Peso y peso aparente

«Peso 70 kilos», dice Martín. Todo el mundo sabe lo que quiere decir y, aun así, un físico alzaría las cejas. El kilogramo es una unidad de masa, no de fuerza, y cuando Martín se sube a la báscula, presiona sobre ella con una fuerza que se mide en newtons. En casa, sobre el suelo, es solo una sutileza; en un ascensor o en la Luna, ya no.

Masa y peso

La masa m expresa cuánto se resiste un cuerpo a cambiar de velocidad. Se mide en kilogramos y no depende de dónde esté el cuerpo. Martín tiene una masa de 70 kg en casa, en el avión y en la Luna.

El peso $\overrightarrow{P}$ es la fuerza con que la Tierra atrae al cuerpo. Apunta verticalmente hacia abajo y su módulo lo calculamos como

$$P=m\cdot g,$$

donde g ≈ 9,81 m/s² es la aceleración de la gravedad. La unidad m/s² también podemos leerla como N/kg, porque N = kg·m/s². La aceleración de la gravedad indica así a la vez que, cerca de la superficie, la Tierra atrae cada kilogramo con una fuerza de 9,81 N. A un cuerpo con el doble de masa la Tierra lo atrae con el doble de fuerza.

Para Martín resulta

$$P=70\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 687\mathrm{N}.$$

En la Luna la aceleración de la gravedad es de solo unos 1,62 m/s², aproximadamente seis veces menor. Por eso la Luna atrae a Martín con una fuerza de

$$P=70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 113\mathrm{N}.$$

El peso se ha reducido a la sexta parte; la masa sigue siendo 70 kg. En la Luna Martín saltaría mucho más alto, pero si quisiera empujar o detener un carrito cargado, tendría que esforzarse igual que en casa. Cuánta fuerza exige un cambio de velocidad lo determina, según la segunda ley de Newton, la masa, y esa no ha cambiado. Y darle una patada a una roca dolería en la Luna igual que aquí.

Fuerza normal y peso aparente

Martín está en casa, de pie sobre la báscula. La Tierra tira de él hacia abajo y, aun así, no cae, porque la báscula lo empuja hacia arriba con la fuerza normal $\overrightarrow{N}$. Martín no se mueve, la resultante es nula, así que las dos fuerzas tienen el mismo módulo, N = P ≈ 687 N.

¿De dónde sale la fuerza normal? El suelo y el plato de la báscula se doblan imperceptiblemente bajo Martín, igual que un muelle, y tratan de recuperar su forma original. Cuanto más se les presiona, más se doblan y con más fuerza empujan a su vez. El apoyo fabrica así por sí mismo justo la fuerza que hace falta, aunque solo hasta cierto límite: una capa fina de hielo en un estanque o una tabla podrida no lo aguantan.

La fuerza normal actúa sobre Martín. Según la ley de acción y reacción, Martín empuja la báscula hacia abajo con una fuerza igual. A la fuerza con que un cuerpo presiona sobre el apoyo o tira del hilo del que cuelga la llamamos peso aparente. El peso y el peso aparente se confunden fácilmente, porque en reposo tienen el mismo módulo y los dos apuntan hacia abajo. La diferencia está en sobre qué actúan:

• el peso actúa sobre el cuerpo, es la Tierra la que tira de él,
• el peso aparente actúa sobre el apoyo o el hilo del que cuelga: es el cuerpo el que presiona sobre el apoyo o tira del hilo.

Con un cuerpo colgado ocurre lo mismo. A una mochila de 8 kg colgada de una percha la Tierra la atrae con un peso de unos 78 N y el gancho la sostiene con una fuerza igual hacia arriba. La mochila, por su parte, tira del gancho hacia abajo con su peso aparente, también 78 N.

El peso aparente tiene siempre el mismo módulo que la fuerza con que el apoyo o el hilo actúa sobre el cuerpo, porque las dos forman una pareja de acción y reacción. Con el peso, en cambio, no tiene por qué coincidir, como veremos enseguida.

