Zwaartekracht en gewicht
“Ik weeg 70 kilo,” zegt Daan. Iedereen weet wat hij bedoelt, en toch zou een natuurkundige zijn wenkbrauwen optrekken. Kilogram is een eenheid van massa, niet van kracht, en als Daan op een weegschaal staat, duwt hij er met een kracht op die in newton wordt gemeten. Thuis op de vloer is dat slechts haarkloverij, in een lift of op de maan niet meer.
Massa en zwaartekracht
Massa m geeft aan hoezeer een voorwerp zich verzet tegen een verandering van snelheid. Ze wordt gemeten in kilogram en hangt niet af van waar het voorwerp is. Daan heeft een massa van 70 kg thuis, in het vliegtuig en op de maan.
De zwaartekracht
waarbij g ≈ 9,81 m/s2 de valversnelling is. De eenheid m/s2 kunnen we ook lezen als N/kg, omdat N = kg·m/s2. De valversnelling geeft zo tegelijk aan dat de aarde bij het oppervlak aan elke kilogram trekt met een kracht van 9,81 N. Een voorwerp met een twee keer zo grote massa trekt de aarde twee keer zo hard aan.
Voor Daan komt er het volgende uit:
Op de maan is de valversnelling maar ongeveer 1,62 m/s2, ruwweg zes keer zo klein. De maan trekt Daan daarom met een kracht van
De zwaartekracht is een zesde geworden, de massa bleef 70 kg. Op de maan zou Daan veel hoger springen, maar als hij een volgeladen karretje wilde duwen of stoppen, zou hij net zo hard moeten werken als thuis. Hoeveel kracht een verandering van snelheid vraagt, wordt volgens de tweede wet van Newton bepaald door de massa, en die is niet veranderd. En tegen een rotsblok schoppen zou op de maan nog steeds even pijnlijk zijn.
Normaalkracht en gewicht
Daan staat thuis op een weegschaal. De aarde trekt hem omlaag en toch valt hij niet, omdat de weegschaal hem met de normaalkracht
Waar komt de normaalkracht vandaan? De vloer en het plateau van de weegschaal buigen onder Daan een heel klein beetje door, net als een veer, en proberen terug te keren naar hun oorspronkelijke vorm. Hoe harder hij erop duwt, hoe meer ze doorbuigen en hoe sterker ze terugduwen. De ondergrond levert zo zelf precies zoveel kracht als nodig is, alleen tot een bepaalde grens: dun ijs op een vijver of een verrotte plank houdt het niet.
De normaalkracht werkt op Daan. Volgens de wet van actie en reactie duwt Daan met een even grote kracht omlaag op de weegschaal. De kracht waarmee een voorwerp op de ondergrond drukt of aan het ophangpunt trekt, noemen we het gewicht. Zwaartekracht en gewicht verwar je gemakkelijk, omdat ze in rust even groot zijn en allebei omlaag wijzen. Het verschil is waarop ze werken:
- de zwaartekracht werkt op het voorwerp, de aarde trekt eraan,
- het gewicht werkt op de ondergrond of het ophangpunt, het voorwerp drukt erop of trekt eraan.
Bij een ophangpunt werkt het hetzelfde. Aan een rugzak met een massa van 8 kg aan een kapstok trekt de aarde met een zwaartekracht van ongeveer 78 N en het haakje houdt hem met een even grote kracht omhoog. De rugzak trekt daarbij met zijn gewicht, ook 78 N, aan het haakje omlaag.
Het gewicht heeft altijd dezelfde grootte als de kracht die de ondergrond of het ophangpunt op het voorwerp uitoefent, omdat ze samen een paar van actie en reactie vormen. Aan de zwaartekracht hoeft het echter niet gelijk te zijn, zoals we zo zullen zien.
