Hitausvoimat

Nelli matkustaa junalla Tampereelle ja on ripustanut ikkunan koukkuun narun päähän pehmoapinan. Kun juna seisoo, apina roikkuu suoraan alaspäin. Heti kun juna lähtee liikkeelle, se kääntyy taaksepäin, ajosuuntaa vastaan, ja jää roikkumaan vinoon niin kauan kuin juna kiihtyy. Kuka sitä työnsi? Kukaan. Apina vain ei lähtenyt heti vaunun mukana liikkeelle.

Kun vertailujärjestelmä kiihtyy

Katsotaan asiaa ensin asemalaiturilta. Juna kiihtyy eteenpäin ja apina jäisi jatkavuuden lain mukaan mieluiten paikalleen. Koukku kuitenkin vetää sitä mukanaan, naru kääntyy vinoon ja alkaa vetää apinaa eteenpäin. Kaikki sopii yhteen: apina kiihtyy, koska siihen vaikuttaa nollasta poikkeava resultantti.

Nelli näkee tilanteen vaunun sisällä toisin. Apina on häneen nähden levossa, mutta vinossa. Siihen vaikuttavat paino alaspäin ja narun voima vinosti ylös ja eteenpäin. Nämä kaksi eivät summaudu nollaksi, koska naru vetää hieman eteenpäin eikä mikään estä sitä. Newtonin lakien mukaan apinan pitäisi lähteä liikkeelle eteenpäin, ja silti se roikkuu levossa. Kiihtyvään junaan kiinnitetyssä vertailujärjestelmässä eivät päde jatkavuuden laki eikä Newtonin toinen laki.

Tällaista järjestelmää sanotaan kiihtyväksi vertailujärjestelmäksi eli ei-inertiaaliseksi järjestelmäksi. Siihen kuuluu jokainen järjestelmä, joka kiihtyy inertiaalijärjestelmään nähden, vaikkapa Maahan, jota pidetään inertiaalisena: liikkeelle lähtevä tai jarruttava juna tai bussi, hissi lähtiessään, kaarteessa oleva auto, karuselli.

Hitausvoima

Nelli osaa kuitenkin auttaa itseään. Hän laskee yksinkertaisesti niin kuin jokaiseen vaunun kappaleeseen vaikuttaisi vielä yksi ylimääräinen voima, joka osoittaa junan kiihtyvyyttä vastaan:

$$\overline{F_h}=-m\cdot \overline{a},$$

missä m on kappaleen massa ja $\overline{a}$ vertailujärjestelmän, tässä junan, kiihtyvyys. Tätä voimaa sanotaan hitausvoimaksi. Miinusmerkki kertoo vastakkaisen suunnan: juna lähtee liikkeelle eteenpäin, hitausvoima osoittaa taaksepäin. Kun Nelli lisää sen muihin voimiin, apinaan vaikuttavat voimat summautuvat nollaan ja sekä Newtonin ensimmäinen että toinen laki pätevät vaunussa taas.

Mitä hitausvoima kuvaa, sen tietää omasta kokemuksesta. Liikkeelle lähdettäessä matkustaja ”painetaan” istuinta vasten, jarrutettaessa ”heitetään” eteenpäin vöihin. Se on kuitenkin varsin erikoinen voima.

Voima, jota kukaan ei aiheuta

Kaikki voimat, joilla tähän asti on laskettu, olivat yhden kappaleen vaikutusta toiseen: naru vetää apinaa, Maa vetää apinaa. Hitausvoimaa ei aiheuta mikään. Yritä etsiä, kuka työntää apinaa taaksepäin. Et löydä ketään. Siksi hitausvoimalla ei ole myöskään vastavoimaa. Newtonin kolmannen lain mukaan vastavoiman täytyisi vaikuttaa voiman aiheuttajaan, eikä aiheuttajaa ole.

Hitausvoima on kiihtyvän järjestelmän mukana kulkevan havainnoijan apuväline. Laiturilla oleva havainnoija tulee toimeen ilman sitä eikä piirrä sitä kuvaan. Siksi sitä sanotaan myös näennäisvoimaksi. Se ei kuitenkaan tarkoita, ettet tuntisi mitään. Istuin todella painaa sinua liikkeelle lähdettäessä selkään, mutta se on istuimen todellinen voima, joka panee sinut liikkeelle junan mukana.

