Tyngdekraft og tilsynelatende vekt

«Jeg veier 70 kilo,» sier Magnus. Alle vet hva han mener, og likevel ville en fysiker løftet et øyenbryn. Kilogram er en enhet for masse, ikke for kraft, og når Magnus står på en vekt, presser han på den med en kraft som måles i newton. Hjemme på gulvet er det bare ordkløyveri, i en heis eller på Månen er det ikke det.

Masse og tyngdekraft

Masse m sier hvor mye et legeme motsetter seg en endring av farten. Den måles i kilogram og avhenger ikke av hvor legemet er. Magnus har massen 70 kg hjemme, i et fly og på Månen.

Tyngdekraft $\overrightarrow{G}$ er kraften Jorda trekker et legeme til seg med. Den peker loddrett nedover, og størrelsen finner vi slik:

$$G=m\cdot g,$$

der g ≈ 9,81 m/s² er tyngdeakselerasjonen. Enheten m/s² kan vi også lese som N/kg, fordi N = kg·m/s². Tyngdeakselerasjonen sier dermed samtidig at Jorda ved overflaten drar i hvert kilogram med kraften 9,81 N. Et legeme med dobbelt så stor masse drar Jorda dobbelt så hardt i.

For Magnus blir det

$$G=70\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 687\mathrm{N}.$$

På Månen er tyngdeakselerasjonen bare omtrent 1,62 m/s², omtrent seks ganger mindre. Månen drar derfor i Magnus med kraften

$$G=70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 113\mathrm{N}.$$

Tyngdekraften ble redusert til en sjettedel, massen forble 70 kg. På Månen ville Magnus hoppet mye høyere, men hvis han ville dytte i gang eller stoppe en lastet vogn, måtte han anstrenge seg like mye som hjemme. Hvor mye kraft en endring av farten krever, bestemmes ifølge kraftloven av massen, og den har ikke endret seg. Og å sparke til en kampestein på Månen ville gjort like vondt som før.

Normalkraft og tilsynelatende vekt

Magnus står hjemme på en vekt. Jorda drar ham nedover, og likevel faller han ikke, fordi vekta presser ham oppover med normalkraften $\overrightarrow{N}$. Magnus beveger seg ikke, resultanten er null, så de to kreftene er like store, N = G ≈ 687 N.

Hvor kommer normalkraften fra? Både gulvet og plata på vekta bøyer seg ørlite under Magnus, omtrent som en fjær, og prøver å komme tilbake til den opprinnelige formen. Jo hardere han presser på dem, desto mer bøyer de seg og desto sterkere presser de tilbake. Underlaget lager selv nøyaktig så mye kraft som trengs, men bare til en viss grense: tynn is på en dam eller en råtten planke tåler det ikke.

Normalkraften virker på Magnus. Ifølge loven om kraft og motkraft presser Magnus på vekta med en like stor kraft nedover. Kraften et legeme trykker på underlaget med eller drar i et oppheng med, kaller vi tilsynelatende vekt. Tyngdekraft og tilsynelatende vekt blandes lett sammen, fordi de i ro har samme størrelse og begge peker nedover. Forskjellen ligger i hva de virker på:

• tyngdekraften virker på legemet, det er Jorda som drar i det,
• tilsynelatende vekt virker på underlaget eller opphenget, legemet trykker på det eller drar i det.

For et oppheng fungerer det likedan. En sekk med massen 8 kg på en knagg blir dratt nedover av Jorda med tyngdekraften omtrent 78 N, og knaggen holder den oppe med en like stor kraft. Sekken drar samtidig knaggen nedover med sin tilsynelatende vekt, også 78 N.

Den tilsynelatende vekten har alltid samme størrelse som kraften underlaget eller opphenget virker på legemet med, for sammen utgjør de et par av kraft og motkraft. Med tyngdekraften trenger den imidlertid ikke være lik, som vi snart ser.

Forresten merker vi ikke tyngdekraften. Den drar like mye i hver bit av kroppen, i hendene, magen og hodet, og ingenting kan registrere den. Det vi kjenner, er hvordan gulvet eller stolen presser oss nedenfra og hvordan kroppen trykkes litt sammen av det trykket. Nettopp normalkraften svarer til det vi vanligvis regner som følelsen av egen vekt.

Hva badevekta viser

En personvekt skjuler en fjær eller et fjærende metallbånd som bøyer seg under belastning. Den måler altså kraften du trykker på den med, det vil si din tilsynelatende vekt, og er egentlig en kraftmåler. På displayet lyser det imidlertid ikke newton, men kilogram. Produsenten forutsatte at du står i ro på Jorda, der du presser på den med kraften m · g. Den målte kraften deler den derfor på tyngdeakselerasjonen:

$$\frac{687\mathrm{N}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 70\mathrm{kg}$$

Når Magnus sier «jeg veier 70 kilo», mener han altså massen sin, og den er virkelig 70 kg. Fysisk nøyaktig ville han sagt at han har massen 70 kg og en tilsynelatende vekt på 687 N. Hjemme går det opp i ett, for vekta regner det ene om til det andre med det samme tallet hele tiden.

Hvis Magnus tok den samme vekta med til Månen, ville han presset på den med bare 113 N. Vekta ville lydig delt på tallet 9,81 m/s² og vist

$$\frac{70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 11,6\mathrm{kg}.$$

Magnus har likevel ikke gått ned et eneste gram, vekta regner bare med at den står på Jorda. Det ville derfor være feil å skrive at han har massen 11,6 kg på Månen. På Månen ville bare en skålvekt bestemt massen riktig, for den sammenligner legemet med lodd, og Månen drar like svakt i begge skålene.