Por cierto, el peso no lo notamos. La Tierra tira por igual de cada trocito del cuerpo, de las manos, del estómago y de la cabeza, y no hay nada que lo pueda detectar. Lo que sí notamos es cómo nos empuja desde abajo el suelo o la silla y cómo bajo esa presión el cuerpo se comprime un poco. Precisamente la fuerza normal es lo que solemos percibir como la sensación de pesar.

Qué marca la báscula del baño

La báscula personal esconde un muelle o una lámina de metal elástica que se dobla bajo la carga. Mide, pues, la fuerza con que presionas sobre ella, es decir, tu peso aparente, y en el fondo es un dinamómetro. Pero en la pantalla no se ven newtons, sino kilogramos. El fabricante supuso que te pondrías sobre la báscula en reposo y en la Tierra, donde presionas sobre ella con una fuerza m · g. Por eso divide la fuerza medida entre la aceleración de la gravedad:

$$\frac{687\mathrm{N}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 70\mathrm{kg}$$

Así que cuando Martín dice «peso 70 kilos», se refiere a su masa, y esta es realmente de 70 kg. Dicho con precisión física, diría que tiene una masa de 70 kg y un peso aparente de 687 N. En casa sale lo mismo, porque la báscula convierte una cosa en la otra siempre con el mismo número.

Si Martín se llevara la misma báscula a la Luna, presionaría sobre ella con una fuerza de solo 113 N. La báscula, obediente, dividiría entre 9,81 m/s² y marcaría

$$\frac{70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 11,6\mathrm{kg}.$$

Martín, sin embargo, no ha adelgazado ni un gramo; la báscula simplemente cuenta con que está en la Tierra. Sería un error escribir que en la Luna tiene una masa de 11,6 kg. La masa en la Luna solo la determinaría bien una balanza de brazos iguales, que compara el cuerpo con pesas, porque la Luna atrae los dos platillos igual de débilmente.

La báscula en un ascensor

Martín entra en un ascensor en la planta baja, se sube a la báscula y viaja hacia arriba. Sobre él actúan dos fuerzas: el peso, hacia abajo, y la fuerza normal de la báscula, hacia arriba. Elegimos el sentido positivo hacia arriba, así que la resultante es N − P y, según la segunda ley de Newton, es igual a m · a:

$$N-m\cdot g=m\cdot a$$

Sumamos m · g y sacamos factor común la masa:

$$N=m\cdot (g+a)$$

El ascensor arranca con una aceleración de 2 m/s² hacia arriba. Es un ascensor bastante ágil: los normales arrancan más o menos con la mitad de aceleración, para que los pasajeros no se sientan incómodos. Sustituimos:

$$\begin{array}{rl}N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 827\mathrm{N}\end{array}$$

La báscula divide la fuerza entre el número 9,81 m/s² y marca unos 84 kg. En la pantalla Martín ha engordado 14 kilos. En realidad la báscula no solo tiene que sostenerlo, sino además ponerlo en marcha hacia arriba, y por eso empuja con más fuerza. Ese empuje reforzado lo nota Martín en las piernas como un peso aparente adicional. El peso, mientras tanto, no ha cambiado: la Tierra sigue tirando de él con 687 N.

En cuanto el ascensor va a velocidad constante, la aceleración es nula y N = m · g. La báscula vuelve a marcar 70 kg y Martín, con los ojos cerrados, no distinguiría si se mueve o está parado. La velocidad no la notamos, solo notamos la aceleración.

Antes de llegar a la planta de destino el ascensor frena. La velocidad apunta hacia arriba, pero disminuye, así que la aceleración apunta hacia abajo, a = −2 m/s²:

$$\begin{array}{rl}N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2-2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 547\mathrm{N}\end{array}$$

La báscula marca unos 56 kg y Martín tiene por un momento la sensación de pesar menos.

