Βάρος και φαινόμενο βάρος

«Ζυγίζω 70 κιλά», λέει ο Γιώργος. Όλοι καταλαβαίνουν τι εννοεί, κι όμως ένας φυσικός θα σήκωνε το φρύδι. Το κιλό είναι μονάδα μάζας, όχι δύναμης, και όταν ο Γιώργος στέκεται πάνω στη ζυγαριά, την πιέζει με μια δύναμη που μετριέται σε νιούτον. Στο πάτωμα του σπιτιού αυτό είναι απλώς λεπτολογία, σε έναν ανελκυστήρα ή στη Σελήνη όχι πια.

Μάζα και βάρος

Η μάζα m εκφράζει πόσο αντιστέκεται ένα σώμα στην αλλαγή της ταχύτητάς του. Μετριέται σε κιλά και δεν εξαρτάται από το πού βρίσκεται το σώμα. Ο Γιώργος έχει μάζα 70 kg στο σπίτι, στο αεροπλάνο και στη Σελήνη.

Το βάρος $\overrightarrow{B}$ είναι η δύναμη με την οποία η Γη έλκει το σώμα. Έχει κατακόρυφη διεύθυνση, φορά προς τα κάτω, και το μέτρο του το βρίσκουμε από τον τύπο

$$B=m\cdot g,$$

όπου g ≈ 9,81 m/s² είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας. Τη μονάδα m/s² μπορούμε να τη διαβάσουμε και ως N/kg, επειδή N = kg·m/s². Η επιτάχυνση της βαρύτητας δείχνει έτσι ταυτόχρονα ότι η Γη κοντά στην επιφάνειά της έλκει κάθε κιλό με δύναμη 9,81 N. Ένα σώμα με διπλάσια μάζα η Γη το έλκει με διπλάσια δύναμη.

Για τον Γιώργο βγαίνει

$$B=70\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 687\mathrm{N}.$$

Στη Σελήνη η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι μόνο περίπου 1,62 m/s², δηλαδή περίπου έξι φορές μικρότερη. Η Σελήνη έλκει λοιπόν τον Γιώργο με δύναμη

$$B=70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 113\mathrm{N}.$$

Το βάρος έγινε το ένα έκτο, η μάζα έμεινε 70 kg. Στη Σελήνη ο Γιώργος θα πηδούσε πολύ ψηλότερα, αν όμως ήθελε να σπρώξει ή να σταματήσει ένα φορτωμένο καροτσάκι, θα έπρεπε να καταβάλει την ίδια προσπάθεια όπως στο σπίτι. Πόση δύναμη απαιτεί μια αλλαγή της ταχύτητας, το καθορίζει σύμφωνα με τον θεμελιώδη νόμο η μάζα, και αυτή δεν άλλαξε. Και αν κλοτσούσε έναν βράχο στη Σελήνη, θα πονούσε πάλι το ίδιο.

Κάθετη δύναμη και φαινόμενο βάρος

Ο Γιώργος στέκεται στο σπίτι πάνω στη ζυγαριά. Η Γη τον έλκει προς τα κάτω, κι όμως δεν πέφτει, επειδή η ζυγαριά τον σπρώχνει προς τα πάνω με κάθετη δύναμη $\overrightarrow{N}$. Ο Γιώργος δεν κινείται, η συνισταμένη είναι μηδέν, άρα οι δύο δυνάμεις έχουν το ίδιο μέτρο, N = B ≈ 687 N.

Από πού προέρχεται η κάθετη δύναμη; Το πάτωμα και η επιφάνεια της ζυγαριάς κάτω από τον Γιώργο λυγίζουν ελάχιστα, όπως ένα ελατήριο, και προσπαθούν να επιστρέψουν στο αρχικό τους σχήμα. Όσο περισσότερο τα πιέζει, τόσο περισσότερο λυγίζουν και τόσο δυνατότερα σπρώχνουν προς τα πίσω. Το στήριγμα φτιάχνει έτσι μόνο του ακριβώς τόση δύναμη όση χρειάζεται, αλλά μόνο μέχρι ένα όριο: ο λεπτός πάγος σε μια λίμνη ή μια σάπια σανίδα δεν το αντέχουν.

