Forces d’inertie

Nina voyage en train vers Lyon et a suspendu un singe en peluche à un crochet près de la fenêtre, au bout d’une ficelle. Quand le train est arrêté, le singe pend verticalement vers le bas. Dès que le train démarre, il s’écarte vers l’arrière, à l’opposé du sens de la marche, et reste en biais tant que le train accélère. Qui l’a poussé ? Personne. Le singe n’a simplement pas démarré tout de suite avec le wagon.

Quand le référentiel accélère

Regardons d’abord depuis le quai. Le train accélère vers l’avant et le singe, d’après le principe d’inertie, préférerait rester où il est. Mais le crochet l’entraîne, la ficelle s’incline et se met à tirer le singe vers l’avant. Tout concorde : le singe accélère parce qu’une résultante non nulle s’exerce sur lui.

Nina, à l’intérieur du wagon, voit la situation autrement. Le singe est au repos par rapport à elle, mais en biais. Sur lui s’exercent le poids vers le bas et la force de la ficelle en biais vers le haut et vers l’avant. La somme de ces deux forces n’est pas nulle, car la ficelle tire un peu vers l’avant et rien ne l’en empêche. D’après les lois de Newton, le singe devrait démarrer vers l’avant, et pourtant il pend au repos. Dans le référentiel lié au train qui accélère, le principe d’inertie et la deuxième loi de Newton ne s’appliquent donc pas.

Un tel référentiel s’appelle un référentiel non galiléen. En font partie tous les référentiels qui accélèrent par rapport à un référentiel galiléen, par exemple par rapport au référentiel terrestre, que nous considérons comme galiléen : un train ou un autobus qui démarre ou freine, un ascenseur au départ, une voiture dans un virage, un manège.

La force d’inertie

Nina sait pourtant se débrouiller. Elle va simplement calculer comme si chaque corps du wagon subissait une force supplémentaire, dirigée à l’opposé de l’accélération du train :

$$\overrightarrow{F_i}=-m\cdot \overrightarrow{a},$$

où m est la masse du corps et $\overrightarrow{a}$ l’accélération du référentiel, ici du train. Cette force s’appelle la force d’inertie. Le signe moins indique le sens opposé : le train démarre vers l’avant, la force d’inertie est dirigée vers l’arrière. Si Nina l’ajoute aux autres forces, les forces qui s’exercent sur le singe donnent ensemble zéro et la première comme la deuxième loi de Newton valent de nouveau dans le wagon.

Ce que décrit la force d’inertie, nous le connaissons par expérience. Au démarrage, nous sommes « plaqués » contre le siège, au freinage « jetés » en avant dans la ceinture. Mais c’est une force vraiment particulière.

Une force que personne n’exerce

Toutes les forces avec lesquelles nous avons calculé jusqu’ici étaient l’action d’un corps sur un autre : la ficelle tire le singe, la Terre attire le singe. La force d’inertie, rien ne l’exerce. Essaie de chercher qui pousse le singe vers l’arrière. Tu ne trouveras personne. C’est pourquoi la force d’inertie n’a pas non plus de réaction. D’après la troisième loi de Newton, la réaction devrait s’exercer sur l’auteur de la force, et il n’y a pas d’auteur.

La force d’inertie est un outil de l’observateur qui voyage dans le référentiel en accélération. L’observateur du quai s’en passe et ne la dessine pas sur la figure. C’est pourquoi on l’appelle aussi force fictive. Cela ne veut pas dire que tu ne sens rien. Au démarrage, le siège te pousse vraiment dans le dos, mais c’est une force réelle, exercée par le siège, qui te fait démarrer avec le train.

Le singe vu de l’extérieur et de l’intérieur

Calculons de quel angle le singe s’écarte quand le train démarre avec une accélération de 0,8 m/s². Nous allons le faire deux fois, une fois depuis le quai et une fois depuis le wagon.

Depuis le quai. Sur le singe s’exercent le poids $\overrightarrow{P}$ et la force de la ficelle $\overrightarrow{F}$, écartée de la verticale d’un angle α. Le singe démarre avec le train, la résultante des deux forces est donc, d’après la deuxième loi de Newton, $m\cdot \overrightarrow{a}$ et elle est dirigée horizontalement vers l’avant. Nous décomposons la force de la ficelle en deux composantes. La verticale équilibre le poids, l’horizontale forme la résultante :

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

Depuis le wagon. Le singe pend au repos, la résultante est donc nulle. Outre le poids et la ficelle, s’exerce maintenant sur lui la force d’inertie de valeur m · a vers l’arrière. La composante verticale de la force de la ficelle équilibre le poids, l’horizontale la force d’inertie :

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

Nous avons obtenu exactement les mêmes équations, nous les avons seulement interprétées chaque fois autrement. Le produit m · a était de l’extérieur la résultante, de l’intérieur la force d’inertie. Nous divisons la deuxième équation par la première. La masse et la force de la ficelle se simplifient et le quotient du sinus et du cosinus est la tangente :

$$\tan \alpha =\frac{a}{g}$$

Nous remplaçons :

$$\tan \alpha =\frac{0,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \mathrm{0,082}$$

L’angle dont la tangente vaut 0,082, nous le trouvons sur la calculatrice avec la touche tan⁻¹ : α ≈ 4,7°. Le singe s’écarte d’un peu moins de cinq degrés, la figure exagère l’angle pour la lisibilité. La masse ne joue aucun rôle : un lourd sac à dos accroché au crochet s’écarterait exactement de la même façon. Cela marche aussi dans l’autre sens : celui qui mesure l’angle en déduit l’accélération du train. Un singe au bout d’une ficelle est un assez bon accéléromètre.