En la animación el ascensor está un rato parado, luego arranca hacia arriba, va a velocidad constante, frena y se detiene. El peso azul se mantiene siempre con la misma longitud. La fuerza normal verde y la columna verde de la derecha, que indica la lectura de la báscula, se alargan al arrancar y se acortan al frenar. La flecha negra junto a la cabina muestra hacia dónde apunta la aceleración. La línea gris discontinua marca la lectura en reposo; la pantalla sobre la columna muestra la lectura en kilogramos.

Al bajar ocurre lo contrario. Al arrancar hacia abajo la aceleración apunta hacia abajo y la báscula marca menos; al frenar antes de la planta baja apunta hacia arriba y la báscula marca más. Lo que decide es el sentido de la aceleración, no el sentido del viaje:

También se puede calcular al revés. La báscula del ascensor marca 77 kg, ¿qué aceleración tiene el ascensor? La báscula ha medido una fuerza N = 77 kg · 9,81 m/s². De la fórmula de la fuerza normal despejamos la aceleración: dividimos la ecuación entre la masa y restamos g:

$$a=\frac{N}{m}-g=\frac{77\mathrm{kg}\cdot g}{70\mathrm{kg}}-g=0,1\cdot g$$

El ascensor tiene una aceleración de unos 0,98 m/s² hacia arriba. O arranca hacia arriba, o frena bajando; eso la báscula no lo distingue.

Ascensor en caída e ingravidez

¿Y si se rompe el cable? A un ascensor de verdad lo detendrían los frenos de seguridad, que se agarran a los raíles guía, pero vamos a pensarlo hasta el final. El ascensor y Martín caen entonces solo por efecto del peso, igual que en la caída libre, y tienen una aceleración g hacia abajo, es decir, a = −g:

$$N=m\cdot (g-g)=0\mathrm{N}$$

La báscula marca cero. Martín y la báscula caen exactamente igual, Martín no presiona sobre ella en absoluto y ella no presiona sobre él. Si soltara las llaves, se quedarían flotando en el aire a su lado, porque caen igual que él y que la cabina. A esto se le llama ingravidez o estado de ingravidez. El peso aparente es nulo: nada presiona sobre el apoyo ni tira de ningún hilo.

El peso, sin embargo, no es nulo. La Tierra sigue atrayendo a Martín con 687 N y justo por eso cae. La ingravidez no significa que la atracción de la Tierra haya desaparecido, solo que nada la equilibra desde abajo. La experimentan sin peligro los pasajeros de un avión especial que durante unos veinte segundos vuela de modo que su aceleración es exactamente g hacia abajo. Las personas de dentro flotan todo ese tiempo. Una versión más débil de lo mismo la vives en un coche que pasa rápido la cima de una cuesta. Por un instante tiene aceleración hacia abajo, el asiento empuja menos y se te encoge el estómago.

Sobrecarga expresada con fuerzas

La sobrecarga dice cuántas veces más fuerte nos empuja el apoyo que cuando estamos quietos. Ahora ya podemos escribirla con fuerzas. Es la razón entre la fuerza normal y el peso:

$$\frac{N}{m\cdot g}=\frac{m\cdot (g+a)}{m\cdot g}=\frac{g+a}{g}$$

La masa se ha simplificado, así que la sobrecarga no depende de ella. Un pasajero pesado y uno ligero en el mismo ascensor experimentan la misma sobrecarga. Al arrancar hacia arriba resulta

$$\frac{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,2,$$

es decir, una sobrecarga de 1,2g. Al frenar es de 0,8g, en reposo y a velocidad constante de 1g y en un ascensor en caída de 0g. La sobrecarga es, pues, lo mismo que marca la báscula, dividido entre lo que marcaría en reposo: 84 kg entre 70 kg vuelve a ser 1,2.

Hasta ahora hemos estudiado qué hace una fuerza que actúa todo el tiempo. ¿Y si golpea solo durante una fracción de segundo, por ejemplo en un choque o al chutar un balón? De eso se ocupa el siguiente artículo, Momento lineal e impulso mecánico.