Nehézségi erő és súly

„70 kilós vagyok” – mondja Márton. Mindenki tudja, mit ért ezen, és a fizikus mégis felvonná a szemöldökét. A kilogramm a tömeg mértékegysége, nem az erőé, és amikor Márton a mérlegen áll, olyan erővel nyomja, amelyet newtonban mérünk. Otthon a padlón ez csak szőrszálhasogatás, a liftben vagy a Holdon viszont már nem.

Tömeg és nehézségi erő

Az m tömeg azt fejezi ki, mennyire áll ellen a test a sebességváltozásnak. Kilogrammban mérjük, és nem függ attól, hol van a test. Mártonnak otthon, a repülőn és a Holdon is 70 kg a tömege.

Az $\overrightarrow{F_g}$ nehézségi erő az az erő, amellyel a Föld vonzza a testet. Függőlegesen lefelé mutat, és a nagyságát így számoljuk ki:

$$F_g=m\cdot g,$$

ahol g ≈ 9,81 m/s² a nehézségi gyorsulás. Az m/s² mértékegységet olvashatjuk N/kg egységnek is, mert N = kg·m/s². A nehézségi gyorsulás tehát egyben azt is megmondja, hogy a Föld a felszín közelében minden kilogrammot 9,81 N erővel húz. A kétszeres tömegű testet a Föld kétszer erősebben húzza.

Márton esetében

$$F_g=70\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 687\mathrm{N}.$$

A Holdon a nehézségi gyorsulás csak körülbelül 1,62 m/s², nagyjából hatszor kisebb. A Hold ezért ekkora erővel húzza Mártont:

$$F_g=70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 113\mathrm{N}.$$

A nehézségi erő hatodára csökkent, a tömeg 70 kg maradt. A Holdon Márton sokkal magasabbra ugrana, de ha meg akarna tolni vagy meg akarna állítani egy megrakott kocsit, ugyanúgy meg kellene erőlködnie, mint otthon. Hogy a sebességváltozáshoz mennyi erő kell, azt a dinamika alaptörvénye szerint a tömeg határozza meg, az pedig nem változott. És egy sziklába belerúgni a Holdon is ugyanúgy fájna.

Tartóerő és súly

Márton otthon a mérlegen áll. A Föld lefelé húzza, mégsem esik le, mert a mérleg felfelé nyomja az $\overrightarrow{F_{\mathrm{ny}}}$ tartóerővel (nyomóerővel). Márton nem mozdul, az eredő nulla, ezért a két erő egyforma nagy, F_ny = F_g ≈ 687 N.

Honnan jön a tartóerő? A padló és a mérleg lapja Márton alatt egészen kicsit behajlik, mint egy rugó, és igyekszik visszanyerni az eredeti alakját. Minél jobban nyomja őket, annál jobban behajlanak, és annál erősebben nyomnak vissza. Az alátámasztás így maga pontosan annyi erőt hoz létre, amennyi kell, de csak egy határig: a vékony jég a tavon vagy az elkorhadt deszka ezt nem bírja ki.

A tartóerő Mártonra hat. A hatás-ellenhatás törvénye szerint Márton ugyanakkora erővel nyomja lefelé a mérleget. Azt az erőt, amellyel a test az alátámasztást nyomja, vagy a felfüggesztést húzza, súlynak nevezzük. A nehézségi erőt és a súlyt könnyű összekeverni, mert nyugalomban egyforma nagyok, és mindkettő lefelé mutat. A különbség abban van, hogy mire hatnak:

• a nehézségi erő a testre hat, a Föld húzza,
• a súly az alátámasztásra vagy a felfüggesztésre hat, a test nyomja vagy húzza őket.

A felfüggesztésnél ugyanez a helyzet. A fogason lógó, 8 kg tömegű hátizsákot a Föld körülbelül 78 N nehézségi erővel húzza, a kampó pedig ugyanakkora erővel tartja felfelé. A hátizsák a súlyával húzza lefelé a kampót, az is 78 N.

A súly mindig ugyanakkora, mint az az erő, amellyel az alátámasztás vagy a felfüggesztés a testre hat, mert hatás-ellenhatás párt alkotnak. A nehézségi erővel viszont nem feltétlenül egyenlő, ahogy mindjárt látjuk.

