Tyngdekraft og tilsyneladende vægt

»Jeg vejer 70 kilo,« siger Oscar. Alle ved, hvad han mener, og alligevel ville en fysiker hæve øjenbrynene. Kilogram er en enhed for masse, ikke for kraft, og når Oscar står på en vægt, trykker han på den med en kraft, som måles i newton. Derhjemme på gulvet er det bare ordkløveri, men i en elevator eller på Månen er det ikke.

Masse og tyngdekraft

Massen m udtrykker, hvor meget et legeme modstår en ændring af sin hastighed. Den måles i kilogram og afhænger ikke af, hvor legemet befinder sig. Oscar har massen 70 kg derhjemme, i et fly og på Månen.

Tyngdekraften $\overrightarrow{F_t}$ er den kraft, hvormed Jorden tiltrækker et legeme. Den peger lodret nedad, og dens størrelse bestemmer vi som

$$F_t=m\cdot g,$$

hvor g ≈ 9,81 m/s² er tyngdeaccelerationen. Enheden m/s² kan vi også læse som N/kg, fordi N = kg·m/s². Tyngdeaccelerationen fortæller dermed samtidig, at Jorden ved overfladen trækker i hvert kilogram med kraften 9,81 N. Et legeme med dobbelt så stor masse trækker Jorden dobbelt så kraftigt i.

For Oscar får vi

$$F_t=70\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 687\mathrm{N}.$$

På Månen er tyngdeaccelerationen kun cirka 1,62 m/s², altså omkring seks gange mindre. Månen trækker derfor i Oscar med kraften

$$F_t=70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 113\mathrm{N}.$$

Tyngdekraften blev til en sjettedel, massen forblev 70 kg. På Månen kunne Oscar hoppe meget højere, men hvis han ville skubbe i gang eller standse en læsset vogn, skulle han bruge lige så mange kræfter som derhjemme. Hvor stor en kraft en hastighedsændring kræver, afgør ifølge kraftloven massen, og den har ikke ændret sig. Og at sparke til en kampesten ville gøre lige så ondt på Månen.

Normalkraft og tilsyneladende vægt

Oscar står derhjemme på en badevægt. Jorden trækker ham nedad, og alligevel falder han ikke, for vægten skubber ham opad med normalkraften $\overrightarrow{F_N}$. Oscar bevæger sig ikke, den resulterende kraft er nul, så de to kræfter er lige store, F_N = F_t ≈ 687 N.

Hvor kommer normalkraften fra? Både gulvet og vægtens plade bøjer sig en smule under Oscar, ligesom en fjeder, og forsøger at vende tilbage til den oprindelige form. Jo hårdere han trykker på dem, desto mere bøjer de, og desto kraftigere skubber de tilbage. Underlaget frembringer selv præcis så meget kraft, som der er brug for, dog kun op til en vis grænse: tynd is på en sø eller et rådnet bræt holder ikke.

Normalkraften virker på Oscar. Ifølge loven om aktion og reaktion trykker Oscar på vægten med en lige så stor kraft nedad. Den kraft, hvormed et legeme trykker på underlaget eller trækker i ophænget, kalder vi tilsyneladende vægt. Tyngdekraften og den tilsyneladende vægt forveksles let, fordi de i hvile er lige store, og begge peger nedad. Forskellen er, hvad de virker på:

• tyngdekraften virker på legemet, det er Jorden, der trækker i det,
• den tilsyneladende vægt virker på underlaget eller ophænget, legemet trykker på det eller trækker i det.

Med et ophæng er det det samme. Jorden trækker i en rygsæk med massen 8 kg på en knage med tyngdekraften cirka 78 N, og knagen holder den med en lige så stor kraft opad. Rygsækken trækker samtidig knagen nedad med sin tilsyneladende vægt, også 78 N.

Den tilsyneladende vægt har altid samme størrelse som den kraft, hvormed underlaget eller ophænget virker på legemet, for de to udgør et par af aktion og reaktion. Med tyngdekraften behøver den dog ikke være lige stor, som vi om lidt skal se.