L’ascenseur vu de l’intérieur

Dans un ascenseur qui démarre vers le haut avec une accélération a, la force d’inertie est dirigée vers le bas, comme le poids. Au passager à l’intérieur, il semble que la Terre attire soudain plus fort, comme si l’intensité de la pesanteur était passée de g à g + a. Le sac qu’il tient paraît plus lourd et le plancher doit pousser plus fort. Quand l’ascenseur freine ensuite en haut, l’accélération est dirigée vers le bas, la force d’inertie vers le haut, et elle retranche un morceau du poids apparent.

Si l’ascenseur se décrochait et tombait avec l’accélération g, la force d’inertie m · g vers le haut annulerait exactement le poids et le passager flotterait à l’intérieur. De l’extérieur, c’est le même phénomène, il a seulement l’air différent : le passager tombe avec l’ascenseur et le plancher ne le pousse pas.

La force centrifuge

Un manège tourne, donc chacun de ses points a une accélération centripète ω² · r vers le centre. La force d’inertie est dirigée à l’opposé, donc vers l’extérieur à partir de l’axe, et s’appelle la force centrifuge :

$$F_{\mathrm{cf}}=m\cdot {\omega }^2\cdot r=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Pour un corps qui tourne avec le manège, elle a la même valeur que la force centripète, mais elle est dirigée à l’opposé, et elle n’existe que dans le référentiel qui tourne. C’est justement ce que nous entendons dans le langage courant par force centrifuge : ce qui plaque le passager contre la portière dans un virage. À l’intérieur de la voiture, c’est une description raisonnable. Mais depuis le trottoir, personne ne voit de force vers l’extérieur. On voit seulement la portière, qui pousse le passager vers le centre du virage et l’oblige à tourner avec la voiture.

Thomas a une masse de 30 kg et il est assis sur un manège de terrain de jeux pour enfants, à 1,5 m de l’axe. Il se tient à la poignée et son père fait tourner le manège à raison d’un tour en 4 s. La vitesse de Thomas est

$$\begin{array}{rl}v& =\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}\\ & =0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,36\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Depuis le banc, Thomas décrit un cercle, et la poignée doit donc le tirer vers le centre avec une force centripète. Sa valeur F_c est la valeur de la force verte de la poignée (nous ne comptons pas les frottements sur le siège) :

$$\begin{array}{rl}{F}_c& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{30\mathrm{kg}\cdot (0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\mathrm{m}}\\ & =11,25{\pi }^2\mathrm{N}\approx 111\mathrm{N}\end{array}$$

Depuis le manège, Thomas est assis au repos. La force centrifuge le tire vers l’extérieur, d’après la même formule de nouveau 111 N, et la poignée le retient vers l’intérieur avec une force de même valeur. Les forces sont en équilibre. Mais la force centrifuge n’est pas la réaction à la force de la poignée, toutes deux s’exercent sur Thomas. La réaction est la traction de Thomas sur la poignée. Les deux descriptions s’accordent sur ce que Thomas ressent vraiment : dans ses mains, il doit retenir environ 111 N, comme s’il soulevait un sac de onze kilos. Nous avons omis les forces verticales, le poids et la réaction normale, parce qu’elles s’annulent.

Et si Thomas lâche ? Dès que la poignée cesse de tirer, plus aucune force horizontale ne s’exerce et le siège ne le retient pas, parce que nous négligeons les frottements sur le siège. Thomas continue, d’après le principe d’inertie, en ligne droite, suivant la tangente au cercle. C’est exactement le comportement de la pierre quand la ficelle casse. Depuis le manège, cela paraît différent : Thomas s’éloigne de l’axe et en même temps reste en retard sur la rotation. Vu de l’intérieur, cette déviation est due à une autre force d’inertie encore, la force de Coriolis, qui s’exerce dans un référentiel tournant sur les corps qui s’y déplacent.

Quelle description utiliser

Les deux descriptions sont correctes et aboutissent aux mêmes résultats. De l’extérieur, d’un référentiel galiléen, nous ne dessinons que les forces réelles et leur résultante est $m\cdot \overrightarrow{a}$. De l’intérieur, nous ajoutons la force d’inertie, et quand le corps est au repos par rapport au véhicule, la somme de toutes les forces est nulle. Il vaut mieux calculer de l’intérieur quand ce qui nous intéresse, c’est le comportement de quelque chose par rapport au véhicule : de quel angle le singe s’écarte, ce qu’indique la balance dans l’ascenseur.

Le problème apparaît quand les deux descriptions sont mélangées. Par exemple, quelqu’un dessine une voiture dans un virage du point de vue de la route et ajoute aux frottements une force centrifuge vers l’extérieur. Les forces s’annulent alors, la résultante est nulle, et la voiture irait donc, d’après le principe d’inertie, en ligne droite, pas sur un cercle. La force centrifuge n’a pas sa place sur une figure faite de l’extérieur. Elle appartient seulement à celui qui est assis à l’intérieur et tourne avec les autres.

Cet article termine la série des articles de cours sur la cinématique et la dynamique. Suivent les Exercices corrigés de cinématique, puis ceux de dynamique.