Mellesleg a nehézségi erőt nem érezzük. A test minden darabját egyformán húzza, a kezünket, a gyomrunkat és a fejünket is, és semmi sincs, ami érzékelhetné. Csak azt érezzük, ahogy alulról nyom a padló vagy a szék, és ahogy a test e nyomás alatt kissé összenyomódik. Éppen a tartóerő felel meg annak, amit általában a saját súlyunk érzetének tartunk.

Mit mutat a fürdőszobai mérleg

A személymérlegben rugó vagy rugalmas fémszalag van, amely terhelés alatt behajlik. Azt az erőt méri tehát, amellyel rányomod, vagyis a súlyodat, és tulajdonképpen erőmérő. A kijelzőn mégsem newton világít, hanem kilogramm. A gyártó abból indult ki, hogy a mérlegen nyugalomban állsz a Földön, ahol m · g erővel nyomod. A mért erőt ezért elosztja a nehézségi gyorsulással:

$$\frac{687\mathrm{N}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 70\mathrm{kg}$$

Amikor tehát Márton azt mondja, „70 kilós vagyok”, a tömegére gondol, és az tényleg 70 kg. Fizikailag pontosan azt mondaná, hogy a tömege 70 kg, a súlya 687 N. Otthon ez ugyanazt jelenti, mert a mérleg mindig ugyanazzal a számmal váltja át az egyiket a másikra.

Ha Márton ugyanezt a mérleget magával vinné a Holdra, csak 113 N erővel nyomná. A mérleg szófogadóan osztana a 9,81 m/s² számmal, és ezt mutatná:

$$\frac{70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 11,6\mathrm{kg}.$$

Márton közben egy grammot sem fogyott, a mérleg csak abból indul ki, hogy a Földön áll. Hiba volna ezért azt írni, hogy a Holdon a tömege 11,6 kg. A tömeget a Holdon csak az egyenlő karú mérleg mutatná meg helyesen, amely a testet mérősúlyokhoz hasonlítja, mert a Hold mindkét serpenyőt egyformán gyengén húzza.

Mérleg a liftben

Márton a földszinten beszáll a liftbe, rááll a mérlegre, és felfelé indul. Két erő hat rá: a nehézségi erő lefelé és a mérleg tartóereje felfelé. A pozitív irányt felfelé választjuk, így az eredő F_ny − F_g, és a dinamika alaptörvénye szerint az m · a szorzattal egyenlő:

$$F_{\mathrm{ny}}-m\cdot g=m\cdot a$$

Mindkét oldalhoz hozzáadjuk az m · g szorzatot, és kiemeljük a tömeget:

$$F_{\mathrm{ny}}=m\cdot (g+a)$$

A lift elindul, a gyorsulása 2 m/s² felfelé. Ez elég fürge lift: a szokásos liftek nagyjából feleekkora gyorsulással indulnak, hogy az utasoknak ne legyen kellemetlen. Behelyettesítünk:

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{ny}}& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 827\mathrm{N}\end{array}$$

A mérleg elosztja az erőt a 9,81 m/s² számmal, és körülbelül 84 kg értéket mutat. Márton a kijelzőn 14 kilót hízott. A valóságban a mérlegnek nemcsak tartania kell őt, hanem gyorsítania is kell felfelé, ezért erősebben nyom. Ezt az erősebb nyomást Márton a lábában súlytöbbletként érzi. A nehézségi erő közben nem változott, a Föld továbbra is 687 N erővel húzza.

Amint a lift állandó sebességgel megy, a gyorsulás nulla, és F_ny = m · g. A mérleg újra 70 kg értéket mutat, és Márton csukott szemmel nem tudná megmondani, hogy megy-e a lift, vagy áll. A sebességet nem érezzük, csak a gyorsulást.

A célemelet előtt a lift fékez. A sebesség felfelé mutat, de csökken, ezért a gyorsulás lefelé mutat, a = −2 m/s²:

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{ny}}& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2-2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 547\mathrm{N}\end{array}$$

A mérleg körülbelül 56 kg értéket mutat, és Márton egy pillanatig könnyebbnek érzi magát.