Forresten mærker vi ikke tyngdekraften. Den trækker lige kraftigt i hver eneste lille del af kroppen, i hænderne, maven og hovedet, og der er ikke noget, der kan registrere den. Vi mærker først, hvordan gulvet eller stolen trykker op under os, og hvordan kroppen bliver en smule trykket sammen af det. Det er netop normalkraften, der svarer til følelsen af, hvor tunge vi er.

Hvad badevægten viser

En badevægt gemmer en fjeder eller et elastisk metalbånd, der bøjer sig under belastning. Den måler altså den kraft, du trykker på den med, det vil sige din tilsyneladende vægt, og er i grunden en kraftmåler. På displayet lyser der dog ikke newton, men kilogram. Producenten gik ud fra, at du står stille på Jorden, hvor du trykker på vægten med kraften m · g. Den målte kraft deler den derfor med tyngdeaccelerationen:

$$\frac{687\mathrm{N}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 70\mathrm{kg}$$

Når Oscar siger »jeg vejer 70 kilo«, mener han sin masse, og den er virkelig 70 kg. Fysisk præcist ville han sige, at han har massen 70 kg og den tilsyneladende vægt 687 N. Derhjemme kommer det ud på ét, for vægten omregner det ene til det andet med det samme tal hver gang.

Hvis Oscar tog den samme vægt med til Månen, ville han trykke på den med kun 113 N. Vægten ville lydigt dele med tallet 9,81 m/s² og vise

$$\frac{70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 11,6\mathrm{kg}.$$

Oscar tabte sig ikke et gram, vægten regner bare med, at han står på Jorden. Det ville derfor være en fejl at skrive, at han har massen 11,6 kg på Månen. Massen ville på Månen kun blive bestemt rigtigt af en skålvægt, som sammenligner legemet med lodder, for Månen trækker i begge skåle lige svagt.

Vægten i en elevator

Oscar stiger ind i en elevator i stueetagen, stiller sig på vægten og kører opad. To kræfter virker på ham: tyngdekraften nedad og vægtens normalkraft opad. Vi vælger opad som positiv retning, så den resulterende kraft er F_N − F_t, og ifølge kraftloven er den lig med m · a:

$$F_N-m\cdot g=m\cdot a$$

Vi lægger m · g til og sætter massen uden for parentes:

$$F_N=m\cdot (g+a)$$

Elevatoren sætter i gang og har accelerationen 2 m/s² opad. Det er en rigtig rask elevator: almindelige elevatorer sætter i gang med cirka det halve af det, så passagererne ikke får det ubehageligt. Vi indsætter:

$$\begin{array}{rl}{F}_N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 827\mathrm{N}\end{array}$$

Vægten deler kraften med tallet 9,81 m/s² og viser cirka 84 kg. På displayet tog Oscar 14 kilo på. I virkeligheden skal vægten ikke blot bære ham, men også sætte ham i gang opad, og den trykker derfor kraftigere. Det forstærkede tryk mærker Oscar i benene som en ekstra tyngde. Tyngdekraften har imidlertid ikke ændret sig, Jorden trækker stadig i ham med kraften 687 N.

Så snart elevatoren kører med konstant fart, er accelerationen nul og F_N = m · g. Vægten viser igen 70 kg, og Oscar kunne med lukkede øjne ikke afgøre, om han kører eller står stille. Fart mærker vi ikke, vi mærker kun acceleration.

Før den øverste etage bremser elevatoren. Hastigheden peger opad, men farten aftager, så accelerationen peger nedad, a = −2 m/s²:

$$\begin{array}{rl}{F}_N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2-2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 547\mathrm{N}\end{array}$$

Vægten viser cirka 56 kg, og Oscar har et øjeblik følelsen af at være lettere.

