Tröghetskrafter

Nora åker tåg till Göteborg och har hängt upp en gosedjursapa i ett snöre på en krok vid fönstret. När tåget står stilla hänger apan rakt ned. Så fort tåget sätter i gång lutar den bakåt, mot färdriktningen, och blir hängande snett så länge tåget accelererar. Vem knuffade den? Ingen. Apan följde bara inte med vagnen direkt.

När referensramen accelererar

Vi tittar först på det från perrongen. Tåget accelererar framåt, och enligt tröghetslagen skulle apan helst stanna där den är. Kroken drar den dock med sig, snöret lutar och börjar dra apan framåt. Allt hänger ihop: apan accelererar, eftersom en resulterande kraft som inte är noll verkar på den.

Nora inne i vagnen ser situationen annorlunda. I förhållande till henne hänger apan stilla, men snett. På den verkar tyngdkraften nedåt och snörets kraft snett uppåt och framåt. Summan av dem är inte noll, eftersom snöret drar en bit framåt och inget hindrar det. Enligt Newtons lagar borde apan sätta i gång framåt, och ändå hänger den stilla. I referensramen som är knuten till det accelererande tåget gäller varken tröghetslagen eller Newtons andra lag.

En sådan referensram kallas icke-inertialsystem. Hit hör varje referensram som accelererar i förhållande till ett inertialsystem, till exempel jorden, som vi räknar som ett inertialsystem: ett tåg eller en buss som sätter i gång eller bromsar, en hiss som sätter i gång, en bil i en kurva, en karusell.

Tröghetskraft

Nora kan ändå klara sig. Hon räknar helt enkelt som om det på varje kropp i vagnen verkade ytterligare en kraft som är riktad motsatt tågets acceleration:

$$\overrightarrow{F_{\mathrm{tr}}}=-m\cdot \overrightarrow{a},$$

där m är kroppens massa och $\overrightarrow{a}$ är referensramens acceleration, här tågets. Den här kraften kallas tröghetskraft. Minustecknet betyder motsatt riktning: tåget sätter i gång framåt, tröghetskraften pekar bakåt. Om Nora lägger till den till de övriga krafterna ger krafterna som verkar på apan tillsammans noll, och både tröghetslagen och Newtons andra lag gäller i vagnen igen.

Vad tröghetskraften beskriver känner vi på egen kropp. När tåget sätter i gång ”trycks” vi mot sätet, när det bromsar ”kastas” vi framåt mot bältet. Men det är en riktigt märklig kraft.

En kraft som ingen utövar

Alla krafter som vi hittills har räknat med var en kropps verkan på en annan: snöret drar i apan, jorden drar i apan. Tröghetskraften utövas av ingenting. Försök hitta vem som trycker apan bakåt. Du hittar ingen. Därför har tröghetskraften inte heller någon motkraft. Enligt Newtons tredje lag skulle motkraften behöva verka på kraftens upphov, och något upphov finns inte.

Tröghetskraften är ett hjälpmedel för iakttagaren som åker med den accelererande referensramen. Iakttagaren på perrongen klarar sig utan den och ritar inte in den i figuren. Därför kallas den också fiktiv kraft. Det betyder inte att du inte känner något. Sätet trycker verkligen dig i ryggen när tåget sätter i gång, men det är sätets verkliga kraft, som sätter i gång dig tillsammans med tåget.

Apan utifrån och inifrån

Vi räknar ut vilken vinkel apan lutar med när tåget sätter i gång med accelerationen 0,8 m/s². Vi gör det två gånger, en gång från perrongen och en gång från vagnen.

Från perrongen. På apan verkar tyngdkraften $\overrightarrow{F_g}$ och kraften från snöret $\overrightarrow{F}$, som avviker med vinkeln α från lodlinjen. Apan sätter i gång med tåget, så resultanten av de båda krafterna är enligt Newtons andra lag $m\cdot \overrightarrow{a}$ och pekar vågrätt framåt. Vi delar upp kraften från snöret i två komposanter. Den lodräta tar ut tyngdkraften, den vågräta bildar resultanten:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

Från vagnen. Apan hänger stilla, så resultanten är noll. Förutom tyngdkraften och snöret verkar nu också tröghetskraften med storleken m · a bakåt. Den lodräta komposanten av snörets kraft tar ut tyngdkraften, den vågräta tröghetskraften:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

Vi fick precis samma ekvationer, bara tolkade olika varje gång. Produkten m · a var utifrån resultanten, inifrån tröghetskraften. Vi delar den andra ekvationen med den första. Massan och snörets kraft förkortas bort, och kvoten mellan sinus och cosinus är tangens:

$$\tan \alpha =\frac{a}{g}$$

Vi sätter in:

$$\tan \alpha =\frac{0,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \mathrm{0,082}$$

Vinkeln med tangensvärdet 0,082 hittar vi på räknaren med knappen tan⁻¹: α ≈ 4,7°. Apan lutar knappt fem grader, figuren överdriver vinkeln för att den ska synas. Massan spelar ingen roll, en tung ryggsäck skulle luta på kroken precis lika mycket. Det fungerar också åt andra hållet: den som mäter vinkeln får veta tågets acceleration. En apa i ett snöre är en ganska bra accelerationsmätare.