Overigens voel je de zwaartekracht niet. Ze trekt even hard aan elk stukje van het lichaam, aan de handen, de maag en het hoofd, en niets in je lichaam kan haar waarnemen. Wat je voelt is hoe de vloer of de stoel je van onderen duwt en hoe het lichaam onder die druk een beetje wordt samengedrukt. Juist de normaalkracht komt overeen met wat we gewoonlijk als het gevoel van ons eigen gewicht beschouwen.
Wat de weegschaal in de badkamer aangeeft
Een personenweegschaal bevat een veer of een veerkrachtig metalen strookje dat onder belasting doorbuigt. Hij meet dus de kracht waarmee je erop duwt, dus je gewicht, en het is eigenlijk een krachtmeter. Op het display staan echter geen newton, maar kilogram. De fabrikant ging ervan uit dat je op de weegschaal in rust op aarde staat, waar je er met een kracht m · g op duwt. De gemeten kracht deelt hij daarom door de valversnelling:
Als Daan dus zegt “ik weeg 70 kilo”, bedoelt hij zijn massa en die is echt 70 kg. Natuurkundig precies zou hij zeggen dat hij een massa heeft van 70 kg en een gewicht van 687 N. Thuis komt het op hetzelfde neer, omdat de weegschaal het ene altijd met hetzelfde getal in het andere omzet.
Als Daan dezelfde weegschaal mee naar de maan nam, zou hij er met een kracht van maar 113 N op duwen. De weegschaal zou gehoorzaam delen door het getal 9,81 m/s2 en het volgende aangeven:
Daan is daarbij geen gram afgevallen, de weegschaal rekent er alleen mee dat hij op aarde staat. Het zou dus een fout zijn te schrijven dat hij op de maan een massa van 11,6 kg heeft. Alleen een evenwichtsbalans, die het voorwerp met gewichten vergelijkt, zou op de maan de massa juist bepalen, omdat de maan beide schalen even zwak aantrekt.
De weegschaal in een lift
Daan stapt op de begane grond in een lift, gaat op de weegschaal staan en rijdt omhoog. Er werken twee krachten op hem: de zwaartekracht omlaag en de normaalkracht van de weegschaal omhoog. De positieve richting kiezen we omhoog, dus de resulterende kracht is FN − Fz en volgens de tweede wet is die gelijk aan m · a:
We tellen m · g erbij op en brengen de massa buiten haakjes:
De lift trekt op en heeft een versnelling van 2 m/s2 omhoog. Dat is een flink vlotte lift: gewone liften trekken op met ongeveer de helft van die versnelling, zodat de passagiers het niet vervelend vinden. We vullen in:
De weegschaal deelt de kracht door het getal 9,81 m/s2 en geeft ongeveer 84 kg aan. Daan is op het display 14 kilo aangekomen. In werkelijkheid moet de weegschaal hem niet alleen dragen, maar ook nog naar boven in beweging brengen, en duwt daarom harder. Dat versterkte duwen voelt Daan in zijn benen als extra gewicht. De zwaartekracht is daarbij niet veranderd, de aarde trekt hem nog steeds met een kracht van 687 N.
Zodra de lift met constante snelheid rijdt, is de versnelling nul en FN = m · g. De weegschaal geeft weer 70 kg aan en Daan zou met dichte ogen niet merken of hij rijdt of stilstaat. Snelheid voelen we niet, we voelen alleen versnelling.
Vlak voor de verdieping waar Daan moet zijn, remt de lift. De snelheid wijst omhoog, maar neemt af, dus de versnelling wijst omlaag, a = −2 m/s2:
De weegschaal geeft ongeveer 56 kg aan en Daan heeft even het gevoel dat hij lichter is.
In de animatie staat de lift even stil, trekt dan op naar boven, rijdt met constante snelheid, remt en stopt. De blauwe zwaartekracht blijft steeds even lang. De groene normaalkracht en de groene balk rechts, die de aanduiding van de weegschaal laat zien, worden bij het optrekken langer en bij het remmen korter. De zwarte pijl naast de cabine laat zien waarheen de versnelling wijst. De grijze gestippelde lijn geeft de aanduiding in rust aan, het display boven de balk toont de aanduiding in kilogram.