I animationen står elevatoren et øjeblik stille, sætter så i gang opad, kører med konstant fart, bremser og standser. Den blå tyngdekraft er hele tiden lige lang. Den grønne normalkraft og den grønne søjle til højre, som viser vægtens udslag, bliver længere ved igangsætningen og kortere ved opbremsningen. Den sorte pil ved siden af kabinen viser, hvor accelerationen peger hen. Den grå stiplede linje markerer udslaget i hvile, displayet over søjlen viser udslaget i kilogram.

På vej nedad er det omvendt. Ved igangsætning nedad peger accelerationen nedad, og vægten viser mindre, ved opbremsning før stueetagen peger den opad, og vægten viser mere. Det afgør accelerationens retning, ikke kørselsretningen:

Man kan også regne baglæns. Vægten i en elevator viser 77 kg, hvilken acceleration har elevatoren? Vægten målte kraften F_N = 77 kg · 9,81 m/s². Af formlen for normalkraften udtrykker vi accelerationen, deler ligningen med massen og trækker g fra:

$$a=\frac{F_N}{m}-g=\frac{77\mathrm{kg}\cdot g}{70\mathrm{kg}}-g=0,1\cdot g$$

Elevatoren har accelerationen cirka 0,98 m/s² opad. Enten sætter den i gang opad, eller også bremser den på vej nedad, det kan vægten ikke skelne.

Faldende elevator og vægtløshed

Og hvad hvis elevatorens wire brister? En rigtig elevator ville blive standset af fangbremser, der bider sig fast i styreskinnerne, men lad os tænke det til ende. Elevatoren og Oscar falder så kun på grund af tyngdekraften, ligesom i frit fald, og har accelerationen g nedad, altså a = −g:

$$F_N=m\cdot (g-g)=0\mathrm{N}$$

Vægten viser nul. Oscar og vægten falder fuldstændig ens, Oscar trykker slet ikke på den, og den trykker ikke på ham. Hvis han slap nogle nøgler, ville de blive hængende i luften ved siden af ham, for de falder ligesom han og kabinen. Det kalder vi vægtløshed. Den tilsyneladende vægt er nul, intet trykker på underlaget eller trækker i et ophæng.

Tyngdekraften er dog ikke nul. Jorden trækker stadig i Oscar med kraften 687 N, og netop derfor falder han. Vægtløshed betyder ikke, at gravitationen er forsvundet, kun at intet nedefra holder den i ligevægt. Passagerer i et særligt fly, der i cirka tyve sekunder flyver sådan, at det har accelerationen præcis g nedad, kan prøve den sikkert. Menneskerne indeni svæver hele tiden. En svagere udgave oplever du i en bil, der hurtigt kører over toppen af en bakke. Et øjeblik har den acceleration nedad, sædet trykker mindre, og det kilder i maven.

G-kraft udtrykt med kræfter

G-kraften fortæller, hvor mange gange kraftigere underlaget trykker på os, end når vi står stille. Nu kan vi skrive den op med kræfter. Det er forholdet mellem normalkraften og tyngdekraften:

$$\frac{F_N}{m\cdot g}=\frac{m\cdot (g+a)}{m\cdot g}=\frac{g+a}{g}$$

Massen forkortes væk, så g-kraften afhænger ikke af den. En tung og en let passager i den samme elevator oplever den samme g-kraft. Ved igangsætning opad får vi

$$\frac{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,2,$$

altså g-kraften 1,2g. Ved opbremsning er den 0,8g, i hvile og ved konstant fart 1g og i en faldende elevator 0g. G-kraften er altså det samme, som vægten viser, bare delt med det, den ville vise i hvile: 84 kg i forhold til 70 kg er igen 1,2.

Hidtil har vi undersøgt, hvad en kraft gør, som virker hele tiden. Men hvad nu, hvis den kun slår til i en brøkdel af et sekund, for eksempel ved et sammenstød eller et spark til en bold? Det ser den næste artikel på, Impuls og kraftstød.