Az animációban a lift egy ideig áll, aztán elindul felfelé, állandó sebességgel megy, fékez és megáll. A kék nehézségi erő végig egyforma hosszú marad. A zöld tartóerő és a jobb oldali zöld oszlop, amely a mérleg kijelzését mutatja, induláskor megnyúlik, fékezéskor megrövidül. A fülke melletti fekete nyíl azt mutatja, merre mutat a gyorsulás. A szürke szaggatott vonal a nyugalmi kijelzést jelöli, az oszlop fölötti kijelzőn a mért érték látszik kilogrammban.

Lefelé menet fordítva van. Lefelé induláskor a gyorsulás lefelé mutat, és a mérleg kevesebbet mutat, a földszint előtti fékezéskor felfelé mutat, és a mérleg többet mutat. A gyorsulás iránya számít, nem a haladás iránya:

Visszafelé is lehet számolni. A mérleg a liftben 77 kg értéket mutat, mekkora a lift gyorsulása? A mérleg az F_ny = 77 kg · 9,81 m/s² erőt mérte. A tartóerő képletéből kifejezzük a gyorsulást, az egyenletet elosztjuk a tömeggel, és kivonjuk g-t:

$$a=\frac{F_{\mathrm{ny}}}{m}-g=\frac{77\mathrm{kg}\cdot g}{70\mathrm{kg}}-g=0,1\cdot g$$

A lift gyorsulása körülbelül 0,98 m/s² felfelé. Vagy felfelé indul, vagy lefelé menet fékez, a mérleg ezt nem különbözteti meg.

Zuhanó lift és súlytalanság

Mi van, ha elszakad a kötél? Egy valódi liftet a vezetősínekbe kapaszkodó biztosítófékek megállítanának, de gondoljuk végig. A lift és Márton ekkor csak a nehézségi erő hatására esik, mint a szabadesésnél, és a gyorsulásuk g lefelé, tehát a = −g:

$$F_{\mathrm{ny}}=m\cdot (g-g)=0\mathrm{N}$$

A mérleg nullát mutat. Márton és a mérleg pontosan egyformán esik, Márton egyáltalán nem nyomja a mérleget, az pedig nem nyomja őt. Ha kiejtené a kezéből a kulcsot, az ott lebegne mellette a levegőben, mert ugyanúgy esik, mint ő és a fülke. Ezt hívjuk súlytalanságnak, súlytalan állapotnak. A súly nulla, semmi sem nyomja az alátámasztást, és semmi sem húzza a felfüggesztést.

A nehézségi erő azonban nem nulla. A Föld továbbra is 687 N erővel húzza Mártont, és éppen ezért esik. A súlytalanság nem azt jelenti, hogy a gravitáció eltűnt, csak azt, hogy alulról semmi sem egyenlíti ki. Biztonságosan kipróbálhatják az utasok egy különleges repülőgépen, amely körülbelül húsz másodpercig úgy repül, hogy a gyorsulása pontosan g lefelé. A bent lévők egész idő alatt lebegnek. Ennek gyengébb változatát megtapasztalhatod egy autóban, amely gyorsan áthalad egy domb tetején. Egy pillanatra lefelé gyorsul, az ülés kevésbé nyom, és a gyomor megugrik.

Túlterhelés erőkkel

A túlterhelés megmondja, hányszor erősebben nyom minket az alátámasztás, mint amikor nyugodtan állunk. Most már erőkkel is fel tudjuk írni. A tartóerő és a nehézségi erő hányadosa:

$$\frac{F_{\mathrm{ny}}}{m\cdot g}=\frac{m\cdot (g+a)}{m\cdot g}=\frac{g+a}{g}$$

A tömeg kiesett, a túlterhelés tehát nem függ tőle. Egy nehéz és egy könnyű utas ugyanabban a liftben ugyanazt a túlterhelést éli át. Felfelé induláskor

$$\frac{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,2,$$

vagyis a túlterhelés 1,2g. Fékezéskor 0,8g, nyugalomban és állandó sebességnél 1g, a zuhanó liftben pedig 0g. A túlterhelés tehát ugyanaz, mint amit a mérleg mutat, csak elosztva azzal, amit nyugalomban mutatna: a 84 kg és a 70 kg hányadosa szintén 1,2.

Eddig azt vizsgáltuk, mit tesz az az erő, amely folyamatosan hat. Mi van, ha csak a másodperc törtrészéig csap le, például ütközéskor vagy amikor belerúgunk egy labdába? Erre a következő, Lendület és erőlökés című cikk keresi a választ.