Vekt i en heis

Magnus går inn i heisen i første etasje, stiller seg på vekta og kjører oppover. To krefter virker på ham: tyngdekraften nedover og normalkraften fra vekta oppover. Positiv retning velger vi oppover, så resultanten er N − G, og ifølge kraftloven er den lik m · a:

$$N-m\cdot g=m\cdot a$$

Vi legger til m · g og setter massen utenfor parentes:

$$N=m\cdot (g+a)$$

Heisen kommer i gang og har akselerasjonen 2 m/s² oppover. Det er en skikkelig rask heis: vanlige heiser kommer i gang med omtrent halvparten, for at det ikke skal være ubehagelig for passasjerene. Vi setter inn:

$$\begin{array}{rl}N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 827\mathrm{N}\end{array}$$

Vekta deler kraften på tallet 9,81 m/s² og viser omtrent 84 kg. Magnus har gått opp 14 kilo på displayet. I virkeligheten må vekta ikke bare bære ham, men også få ham i gang oppover, og derfor presser den hardere. Dette sterkere trykket kjenner Magnus i bena som ekstra vekt. Tyngdekraften har imidlertid ikke endret seg, Jorda drar like hardt i ham med 687 N.

Så snart heisen går med konstant fart, er akselerasjonen null og N = m · g. Vekta viser igjen 70 kg, og Magnus ville med lukkede øyne ikke visst om han kjørte eller sto stille. Fart merker vi ikke, vi merker bare akselerasjon.

Rett før etasjen den skal til, bremser heisen. Hastigheten peker oppover, men blir mindre, så akselerasjonen peker nedover, a = −2 m/s²:

$$\begin{array}{rl}N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2-2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 547\mathrm{N}\end{array}$$

Vekta viser omtrent 56 kg, og Magnus har et øyeblikk følelsen av å være lettere.

I animasjonen står heisen først stille, så kommer den i gang oppover, går med konstant fart, bremser og stopper. Den blå tyngdekraften forblir hele tiden like lang. Den grønne normalkraften og den grønne søylen til høyre, som viser visningen på vekta, blir lengre ved start og kortere ved bremsing. Den svarte pilen ved siden av kabinen viser hvor akselerasjonen peker. Den grå stiplede linjen markerer visningen i ro, displayet over søylen viser visningen i kilogram.

På vei nedover er det omvendt. Når heisen kommer i gang nedover, peker akselerasjonen nedover og vekta viser mindre, ved bremsing før første etasje peker den oppover og vekta viser mer. Det er retningen til akselerasjonen som avgjør, ikke retningen på turen:

Man kan også regne baklengs. Vekta i heisen viser 77 kg, hvilken akselerasjon har heisen? Vekta målte kraften N = 77 kg · 9,81 m/s². Fra formelen for normalkraften løser vi ut akselerasjonen, deler likningen på massen og trekker fra g:

$$a=\frac{N}{m}-g=\frac{77\mathrm{kg}\cdot g}{70\mathrm{kg}}-g=0,1\cdot g$$

Heisen har akselerasjonen omtrent 0,98 m/s² oppover. Enten kommer den i gang oppover, eller så bremser den på vei ned, det kan ikke vekta skille.

Fallende heis og vektløshet

Og hva om vaieren ryker? En virkelig heis ville blitt stoppet av fangbremser som biter seg fast i førerskinnene, men la oss tenke det til ende. Heisen og Magnus faller da bare på grunn av tyngdekraften, akkurat som i fritt fall, og har akselerasjonen g nedover, altså a = −g:

$$N=m\cdot (g-g)=0\mathrm{N}$$

Vekta viser null. Magnus og vekta faller helt likt, Magnus trykker ikke på den i det hele tatt, og den trykker ikke på ham. Hvis han slapp nøklene, ville de blitt hengende i lufta ved siden av ham, fordi de faller på samme måte som han og kabinen. Det kalles vektløshet. Den tilsynelatende vekten er null, ingenting trykker på underlaget eller drar i et oppheng.

Tyngdekraften er likevel ikke null. Jorda drar fortsatt i Magnus med kraften 687 N, og nettopp derfor faller han. Vektløshet betyr ikke at tyngdekraften har forsvunnet, bare at ingenting utligner den nedenfra. Passasjerer i et spesialfly som i omtrent tjue sekunder flyr slik at det har akselerasjonen akkurat g nedover, kan prøve det trygt. Menneskene inni svever hele tiden. En svakere variant av det samme opplever du i en bil som kjører raskt over en bakketopp. Et øyeblikk har den akselerasjon nedover, setet presser mindre og magen hopper.

g-kraft med krefter

g-kraften sier hvor mange ganger kraftigere underlaget presser oss enn når vi står i ro. Nå kan vi skrive den med krefter. Det er forholdet mellom normalkraften og tyngdekraften:

$$\frac{N}{m\cdot g}=\frac{m\cdot (g+a)}{m\cdot g}=\frac{g+a}{g}$$

Massen forkortet seg, g-kraften avhenger altså ikke av den. En tung og en lett passasjer i samme heis opplever den samme g-kraften. Ved start oppover blir det

$$\frac{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,2,$$

altså g-kraften 1,2g. Ved bremsing er det 0,8g, i ro og ved konstant fart 1g og i en fallende heis 0g. g-kraften er altså det samme som vekta viser, bare delt på det den ville vist i ro: 84 kg til 70 kg er igjen 1,2.

Hittil har vi undersøkt hva en kraft som virker hele tiden, gjør. Hva om den slår til bare i en brøkdel av et sekund, for eksempel ved et støt eller et spark til en ball? Det ser neste artikkel nærmere på, Bevegelsesmengde og impuls.