor que arranca hacia arriba con una aceleración a, la fuerza de inercia apunta hacia abajo, igual que el peso. Al pasajero de dentro le parece que la Tierra de pronto atrae con más fuerza, como si la aceleración de la gravedad hubiera aumentado de g a g + a. La bolsa que lleva en la mano parece más pesada y el suelo tiene que empujar más. Cuando luego el ascensor frena arriba, la aceleración apunta hacia abajo, la fuerza de inercia hacia arriba y le quita un trozo al peso aparente, es decir, a la fuerza con la que el pasajero presiona sobre el suelo (la que marca la báscula).

Si el ascensor se soltara y cayera con aceleración g, la fuerza de inercia m · g hacia arriba anularía exactamente el peso y el pasajero flotaría dentro. Visto desde fuera es el mismo proceso, solo que parece otro: el pasajero cae junto con el ascensor y el suelo no lo empuja.

Fuerza centrífuga

El tiovivo gira, así que cada uno de sus puntos tiene una aceleración centrípeta ω² · r hacia el centro. La fuerza de inercia apunta en sentido contrario, es decir, hacia fuera del eje, y se llama fuerza centrífuga:

$$F_{\mathrm{cf}}=m\cdot {\omega }^2\cdot r=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

En un cuerpo que gira con el tiovivo es igual de grande que la fuerza centrípeta, solo que apunta en sentido contrario, y existe únicamente en el sistema que gira. Es justo esto lo que en el lenguaje corriente entendemos por fuerza centrífuga: lo que en la curva aprieta al pasajero contra la puerta. Dentro del coche es una descripción razonable. Pero desde la acera nadie ve ninguna fuerza hacia fuera. Solo se ve la puerta, que empuja al pasajero hacia el centro de la curva y lo obliga a girar con el coche.

Tomás tiene 30 kg y está sentado en un tiovivo del parque infantil, a 1,5 m del eje. Se agarra a la barra y su padre hace girar el tiovivo a una vuelta cada 4 s. La velocidad de Tomás es

$$\begin{array}{rl}v& =\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}\\ & =0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,36\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Desde el banco, Tomás recorre una circunferencia, y por eso la barra tiene que tirar de él hacia el centro con una fuerza centrípeta. Su módulo F_c es el módulo de la fuerza verde de la barra (el rozamiento con el asiento no lo contamos):

$$\begin{array}{rl}{F}_c& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{30\mathrm{kg}\cdot (0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\mathrm{m}}\\ & =11,25{\pi }^2\mathrm{N}\approx 111\mathrm{N}\end{array}$$

Desde el tiovivo, Tomás está sentado en reposo. Hacia fuera tira de él la fuerza centrífuga, según la misma fórmula otra vez 111 N, y la barra lo sujeta hacia dentro con una fuerza igual de grande. Las fuerzas están en equilibrio. Pero la fuerza centrífuga no es la reacción a la fuerza de la barra: las dos actúan sobre Tomás. La reacción es el tirón de Tomás sobre la barra. Las dos descripciones coinciden en lo que Tomás nota de verdad: con las manos tiene que sujetar unos 111 N, como si levantara una bolsa de once kilos. Las fuerzas verticales, el peso y la fuerza normal, las hemos omitido porque se anulan.

¿Y si Tomás se suelta? En cuanto la barra deja de tirar, no actúa ninguna fuerza horizontal y el asiento no lo sujeta, porque despreciamos el rozamiento con el asiento. Según la ley de la inercia, Tomás continúa en línea recta, por la tangente a la circunferencia. Exactamente así se comporta la piedra cuando se rompe la cuerda. Desde el tiovivo parece otra cosa: Tomás se aleja del eje y a la vez se queda rezagado respecto al giro. Este desvío lo causa, visto desde dentro, otra fuerza de inercia más, la de Coriolis, que en un sistema que gira actúa sobre los cuerpos que se mueven en él.

Qué descripción usar y cuándo

Las dos descripciones son correctas y llegan a los mismos resultados. Desde fuera, desde un sistema inercial, dibujamos solo las fuerzas reales y su resultante es $m\cdot \overrightarrow{a}$. Desde dentro añadimos la fuerza de inercia y, cuando el cuerpo está en reposo respecto al vehículo, la suma de todas las fuerzas es nula. Conviene calcular desde dentro cuando nos interesa cómo se comporta algo respecto al vehículo: cuánto se inclina el mono, qué marca la báscula en el ascensor.

El problema aparece cuando se mezclan las dos descripciones. Por ejemplo, alguien dibuja el coche en la curva desde el punto de vista de la carretera y, además del rozamiento, añade la fuerza centrífuga hacia fuera. Entonces las fuerzas se le anulan, la resultante sale nula y el coche, según la ley de la inercia, iría recto, no en circunferencia. La fuerza centrífuga no pertenece a un dibujo hecho desde fuera. Pertenece solo a quien está sentado dentro y gira con los demás.

Con este artículo termina la serie de artículos explicativos sobre cinemática y dinámica. Siguen los Problemas resueltos de cinemática y, después, los de dinámica.