Forze apparenti

Nina viaggia in treno verso Verona e a un gancio vicino al finestrino ha appeso con un filo una scimmietta di peluche. Quando il treno è fermo, la scimmietta pende verticalmente verso il basso. Appena il treno parte, si inclina all’indietro, contro il verso di marcia, e resta inclinata finché il treno accelera. Chi l’ha spinta? Nessuno. La scimmietta semplicemente non è partita subito insieme alla carrozza.

Quando il sistema di riferimento accelera

Guardiamo prima la scena dalla banchina. Il treno accelera in avanti e la scimmietta, secondo il principio d’inerzia, vorrebbe restare dov’è. Il gancio però se la trascina dietro, il filo si inclina e comincia a tirare la scimmietta in avanti. Tutto torna: la scimmietta accelera, perché su di lei agisce una risultante delle forze diversa da zero.

Nina dentro la carrozza vede la situazione in un altro modo. La scimmietta rispetto a lei sta ferma, ma inclinata. Su di essa agiscono la forza peso verso il basso e la forza del filo obliquamente verso l’alto e in avanti. Queste due non si sommano a zero, perché il filo tira un po’ in avanti e nulla glielo impedisce. Secondo i principi della dinamica la scimmietta dovrebbe partire in avanti, eppure sta ferma. Nel sistema di riferimento solidale con il treno che accelera non valgono né il principio d’inerzia né il secondo principio della dinamica.

Un sistema di questo tipo si chiama sistema di riferimento non inerziale. Lo è ogni sistema che accelera rispetto a un sistema inerziale (per esempio rispetto alla Terra, che consideriamo inerziale): un treno o un autobus che parte o frena, un ascensore alla partenza, un’auto in curva, una giostra.

La forza apparente

Nina però sa cavarsela. Farà semplicemente i calcoli come se su ogni corpo nella carrozza agisse una forza in più, diretta contro l’accelerazione del treno:

$$\overrightarrow{F_{\mathrm{app}}}=-m\cdot \overrightarrow{a},$$

dove m è la massa del corpo e $\overrightarrow{a}$ è l’accelerazione del sistema di riferimento, qui del treno. Questa forza si chiama forza apparente (o anche forza d’inerzia). Il segno meno indica il verso opposto: il treno parte in avanti, la forza apparente è diretta all’indietro. Se Nina la somma alle altre forze, le forze che agiscono sulla scimmietta danno insieme zero e nella carrozza tornano a valere sia il primo sia il secondo principio della dinamica.

Ciò che descrive la forza apparente lo conosciamo sulla nostra pelle. Alla partenza ci «schiaccia» contro il sedile, in frenata ci «getta» in avanti contro le cinture. Ma è una forza davvero particolare.

Una forza che nessuno esercita

Tutte le forze con cui abbiamo calcolato finora erano l’azione di un corpo su un altro: il filo tira la scimmietta, la Terra attira la scimmietta. La forza apparente non la esercita nulla. Prova a cercare chi spinge la scimmietta all’indietro. Non troverai nessuno. Per questo la forza apparente non ha neppure una reazione. Secondo il terzo principio della dinamica la reazione dovrebbe agire su chi origina la forza, e un tale corpo non esiste.

La forza apparente è un espediente dell’osservatore che viaggia con il sistema che accelera. L’osservatore sulla banchina ne fa a meno e nel disegno non la traccia. È proprio per questo che si chiama apparente, o anche forza fittizia. Ma ciò non significa che tu non senta nulla. Il sedile alla partenza ti spinge davvero sulla schiena, solo che quella è una forza reale del sedile, che ti mette in moto insieme al treno.

La scimmietta da fuori e da dentro

Calcoliamo di quale angolo si inclina la scimmietta quando il treno parte con un’accelerazione di 0,8 m/s². Lo facciamo subito due volte, una volta dalla banchina e una volta dalla carrozza.

Dalla banchina. Sulla scimmietta agiscono la forza peso $\overrightarrow{F_P}$ e la forza del filo $\overrightarrow{F}$, che è inclinata rispetto alla verticale di un angolo α. La scimmietta parte insieme al treno, perciò la risultante delle due forze è, secondo il secondo principio, $m\cdot \overrightarrow{a}$ ed è diretta orizzontalmente in avanti. Scomponiamo la forza del filo in due componenti. Quella verticale equilibra la forza peso, quella orizzontale costituisce la risultante:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \mathrm{sen}\alpha =m\cdot a$$

Dalla carrozza. La scimmietta pende ferma, quindi la risultante è nulla. Oltre alla forza peso e al filo, su di essa agisce adesso anche la forza apparente di modulo m · a all’indietro. La componente verticale della forza del filo equilibra la forza peso, quella orizzontale la forza apparente:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \mathrm{sen}\alpha =m\cdot a$$

Abbiamo ottenuto esattamente le stesse equazioni, solo che ogni volta le abbiamo interpretate in modo diverso. Il prodotto m · a da fuori era la risultante, da dentro la forza apparente. Dividiamo la seconda equazione per la prima. La massa e la forza del filo si semplificano e il rapporto tra seno e coseno è la tangente:

$$\tan \alpha =\frac{a}{g}$$

Sostituiamo:

$$\tan \alpha =\frac{0,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \mathrm{0,082}$$

L’angolo la cui tangente è 0,082 lo troviamo sulla calcolatrice con il tasto tan⁻¹: α ≈ 4,7°. La scimmietta si inclina di meno di cinque gradi, la figura esagera l’angolo per renderlo leggibile. Non dipende dalla massa: uno zaino pesante appeso al gancio si inclinerebbe esattamente allo stesso modo. Funziona anche al contrario: chi misura l’angolo, scopre l’accelerazione del treno. Una scimmietta sul filo è un discreto misuratore di accelerazione.

