Poids et poids apparent

« Je pèse 70 kilos », dit Lucas. Tout le monde comprend ce qu’il veut dire, et pourtant un physicien froncerait les sourcils. Le kilogramme est une unité de masse, pas de force, et quand Lucas se tient sur la balance, il appuie dessus avec une force qui se mesure en newtons. À la maison, sur le sol, ce n’est que du pinaillage, mais dans un ascenseur ou sur la Lune, plus du tout.

Masse et poids

La masse m exprime à quel point un corps résiste à un changement de vitesse. Elle se mesure en kilogrammes et ne dépend pas de l’endroit où se trouve le corps. Lucas a une masse de 70 kg à la maison, dans l’avion et sur la Lune.

Le poids $\overrightarrow{P}$ est la force avec laquelle la Terre attire un corps (on parle aussi de force de pesanteur). Il est dirigé verticalement vers le bas et sa valeur se calcule par

$$P=m\cdot g,$$

où g ≈ 9,81 m/s² est l’intensité de la pesanteur. L’unité m/s² peut aussi se lire N/kg, car N = kg·m/s². L’intensité de la pesanteur indique donc en même temps qu’à la surface, la Terre attire chaque kilogramme avec une force de 9,81 N. Un corps de masse double est attiré par la Terre deux fois plus fort.

Pour Lucas, on obtient

$$P=70\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 687\mathrm{N}.$$

Sur la Lune, l’intensité de la pesanteur n’est que d’environ 1,62 m/s², soit à peu près six fois moins. La Lune attire donc Lucas avec une force de

$$P=70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 113\mathrm{N}.$$

Le poids a été divisé par six, la masse est restée de 70 kg. Sur la Lune, Lucas sauterait beaucoup plus haut, mais s’il voulait pousser ou arrêter un chariot chargé, il devrait s’y mettre autant qu’à la maison. La force qu’exige un changement de vitesse est déterminée, d’après la deuxième loi de Newton, par la masse, et celle-ci n’a pas changé. Et donner un coup de pied dans un rocher ferait toujours aussi mal sur la Lune.

Réaction normale et poids apparent

Lucas se tient sur la balance à la maison. La Terre le tire vers le bas, et pourtant il ne tombe pas, car la balance le pousse vers le haut avec la réaction normale du support $\overrightarrow{R_N}$ (la force perpendiculaire au support). Lucas ne bouge pas, la résultante est nulle, donc les deux forces ont la même valeur, R_N = P ≈ 687 N.

D’où vient la réaction normale ? Le sol et le plateau de la balance fléchissent légèrement sous Lucas, comme un ressort, et cherchent à retrouver leur forme initiale. Plus il appuie dessus, plus ils fléchissent et plus ils repoussent fort. Le support fabrique ainsi lui-même exactement la force nécessaire, mais seulement jusqu’à une certaine limite : de la glace mince sur un étang ou une planche pourrie ne la supporteront pas.

La réaction normale s’exerce sur Lucas. D’après le principe des actions réciproques, Lucas appuie sur la balance vers le bas avec une force de même valeur. La force avec laquelle un corps appuie sur son support ou tire sur le fil qui le retient s’appelle le poids apparent. On confond facilement le poids et le poids apparent, car au repos ils ont la même valeur et sont tous deux dirigés vers le bas. La différence est dans ce sur quoi ils s’exercent :

• le poids s’exerce sur le corps, c’est la Terre qui l’attire,
• le poids apparent s’exerce sur le support ou sur le fil, le corps appuie sur le support ou tire sur le fil.

Pour un fil, c’est la même chose. Un sac à dos de masse 8 kg accroché à un portemanteau est attiré par la Terre avec un poids d’environ 78 N, et le crochet le retient vers le haut avec une force de même valeur. Le sac à dos tire en même temps sur le crochet vers le bas avec son poids apparent, lui aussi de 78 N.

Le poids apparent a toujours la même valeur que la force exercée par le support ou le fil sur le corps, car ces deux forces forment une paire action-réaction. En revanche, il n’est pas forcément égal au poids, comme nous le verrons dans un instant.