Η κάθετη δύναμη ασκείται στον Γιώργο. Σύμφωνα με τον νόμο δράσης – αντίδρασης ο Γιώργος πιέζει τη ζυγαριά προς τα κάτω με εξίσου μεγάλη δύναμη. Τη δύναμη με την οποία ένα σώμα πιέζει το στήριγμά του ή τεντώνει το νήμα από το οποίο κρέμεται την ονομάζουμε φαινόμενο βάρος. Το βάρος και το φαινόμενο βάρος μπερδεύονται εύκολα, επειδή σε ηρεμία έχουν το ίδιο μέτρο και έχουν και τα δύο φορά προς τα κάτω. Η διαφορά είναι σε ποιον ασκούνται:

• το βάρος ασκείται στο σώμα, το έλκει η Γη,
• το φαινόμενο βάρος ασκείται στο στήριγμα ή στο νήμα, το σώμα το πιέζει ή το τεντώνει.

Το ίδιο ισχύει όταν ένα σώμα κρέμεται. Μια τσάντα πλάτης μάζας 8 kg στην κρεμάστρα την έλκει η Γη με βάρος περίπου 78 N και ο γάντζος την κρατά προς τα πάνω με εξίσου μεγάλη δύναμη. Η τσάντα τραβά ταυτόχρονα τον γάντζο προς τα κάτω με το φαινόμενο βάρος της, επίσης 78 N.

Το φαινόμενο βάρος έχει πάντα το ίδιο μέτρο με τη δύναμη που ασκεί το στήριγμα ή το νήμα στο σώμα, επειδή μαζί αποτελούν ζεύγος δράσης και αντίδρασης. Με το βάρος όμως δεν χρειάζεται να είναι ίσο, όπως σε λίγο θα δούμε.

Παρεμπιπτόντως, το βάρος δεν το νιώθουμε. Έλκει με την ίδια δύναμη κάθε κομμάτι του σώματος, τα χέρια, το στομάχι και το κεφάλι, και τίποτα στο σώμα δεν έχει τρόπο να το αντιληφθεί. Νιώθουμε μόνο πώς μας πιέζει από κάτω το πάτωμα ή η καρέκλα και πώς το σώμα συμπιέζεται λίγο κάτω από αυτή την πίεση. Αυτό που συνήθως θεωρούμε αίσθηση του βάρους μας είναι στην πραγματικότητα η κάθετη δύναμη.

Τι δείχνει η ζυγαριά του μπάνιου

Η ζυγαριά του μπάνιου κρύβει ένα ελατήριο ή μια ελαστική μεταλλική λωρίδα που λυγίζει υπό φορτίο. Μετρά λοιπόν τη δύναμη με την οποία την πιέζεις, δηλαδή το φαινόμενο βάρος σου, και είναι στην ουσία ένα δυναμόμετρο. Η οθόνη όμως δεν δείχνει νιούτον, αλλά κιλά. Ο κατασκευαστής υπέθεσε ότι θα στέκεσαι πάνω της σε ηρεμία στη Γη, όπου την πιέζεις με δύναμη m · g. Τη δύναμη που μετρήθηκε τη διαιρεί λοιπόν με την επιτάχυνση της βαρύτητας:

$$\frac{687\mathrm{N}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 70\mathrm{kg}$$

Όταν ο Γιώργος λέει «ζυγίζω 70 κιλά», εννοεί τη μάζα του και αυτή πράγματι είναι 70 kg. Με φυσική ακρίβεια θα έλεγε ότι έχει μάζα 70 kg και φαινόμενο βάρος 687 N. Στο σπίτι αυτό δεν κάνει διαφορά, επειδή η ζυγαριά μετατρέπει το ένα στο άλλο πάντα με τον ίδιο αριθμό.

Αν ο Γιώργος έπαιρνε την ίδια ζυγαριά στη Σελήνη, θα την πίεζε με δύναμη μόνο 113 N. Η ζυγαριά θα διαιρούσε υπάκουα με τον αριθμό 9,81 m/s² και θα έδειχνε

$$\frac{70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 11,6\mathrm{kg}.$$

Ο Γιώργος δεν έχασε ούτε γραμμάριο, η ζυγαριά απλώς υπολογίζει ότι βρίσκεται στη Γη. Λάθος θα ήταν λοιπόν να γράψουμε ότι στη Σελήνη έχει μάζα 11,6 kg. Τη μάζα στη Σελήνη θα την προσδιόριζε σωστά μόνο ένας ζυγός με δύο ίσους βραχίονες, που συγκρίνει το σώμα με σταθμά, επειδή η Σελήνη έλκει και τους δύο δίσκους εξίσου ασθενώς.