Hissen inifrån

I en hiss som sätter i gång uppåt med accelerationen a pekar tröghetskraften nedåt, liksom tyngdkraften. För passageraren inne i hissen känns det som om jorden plötsligt drog hårdare, som om tyngdaccelerationen hade vuxit från g till g + a. Kassen i handen verkar tyngre och golvet måste trycka hårdare. När hissen sedan bromsar där uppe pekar accelerationen nedåt och tröghetskraften uppåt, och den tar en bit av den skenbara tyngden.

Om hissen skulle gå av och falla med accelerationen g skulle tröghetskraften m · g uppåt precis ta ut tyngdkraften, och passageraren skulle sväva inne i hissen. Utifrån är det samma förlopp, bara det ser annorlunda ut: passageraren faller tillsammans med hissen och golvet trycker inte på henne.

Centrifugalkraft

En karusell snurrar, så varje punkt på den har centripetalaccelerationen ω² · r mot medelpunkten. Tröghetskraften pekar åt andra hållet, alltså utåt från axeln, och kallas centrifugalkraft:

$$F_{\mathrm{cf}}=m\cdot {\omega }^2\cdot r=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

För en kropp som snurrar med karusellen är den lika stor som centripetalkraften, bara riktad åt motsatt håll, och den finns bara i en referensram som roterar. Det är just det vi i vardagligt tal menar med centrifugalkraft: det som i en kurva trycker passageraren mot dörren. Inne i bilen är det en rimlig beskrivning. Från trottoaren ser ingen någon kraft utåt. Där ser man bara dörren som trycker passageraren mot kurvans medelpunkt och tvingar henne att svänga med bilen.

William har massan 30 kg och sitter på en karusell på lekplatsen, 1,5 m från axeln. Han håller i handtaget och pappa sätter karusellen i rörelse med ett varv på 4 s. Williams hastighet är

$$\begin{array}{rl}v& =\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}\\ & =0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,36\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Från bänken rör sig William längs en cirkel, och därför måste handtaget dra honom mot medelpunkten med centripetalkraften. Dess storlek F_c är storleken på den gröna kraften från handtaget (friktionen mot sitsen räknar vi inte med):

$$\begin{array}{rl}{F}_c& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{30\mathrm{kg}\cdot (0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\mathrm{m}}\\ & =11,25{\pi }^2\mathrm{N}\approx 111\mathrm{N}\end{array}$$

Från karusellen sitter William stilla. Centrifugalkraften drar honom utåt, enligt samma formel återigen 111 N, och handtaget håller honom lika hårt inåt. Krafterna är i jämvikt. Men centrifugalkraften är inte motkraften till handtagets kraft, båda verkar på William. Motkraften är Williams drag i handtaget. De båda beskrivningarna är överens om vad William faktiskt känner: i händerna måste han hålla emot med ungefär 111 N, som om han lyfte en kasse på elva kilo. De lodräta krafterna, tyngdkraften och normalkraften, har vi utelämnat, eftersom de tar ut varandra.

Vad händer om William släpper taget? Så fort handtaget slutar dra verkar ingen vågrät kraft, och sitsen håller honom inte, eftersom vi försummar friktionen mot den. Enligt tröghetslagen fortsätter William rakt fram, längs tangenten till cirkeln. Precis så beter sig stenen när snöret går av. Från karusellen ser det annorlunda ut: William avlägsnar sig från axeln och hamnar samtidigt efter i rotationen. Den här avböjningen sedd inifrån åstadkommer ytterligare en tröghetskraft, corioliskraften, som i en roterande referensram verkar på kroppar som rör sig i den.

När ska man använda vilken beskrivning

Båda beskrivningarna är riktiga och leder till samma resultat. Utifrån, från ett inertialsystem, ritar vi bara de verkliga krafterna, och deras resultant är $m\cdot \overrightarrow{a}$. Inifrån lägger vi till tröghetskraften, och när kroppen är stilla i förhållande till fordonet är summan av alla krafter noll. Inifrån lönar det sig att räkna när vi vill veta hur något beter sig i förhållande till fordonet: hur mycket apan lutar, hur mycket vågen i hissen visar.

Problem uppstår när de båda beskrivningarna blandas. Någon ritar till exempel en bil i en kurva sedd från vägen och lägger till centrifugalkraften utåt vid sidan av friktionen. Krafterna tar då ut varandra, resultanten blir noll, och bilen skulle enligt tröghetslagen köra rakt fram i stället för längs en cirkel. Centrifugalkraften hör inte hemma i en figur utifrån. Den hör bara hemma hos den som sitter inne och snurrar med de andra.

Med den här artikeln slutar serien av förklarande artiklar om kinematik och dynamik. Därefter följer Lösta uppgifter i kinematik och efter dem uppgifter i dynamik.