Au passage, nous ne sentons pas le poids. Il tire de la même façon sur chaque petit morceau du corps, sur les mains, l’estomac et la tête, et rien ne permet de le percevoir. Nous ne sentons que le sol ou la chaise qui nous poussent par en dessous et le corps qui se comprime un peu sous cette pression. C’est justement la réaction normale qui correspond à ce que nous prenons d’habitude pour la sensation de notre propre poids.

Ce qu’affiche le pèse-personne

Le pèse-personne cache un ressort ou une lame métallique élastique qui fléchit sous la charge. Il mesure donc la force avec laquelle tu appuies dessus, c’est-à-dire ton poids apparent, et c’est en fait un dynamomètre. Mais l’écran n’affiche pas des newtons, il affiche des kilogrammes. Le fabricant a supposé que tu te tiendrais sur la balance au repos sur la Terre, où tu appuies dessus avec une force m · g. Il divise donc la force mesurée par l’intensité de la pesanteur :

$$\frac{687\mathrm{N}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 70\mathrm{kg}$$

Quand Lucas dit « je pèse 70 kilos », il parle donc de sa masse, et elle est bien de 70 kg. En toute rigueur physique, il dirait qu’il a une masse de 70 kg et un poids apparent de 687 N. À la maison, cela revient au même, car la balance convertit l’un en l’autre toujours avec le même nombre.

Si Lucas emportait la même balance sur la Lune, il appuierait dessus avec une force de seulement 113 N. La balance diviserait docilement par le nombre 9,81 m/s² et afficherait

$$\frac{70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 11,6\mathrm{kg}.$$

Lucas n’a pourtant pas maigri d’un gramme, la balance part simplement du principe qu’il se tient sur la Terre. Ce serait donc une erreur d’écrire que sa masse sur la Lune est de 11,6 kg. Seule une balance à fléau, qui compare le corps à des masses marquées, déterminerait correctement la masse sur la Lune, car la Lune attire les deux plateaux avec la même faiblesse.

La balance dans un ascenseur

Lucas entre dans un ascenseur au rez-de-chaussée, monte sur la balance et l’ascenseur part vers le haut. Deux forces s’exercent sur lui : le poids vers le bas et la réaction normale de la balance vers le haut. Nous choisissons comme sens positif le haut, la résultante est donc R_N − P et, d’après la deuxième loi de Newton, elle est égale à m · a :

$$R_N-m\cdot g=m\cdot a$$

Nous ajoutons m · g et nous mettons la masse en facteur :

$$R_N=m\cdot (g+a)$$

L’ascenseur démarre avec une accélération de 2 m/s² vers le haut. C’est un ascenseur très vif : les ascenseurs ordinaires démarrent avec environ la moitié de cette accélération, pour que les passagers ne soient pas incommodés. Nous remplaçons :

$$\begin{array}{rl}{R}_N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 827\mathrm{N}\end{array}$$

La balance divise la force par le nombre 9,81 m/s² et affiche environ 84 kg. À l’écran, Lucas a pris 14 kilos. En réalité, la balance doit non seulement le soutenir, mais aussi le mettre en mouvement vers le haut, et elle pousse donc plus fort. Lucas sent cette poussée renforcée dans ses jambes comme un poids apparent supplémentaire. Le poids, lui, n’a pas changé, la Terre l’attire toujours avec une force de 687 N.

Dès que l’ascenseur roule à vitesse constante, l’accélération est nulle et R_N = m · g. La balance affiche de nouveau 70 kg et, les yeux fermés, Lucas ne pourrait pas dire si l’ascenseur monte ou s’il est à l’arrêt. Nous ne sentons pas la vitesse, nous ne sentons que l’accélération.

Avant l’étage d’arrivée, l’ascenseur freine. La vitesse est dirigée vers le haut, mais elle diminue, donc l’accélération est dirigée vers le bas, a = −2 m/s² :

$$\begin{array}{rl}{R}_N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2-2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 547\mathrm{N}\end{array}$$

La balance affiche environ 56 kg et Lucas a un instant l’impression d’être plus léger.