Η ζυγαριά στον ανελκυστήρα

Ο Γιώργος μπαίνει στον ανελκυστήρα στο ισόγειο, ανεβαίνει στη ζυγαριά και πηγαίνει προς τα πάνω. Ασκούνται σε αυτόν δύο δυνάμεις: το βάρος προς τα κάτω και η κάθετη δύναμη της ζυγαριάς προς τα πάνω. Θετική φορά διαλέγουμε προς τα πάνω, άρα η συνισταμένη είναι N − B και σύμφωνα με τον θεμελιώδη νόμο ισούται με m · α:

$$N-m\cdot g=m\cdot \alpha$$

Προσθέτουμε το m · g και βγάζουμε κοινό παράγοντα τη μάζα:

$$N=m\cdot (g+\alpha )$$

Ο ανελκυστήρας ξεκινά και έχει επιτάχυνση 2 m/s² προς τα πάνω. Είναι ένας αρκετά σβέλτος ανελκυστήρας: οι συνηθισμένοι ξεκινούν με περίπου μισή επιτάχυνση, για να μην ενοχλούνται οι επιβάτες. Αντικαθιστούμε:

$$\begin{array}{rl}N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 827\mathrm{N}\end{array}$$

Η ζυγαριά διαιρεί τη δύναμη με τον αριθμό 9,81 m/s² και δείχνει περίπου 84 kg. Ο Γιώργος στην οθόνη πήρε 14 κιλά. Στην πραγματικότητα η ζυγαριά πρέπει όχι μόνο να τον κρατά, αλλά και να τον σπρώχνει προς τα πάνω για να επιταχυνθεί, και γι' αυτό πιέζει δυνατότερα. Αυτή την ενισχυμένη πίεση ο Γιώργος την αισθάνεται στα πόδια ως επιπλέον φαινόμενο βάρος. Το βάρος του όμως δεν άλλαξε, η Γη τον έλκει ακόμη με δύναμη 687 N.

Μόλις ο ανελκυστήρας κινείται με σταθερή ταχύτητα, η επιτάχυνση είναι μηδέν και N = m · g. Η ζυγαριά δείχνει πάλι 70 kg και ο Γιώργος με κλειστά μάτια δεν θα καταλάβαινε αν κινείται ή στέκεται. Την ταχύτητα δεν την αισθανόμαστε, αισθανόμαστε μόνο την επιτάχυνση.

Λίγο πριν από τον όροφο προορισμού ο ανελκυστήρας φρενάρει. Η ταχύτητα έχει φορά προς τα πάνω, αλλά μειώνεται, άρα η επιτάχυνση έχει φορά προς τα κάτω, α = −2 m/s²:

$$\begin{array}{rl}N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2-2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 547\mathrm{N}\end{array}$$

Η ζυγαριά δείχνει περίπου 56 kg και ο Γιώργος έχει για λίγο την αίσθηση ότι είναι πιο ελαφρύς.

Στην κινούμενη εικόνα ο ανελκυστήρας στέκεται για λίγο, μετά ξεκινά προς τα πάνω, κινείται με σταθερή ταχύτητα, φρενάρει και σταματά. Το μπλε βέλος του βάρους έχει συνεχώς το ίδιο μήκος. Η πράσινη κάθετη δύναμη και η πράσινη στήλη δεξιά, που δείχνει την ένδειξη της ζυγαριάς, μακραίνουν στην εκκίνηση και μικραίνουν στο φρενάρισμα. Το μαύρο βέλος δίπλα στην καμπίνα δείχνει τη φορά της επιτάχυνσης. Η γκρίζα διακεκομμένη γραμμή σημαδεύει την ένδειξη σε ηρεμία, η οθόνη πάνω από τη στήλη δείχνει την ένδειξη σε κιλά.

Στον δρόμο προς τα κάτω συμβαίνει το αντίθετο. Στην εκκίνηση προς τα κάτω η επιτάχυνση έχει φορά προς τα κάτω και η ζυγαριά δείχνει λιγότερο, στο φρενάρισμα πριν από το ισόγειο έχει φορά προς τα πάνω και η ζυγαριά δείχνει περισσότερο. Καθοριστική είναι η φορά της επιτάχυνσης, όχι η φορά της κίνησης:

Μπορούμε να υπολογίσουμε και αντίστροφα. Η ζυγαριά στον ανελκυστήρα δείχνει 77 kg, ποια επιτάχυνση έχει ο ανελκυστήρας; Η ζυγαριά μέτρησε δύναμη N = 77 kg · 9,81 m/s². Από τον τύπο για την κάθετη δύναμη εκφράζουμε την επιτάχυνση, διαιρούμε την εξίσωση με τη μάζα και αφαιρούμε το g:

$$\alpha =\frac{N}{m}-g=\frac{77\mathrm{kg}\cdot g}{70\mathrm{kg}}-g=0,1\cdot g$$

Ο ανελκυστήρας έχει επιτάχυνση περίπου 0,98 m/s² προς τα πάνω. Είτε ξεκινά προς τα πάνω είτε φρενάρει καθώς κατεβαίνει, αυτό η ζυγαριά δεν μπορεί να το ξεχωρίσει.