Apina ulkoa ja sisältä

Lasketaan, kuinka suuren kulman verran apina kääntyy, kun juna lähtee liikkeelle kiihtyvyydellä 0,8 m/s². Lasku tehdään heti kahdesti, kerran laiturilta ja kerran vaunusta.

Laiturilta. Apinaan vaikuttavat paino $\overline{G}$ ja narun voima $\overline{F}$, joka poikkeaa pystysuorasta kulman α verran. Apina lähtee liikkeelle junan mukana, joten näiden kahden voiman resultantti on Newtonin toisen lain mukaan $m\cdot \overline{a}$ ja se osoittaa vaakasuoraan eteenpäin. Jaetaan narun voima kahteen komponenttiin. Pystysuora kumoaa painon, vaakasuora muodostaa resultantin:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

Vaunusta. Apina roikkuu levossa, joten resultantti on nolla. Painon ja narun lisäksi siihen vaikuttaa nyt myös hitausvoima, jonka suuruus on m · a taaksepäin. Narun voiman pystykomponentti kumoaa painon, vaakakomponentti hitausvoiman:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

Yhtälöt ovat täsmälleen samat, ne vain tulkittiin joka kerta eri tavalla. Tulo m · a oli ulkoa resultantti, sisältä hitausvoima. Jaetaan toinen yhtälö ensimmäisellä. Massa ja narun voima supistuvat pois, ja sinin ja kosinin osamäärä on tangentti:

$$\tan \alpha =\frac{a}{g}$$

Sijoitetaan:

$$\tan \alpha =\frac{0,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \mathrm{0,082}$$

Kulman, jonka tangentti on 0,082, löytää laskimen tan⁻¹-näppäimellä: α ≈ 4,7°. Apina kääntyy alle viisi astetta, kuva liioittelee kulmaa luettavuuden vuoksi. Massalla ei ole merkitystä, painava reppu kääntyisi koukussa aivan samoin. Tämä toimii myös toisin päin: joka mittaa kulman, saa selville junan kiihtyvyyden. Narussa roikkuva apina on varsin kelvollinen kiihtyvyysmittari.

Hissi sisältä

Ylöspäin kiihtyvyydellä a lähtevässä hississä hitausvoima osoittaa alaspäin, samoin kuin paino. Sisällä olevasta matkustajasta tuntuu, että Maa vetää yhtäkkiä voimakkaammin, ikään kuin putoamiskiihtyvyys olisi kasvanut arvosta g arvoon g + a. Kädessä oleva kassi tuntuu raskaammalta ja lattian täytyy työntää enemmän. Kun hissi sitten ylhäällä jarruttaa, kiihtyvyys osoittaa alas, hitausvoima ylös ja se vie osan painosta.

Jos hissi irtoaisi ja putoaisi kiihtyvyydellä g, ylöspäin osoittava hitausvoima m · g kumoaisi painon täsmälleen ja matkustaja leijuisi sisällä. Ulkoa katsottuna tapahtuma on sama, mutta näyttää erilaiselta: matkustaja putoaa hissin mukana eikä lattia paina häntä.

Keskipakoisvoima

Karuselli pyörii, joten jokaisella sen pisteellä on keskipisteeseen osoittava keskeiskiihtyvyys ω² · r. Hitausvoima osoittaa vastakkaiseen suuntaan eli ulos akselilta, ja sitä sanotaan keskipakoisvoimaksi:

$$F_{\mathrm{kp}}=m\cdot {\omega }^2\cdot r=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Karusellin mukana pyörivällä kappaleella se on yhtä suuri kuin keskeisvoima mutta osoittaa vastakkaiseen suuntaan, ja se on olemassa vain pyörivässä järjestelmässä. Juuri tätä tarkoitetaan arkikielessä keskipakoisvoimalla: sitä, mikä kaarteessa painaa matkustajan ovea vasten. Auton sisällä se on järkevä kuvaus. Jalkakäytävältä katsottuna kukaan ei kuitenkaan näe mitään ulos osoittavaa voimaa. Näkyy vain ovi, joka työntää matkustajaa kaarteen keskipisteeseen päin ja pakottaa hänet kaartamaan auton mukana.