Dans l’animation, l’ascenseur reste d’abord à l’arrêt, puis démarre vers le haut, roule à vitesse constante, freine et s’arrête. Le poids bleu garde toujours la même longueur. La réaction normale verte et la colonne verte à droite, qui montre l’indication de la balance, s’allongent au démarrage et se raccourcissent au freinage. La flèche noire à côté de la cabine indique où est dirigée l’accélération. La ligne grise en pointillés marque l’indication au repos, l’écran au-dessus de la colonne affiche l’indication en kilogrammes.

En descente, c’est l’inverse. Au démarrage vers le bas, l’accélération est dirigée vers le bas et la balance affiche moins ; au freinage avant le rez-de-chaussée, elle est dirigée vers le haut et la balance affiche plus. Ce qui compte, c’est le sens de l’accélération, pas le sens du mouvement :

On peut aussi calculer à l’envers. La balance dans l’ascenseur affiche 77 kg, quelle est l’accélération de l’ascenseur ? La balance a mesuré une force R_N = 77 kg · 9,81 m/s². De la formule de la réaction normale, nous exprimons l’accélération : nous divisons l’équation par la masse et nous retranchons g :

$$a=\frac{R_N}{m}-g=\frac{77\mathrm{kg}\cdot g}{70\mathrm{kg}}-g=0,1\cdot g$$

L’ascenseur a une accélération d’environ 0,98 m/s² vers le haut. Soit il démarre vers le haut, soit il freine en descendant, la balance ne fait pas la différence.

Ascenseur en chute libre et apesanteur

Et si le câble cassait ? Un vrai ascenseur serait arrêté par les freins de sécurité, qui se coincent dans les rails de guidage, mais allons au bout de l’idée. L’ascenseur et Lucas tombent alors sous la seule action du poids, comme dans une chute libre, et ont une accélération g vers le bas, donc a = −g :

$$R_N=m\cdot (g-g)=0\mathrm{N}$$

La balance affiche zéro. Lucas et la balance tombent exactement de la même façon, Lucas n’appuie pas du tout sur elle et elle ne le pousse pas. S’il lâchait ses clés, elles resteraient suspendues dans l’air à côté de lui, car elles tombent comme lui et comme la cabine. C’est ce qu’on appelle l’apesanteur. Le poids apparent est nul, rien n’appuie sur le support ni ne tire sur le fil.

Mais le poids, lui, n’est pas nul. La Terre attire toujours Lucas avec une force de 687 N et c’est justement pour cela qu’il tombe. L’apesanteur ne signifie pas que la gravitation a disparu, seulement que rien ne la compense par en dessous. Les passagers d’un avion spécial l’éprouvent en toute sécurité : pendant une vingtaine de secondes, l’avion vole de façon à avoir exactement l’accélération g vers le bas. Les gens à l’intérieur flottent pendant tout ce temps. Tu en connais une version atténuée dans une voiture qui franchit rapidement le sommet d’une côte. Pendant un instant, elle a une accélération vers le bas, le siège pousse moins et l’estomac se soulève.

Le facteur de charge en termes de forces

Le facteur de charge indique combien de fois plus fort le support nous pousse que lorsque nous sommes tranquillement debout. Maintenant, nous savons l’écrire avec les forces. C’est le rapport de la réaction normale au poids :

$$\frac{R_N}{m\cdot g}=\frac{m\cdot (g+a)}{m\cdot g}=\frac{g+a}{g}$$

La masse s’est simplifiée, le facteur de charge n’en dépend donc pas. Un passager lourd et un passager léger dans le même ascenseur éprouvent le même facteur de charge. Au démarrage vers le haut, on obtient

$$\frac{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,2,$$

donc un facteur de charge de 1,2g. Au freinage, il est de 0,8g, au repos comme à vitesse constante de 1g, et dans l’ascenseur en chute de 0g. Le facteur de charge est donc la même chose que ce qu’affiche la balance, simplement divisé par ce qu’elle afficherait au repos : 84 kg sur 70 kg font de nouveau 1,2.

Jusqu’ici, nous avons étudié ce que fait une force qui s’exerce en permanence. Et si elle frappe seulement une fraction de seconde, par exemple lors d’un choc ou d’un coup de pied dans un ballon ? C’est ce que verra l’article suivant, Quantité de mouvement et impulsion d’une force.