Ανελκυστήρας σε πτώση και έλλειψη βαρύτητας

Και αν κοπεί το συρματόσχοινο; Έναν πραγματικό ανελκυστήρα θα τον σταματούσαν τα φρένα ασφαλείας, που σφηνώνουν στις οδηγούς ράγες, ας το σκεφτούμε όμως ως το τέλος. Ο ανελκυστήρας και ο Γιώργος πέφτουν τότε μόνο υπό την επίδραση του βάρους, όπως στην ελεύθερη πτώση, και έχουν επιτάχυνση g προς τα κάτω, δηλαδή α = −g:

$$N=m\cdot (g-g)=0\mathrm{N}$$

Η ζυγαριά δείχνει μηδέν. Ο Γιώργος και η ζυγαριά πέφτουν ακριβώς το ίδιο, ο Γιώργος δεν την πιέζει καθόλου και εκείνη δεν τον πιέζει. Αν άφηνε από το χέρι τα κλειδιά του, θα έμεναν να αιωρούνται στον αέρα δίπλα του, επειδή πέφτουν όπως εκείνος και η καμπίνα. Αυτό το λέμε έλλειψη βαρύτητας ή κατάσταση «χωρίς βάρος». Το φαινόμενο βάρος είναι μηδέν, τίποτα δεν πιέζει το στήριγμα ούτε τεντώνει το νήμα.

Το βάρος όμως δεν είναι μηδέν. Η Γη τραβά τον Γιώργο ακόμη με δύναμη 687 N και ακριβώς γι' αυτό πέφτει. Η έλλειψη βαρύτητας δεν σημαίνει ότι η βαρύτητα εξαφανίστηκε, μόνο ότι τίποτα δεν την εξισορροπεί από κάτω. Με ασφάλεια τη δοκιμάζουν οι επιβάτες ενός ειδικού αεροπλάνου, που για περίπου είκοσι δευτερόλεπτα πετά έτσι, ώστε να έχει επιτάχυνση ακριβώς g προς τα κάτω. Οι άνθρωποι μέσα αιωρούνται όλη την ώρα. Μια ασθενέστερη εκδοχή του ίδιου θα νιώσεις σε ένα αυτοκίνητο που περνά γρήγορα την κορυφή ενός λόφου. Για λίγο έχει επιτάχυνση προς τα κάτω, το κάθισμα πιέζει λιγότερο και το στομάχι σου φτερουγίζει.

Φορτίο g με δυνάμεις

Το φορτίο g λέει πόσες φορές δυνατότερα μας πιέζει το στήριγμα απ' ό,τι όταν στεκόμαστε ακίνητοι. Τώρα μπορούμε να το γράψουμε με δυνάμεις. Είναι ο λόγος της κάθετης δύναμης προς το βάρος:

$$\frac{N}{m\cdot g}=\frac{m\cdot (g+\alpha )}{m\cdot g}=\frac{g+\alpha }{g}$$

Η μάζα απλοποιήθηκε, το φορτίο g δεν εξαρτάται λοιπόν από αυτήν. Ένας βαρύς και ένας ελαφρύς επιβάτης στον ίδιο ανελκυστήρα θα νιώσουν το ίδιο φορτίο g. Στην εκκίνηση προς τα πάνω βγαίνει

$$\frac{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,2,$$

δηλαδή φορτίο 1,2g. Στο φρενάρισμα είναι 0,8g, σε ηρεμία και με σταθερή ταχύτητα 1g και στον ανελκυστήρα που πέφτει 0g. Το φορτίο g είναι λοιπόν το ίδιο με αυτό που δείχνει η ζυγαριά, διαιρεμένο με αυτό που θα έδειχνε σε ηρεμία: 84 kg προς 70 kg είναι πάλι 1,2.

Μέχρι τώρα εξετάσαμε τι κάνει μια δύναμη που ασκείται συνεχώς. Τι γίνεται όμως αν χτυπήσει μόνο για ένα κλάσμα του δευτερολέπτου, για παράδειγμα σε μια σύγκρουση ή όταν κλοτσάς μια μπάλα; Σε αυτό θα ρίξει μια ματιά το επόμενο άρθρο, Ορμή και ώθηση.