L’ascensore visto da dentro

In un ascensore che parte verso l’alto con accelerazione a, la forza apparente è diretta verso il basso, come la forza peso. Al passeggero dentro sembra che la Terra attiri all’improvviso più forte, come se l’accelerazione di gravità fosse cresciuta da g a g + a. La borsa in mano sembra più pesante e il pavimento deve spingere di più. Quando poi l’ascensore frena in alto, l’accelerazione è diretta verso il basso, la forza apparente verso l’alto e si prende un pezzo del peso apparente.

Se l’ascensore si staccasse e cadesse con accelerazione g, la forza apparente m · g verso l’alto annullerebbe esattamente la forza peso e il passeggero fluttuerebbe all’interno. Da fuori è lo stesso fenomeno, solo che sembra diverso: il passeggero cade insieme all’ascensore e il pavimento non lo spinge.

La forza centrifuga

La giostra gira, quindi ogni suo punto ha un’accelerazione centripeta ω² · r verso il centro. La forza apparente è diretta in verso opposto, cioè verso l’esterno, lontano dall’asse, e si chiama forza centrifuga:

$$F_{\mathrm{cf}}=m\cdot {\omega }^2\cdot r=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Per un corpo che gira con la giostra è uguale alla forza centripeta, solo di verso opposto, ed esiste soltanto nel sistema che ruota. È proprio questo che nel linguaggio comune intendiamo per forza centrifuga: ciò che in curva preme il passeggero contro la portiera. Dentro l’auto è una descrizione ragionevole. Dal marciapiede, però, nessuno vede una forza verso l’esterno. Si vede solo la portiera che spinge il passeggero verso il centro della curva e lo costringe a curvare con l’auto.

Tommaso ha una massa di 30 kg e sta seduto sulla giostra del parco giochi, a 1,5 m dall’asse. Si tiene alla maniglia e il papà fa girare la giostra a un giro ogni 4 s. La velocità di Tommaso è

$$\begin{array}{rl}v& =\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}\\ & =0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,36\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Dalla panchina Tommaso si muove su una circonferenza e la maniglia deve quindi tirarlo verso il centro con la forza centripeta. Il suo modulo F_c è il modulo della forza verde della maniglia (l’attrito con il sedile non lo contiamo):

$$\begin{array}{rl}{F}_c& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{30\mathrm{kg}\cdot (0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\mathrm{m}}\\ & =11,25{\pi }^2\mathrm{N}\approx 111\mathrm{N}\end{array}$$

Dalla giostra Tommaso sta fermo. Verso l’esterno lo tira la forza centrifuga, secondo la stessa formula di nuovo 111 N, e la maniglia lo trattiene verso l’interno con una forza di pari modulo. Le forze sono in equilibrio. La forza centrifuga però non è la reazione alla forza della maniglia, entrambe agiscono su Tommaso. La reazione è la trazione di Tommaso sulla maniglia. Le due descrizioni concordano su ciò che Tommaso sente davvero: nelle mani deve tenere circa 111 N, come se sollevasse una borsa da undici chili. Le forze verticali, la forza peso e la forza normale, le abbiamo tralasciate perché si annullano.

E se Tommaso si lascia andare? Appena la maniglia smette di tirare, non agisce più nessuna forza orizzontale e il sedile non lo trattiene, perché l’attrito con il sedile lo trascuriamo. Tommaso, secondo il principio d’inerzia, prosegue in linea retta, lungo la tangente alla circonferenza. Si comporta esattamente come il sasso quando la corda si spezza. Dalla giostra sembra diverso: Tommaso si allontana dall’asse e allo stesso tempo resta indietro rispetto alla rotazione. Questa deviazione la produce, dall’interno, un’altra forza apparente ancora, quella di Coriolis, che nel sistema rotante agisce sui corpi che si muovono al suo interno.

Quale descrizione usare quando

Entrambe le descrizioni sono corrette e arrivano agli stessi risultati. Da fuori, da un sistema inerziale, disegniamo solo le forze reali e la loro risultante è $m\cdot \overrightarrow{a}$. Da dentro aggiungiamo la forza apparente e, se il corpo è fermo rispetto al veicolo, la somma di tutte le forze è nulla. Dall’interno conviene calcolare quando ci interessa come si comporta qualcosa rispetto al veicolo: come si inclina la scimmietta, che cosa indica la bilancia nell’ascensore.

Il guaio nasce quando le due descrizioni si mescolano. Per esempio qualcuno disegna l’auto in curva dal punto di vista della strada e aggiunge all’attrito anche la forza centrifuga verso l’esterno. Le forze allora si annullano, la risultante viene nulla e l’auto, secondo il principio d’inerzia, andrebbe dritta, non su una circonferenza. Nel disegno visto da fuori la forza centrifuga non deve comparire. Appartiene solo a chi sta seduto dentro e gira insieme agli altri.

Con questo articolo finisce la serie di articoli esplicativi su cinematica e dinamica. Seguono gli Esercizi svolti di cinematica e, dopo di essi, gli esercizi di dinamica.