Leevin massa on 30 kg ja hän istuu leikkikentän karusellissa 1,5 m:n päässä akselista. Hän pitää kiinni kahvasta ja isä pyörittää karusellia niin, että yksi kierros kestää 4 s. Leevin nopeus on

$$\begin{array}{rl}v& =\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}\\ & =0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,36\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Penkiltä katsottuna Leevi kulkee ympyrää, ja siksi kahvan täytyy vetää häntä keskipisteeseen keskeisvoimalla. Sen suuruus F_n on vihreän kahvan voiman suuruus (istuimen kitkaa ei lasketa):

$$\begin{array}{rl}{F}_n& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{30\mathrm{kg}\cdot (0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\mathrm{m}}\\ & =11,25{\pi }^2\mathrm{N}\approx 111\mathrm{N}\end{array}$$

Karusellista katsottuna Leevi istuu levossa. Ulos häntä vetää keskipakoisvoima, saman kaavan mukaan taas 111 N, ja kahva pitää häntä sisäänpäin yhtä suurella voimalla. Voimat ovat tasapainossa. Kahvan voiman vastavoima keskipakoisvoima ei kuitenkaan ole, molemmat vaikuttavat Leeviin. Vastavoima on Leevin veto kahvasta. Molemmat kuvaukset ovat yhtä mieltä siitä, mitä Leevi todella tuntee: käsissä täytyy pitää noin 111 N, ikään kuin hän nostaisi yhdentoista kilon kassia. Pystysuuntaiset voimat, painon ja tukivoiman, jätettiin pois, koska ne kumoavat toisensa.

Entä jos Leevi päästää irti? Heti kun kahva lakkaa vetämästä, vaakasuoraa voimaa ei vaikuta eikä istuin pidä häntä paikallaan, koska istuimen kitka jätetään huomiotta. Leevi jatkaa jatkavuuden lain mukaan suoraan, ympyrän tangentin suuntaan. Täsmälleen näin käyttäytyy kivi, kun naru katkeaa. Karusellista katsottuna se näyttää erilaiselta: Leevi etääntyy akselista ja jää samalla jälkeen pyörimisestä. Tämän kääntymisen sisältä katsottuna aiheuttaa vielä yksi hitausvoima, Coriolis-voima, joka vaikuttaa pyörivässä järjestelmässä siinä liikkuviin kappaleisiin.

Milloin kumpaakin kuvausta käytetään

Molemmat kuvaukset ovat oikein ja päätyvät samoihin tuloksiin. Ulkoa, inertiaalijärjestelmästä, piirretään vain todelliset voimat ja niiden resultantti on $m\cdot \overline{a}$. Sisältä lisätään hitausvoima, ja kun kappale on ajoneuvoon nähden levossa, kaikkien voimien summa on nolla. Sisältä kannattaa laskea silloin, kun halutaan tietää, miten jokin käyttäytyy ajoneuvoon nähden: miten apina kääntyy, mitä vaaka näyttää hississä.

Vaikeudet alkavat, kun kuvaukset sekoitetaan. Joku piirtää esimerkiksi kaarteessa olevan auton tien näkökulmasta ja lisää kitkan rinnalle ulos osoittavan keskipakoisvoiman. Voimat kumoavat silloin toisensa, resultantiksi tulee nolla, ja auto ajaisi jatkavuuden lain mukaan suoraan eikä ympyrää. Keskipakoisvoima ei kuulu ulkoa piirrettyyn kuvaan. Se kuuluu vain sille, joka istuu sisällä ja pyörii muiden mukana.

Tähän artikkeliin päättyy kinematiikan ja dynamiikan selittävien artikkelien sarja. Seuraavaksi tulevat Ratkaistuja kinematiikan tehtäviä ja niiden jälkeen dynamiikan tehtäviä.