Op weg omlaag is het andersom. Bij het wegrijden omlaag wijst de versnelling omlaag en geeft de weegschaal minder aan, bij het remmen voor de begane grond wijst ze omhoog en geeft de weegschaal meer aan. De richting van de versnelling is bepalend, niet de rijrichting:
| lift | versnelling | weegschaal geeft aan |
|---|---|---|
| optrekken omhoog | omhoog | 84 kg |
| constante snelheid | nul | 70 kg |
| remmen omhoog | omlaag | 56 kg |
| optrekken omlaag | omlaag | 56 kg |
| remmen omlaag | omhoog | 84 kg |
Je kunt ook achterstevoren rekenen. De weegschaal in een lift geeft 77 kg aan, welke versnelling heeft de lift? De weegschaal mat de kracht FN = 77 kg · 9,81 m/s2. Uit de formule voor de normaalkracht maken we de versnelling, we delen de vergelijking door de massa en trekken g af:
De lift heeft een versnelling van ongeveer 0,98 m/s2 omhoog. Of hij trekt omhoog op, of hij remt op weg omlaag, dat onderscheidt de weegschaal niet.
Een vallende lift en gewichtloosheid
En wat als de kabel breekt? Een echte lift zou worden gestopt door de vangremmen, die zich in de geleiderails vastbijten, maar laten we het doordenken. De lift en Daan vallen dan alleen door de zwaartekracht, net als bij vrije val, en hebben de versnelling g omlaag, dus a = −g:
De weegschaal geeft nul aan. Daan en de weegschaal vallen precies hetzelfde, Daan duwt helemaal niet op de weegschaal en die niet op hem. Als hij zijn sleutels uit zijn hand liet vallen, zouden ze naast hem in de lucht blijven hangen, omdat ze net zo vallen als hij en de cabine. Dat heet gewichtloosheid of gewichtloze toestand. Het gewicht is nul, niets drukt op de ondergrond of trekt aan een ophangpunt.
De zwaartekracht is echter niet nul. De aarde trekt Daan nog steeds met een kracht van 687 N en juist daardoor valt hij. Gewichtloosheid betekent niet dat de zwaartekracht is verdwenen, alleen dat niets haar van onderen compenseert. Veilig kunnen passagiers dit uitproberen in een speciaal vliegtuig dat ongeveer twintig seconden zo vliegt dat het precies de versnelling g omlaag heeft. De mensen binnenin zweven al die tijd. Een zwakkere versie van hetzelfde ervaar je in een auto die snel over de top van een brug rijdt. Voor even heeft hij een versnelling omlaag, drukt de stoel minder en maakt je maag een sprongetje.
G-kracht uitgedrukt in krachten
De g-kracht zegt hoeveel keer sterker de ondergrond ons duwt dan wanneer we in rust staan. Nu kunnen we haar met krachten opschrijven. Het is de verhouding van de normaalkracht en de zwaartekracht:
De massa viel weg, de g-kracht hangt er dus niet van af. Een zware en een lichte passagier in dezelfde lift ervaren dezelfde g-kracht. Bij het optrekken omhoog is het
dus een g-kracht van 1,2g. Bij het remmen is het 0,8g, in rust en bij constante snelheid 1g en in een vallende lift 0g. De g-kracht is dus hetzelfde als wat de weegschaal aangeeft, alleen gedeeld door wat hij in rust zou aangeven: 84 kg gedeeld door 70 kg is weer 1,2.
Tot nu toe onderzochten we wat een kracht doet die voortdurend werkt. Wat als hij maar een fractie van een seconde toeslaat, bijvoorbeeld bij een botsing of een trap tegen een bal? Daar kijkt het volgende artikel naar, Impuls en stoot.
