Сила тяжіння і вага тіла

«Я важу 70 кілограмів», — каже Максим. Усі розуміють, що він має на увазі, а проте фізик здивовано підняв би брови. Кілограм — одиниця маси, а не сили, і коли Максим стоїть на вагах, він тисне на них силою, яку вимірюють у ньютонах. Вдома на підлозі це лише прискіпливість до слів, а в ліфті чи на Місяці вже ні.

Маса і сила тяжіння

Маса m показує, наскільки сильно тіло опирається зміні швидкості. Її вимірюють у кілограмах, і вона не залежить від того, де тіло перебуває. Максим має масу 70 кг удома, в літаку й на Місяці.

Сила тяжіння $\overrightarrow{F_{\mathrm{т}\mathrm{я}\mathrm{ж}}}$ — це сила, з якою Земля притягує тіло. Вона напрямлена вертикально вниз, а її модуль визначаємо за формулою

$$F_{\mathrm{т}\mathrm{я}\mathrm{ж}}=m\cdot g,$$

де g ≈ 9,81 м/с² — прискорення вільного падіння. Одиницю м/с² можна читати і як Н/кг, бо Н = кг·м/с². Прискорення вільного падіння одночасно показує, що Земля біля поверхні тягне кожен кілограм із силою 9,81 Н. Тіло з удвічі більшою масою Земля тягне вдвічі сильніше.

Для Максима виходить

$$F_{\mathrm{т}\mathrm{я}\mathrm{ж}}=70\mathrm{к}\mathrm{г}\cdot 9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\approx 687\mathrm{Н}.$$

На Місяці прискорення вільного падіння лише близько 1,62 м/с², приблизно в шість разів менше. Тому Місяць тягне Максима із силою

$$F_{\mathrm{т}\mathrm{я}\mathrm{ж}}=70\mathrm{к}\mathrm{г}\cdot 1,62{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\approx 113\mathrm{Н}.$$

Сила тяжіння зменшилася до однієї шостої, маса лишилася 70 кг. На Місяці Максим підстрибнув би набагато вище, але якби він хотів зрушити чи зупинити навантажений візок, йому довелося б докласти стільки ж зусиль, як удома. Скільки сили потрібно для зміни швидкості, за законом сили визначає маса, а вона не змінилася. І вдарити ногою по валуну на Місяці було б так само боляче.

Сила реакції опори і вага тіла

Максим стоїть удома на вагах. Земля тягне його вниз, а проте він не падає, бо ваги тиснуть на нього вгору силою нормальної реакції опори $\overrightarrow{N}$. Максим не рухається, рівнодійна нульова, тож обидві сили мають однаковий модуль, N = F_тяж ≈ 687 Н.

Звідки береться сила реакції опори? Підлога й платформа ваг під Максимом трохи прогинаються, як пружина, і намагаються повернутися до початкової форми. Що сильніше на них тиснути, то більше вони прогинаються й то сильніше тиснуть у відповідь. Опора сама створює рівно стільки сили, скільки потрібно, але лише до певної межі: тонкий лід на ставку чи прогнила дошка цього не витримають.

Сила реакції опори діє на Максима. За законом дії та протидії Максим тисне на ваги вниз такою самою за модулем силою. Силу, з якою тіло тисне на опору або розтягує підвіс, називаємо вагою тіла. Силу тяжіння і вагу тіла сплутати легко, бо в спокої вони мають однаковий модуль і обидві напрямлені вниз. Різниця в тому, на що вони діють:

• сила тяжіння діє на тіло, його притягує Земля,
• вага тіла діє на опору або підвіс, тіло тисне на неї або тягне за нього.

З підвісом усе так само. Рюкзак масою 8 кг на вішаку Земля тягне силою тяжіння близько 78 Н, а гачок тримає його такою самою за модулем силою вгору. Рюкзак при цьому тягне гачок униз своєю вагою, теж 78 Н.

Вага тіла завжди має такий самий модуль, як сила, з якою опора чи підвіс діють на тіло, бо разом вони становлять пару дії та протидії. З силою тяжіння вона збігатися не мусить, як ми зараз побачимо.

До речі, силу тяжіння ми не відчуваємо. Вона однаково тягне кожну частинку тіла, руки, шлунок і голову, і нічого не дає змоги її розпізнати. Відчуваємо лише те, як нас знизу тисне підлога чи стілець і як під цим тиском тіло трохи стискається. Саме сила реакції опори відповідає тому, що ми зазвичай вважаємо відчуттям власної ваги.

Що показують підлогові ваги

У підлогових вагах сховано пружину або пружну металеву смужку, що прогинається під навантаженням. Вони вимірюють силу, якою на них тиснеш, тобто твою вагу, і по суті є динамометром. Але на дисплеї світяться не ньютони, а кілограми. Виробник припускав, що ти стоятимеш на вагах у спокої на Землі, де тиснеш на них із силою m · g. Тому ваги ділять виміряну силу на прискорення вільного падіння:

$$\frac{687\mathrm{Н}}{9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2}\approx 70\mathrm{к}\mathrm{г}$$

Коли Максим каже «я важу 70 кілограмів», він має на увазі свою масу, і вона справді дорівнює 70 кг. Фізично точно він мав би сказати, що його маса 70 кг, а вага тіла 687 Н. Удома виходить те саме, бо ваги переводять одне в інше завжди тим самим числом.

Якби Максим узяв ті самі ваги з собою на Місяць, він тиснув би на них силою лише 113 Н. Ваги слухняно ділили б на число 9,81 м/с² і показали б

$$\frac{70\mathrm{к}\mathrm{г}\cdot 1,62{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2}{9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2}\approx 11,6\mathrm{к}\mathrm{г}.$$

Максим при цьому не схуд ані на грам, ваги лише розраховують на те, що він стоїть на Землі. Тому було б помилкою писати, що на Місяці його маса 11,6 кг. Масу на Місяці правильно визначили б лише рівноплечі терези, які порівнюють тіло з важками, бо Місяць однаково слабко тягне обидві шальки.

Вага тіла в ліфті

Максим заходить у ліфт на першому поверсі, стає на ваги й їде вгору. На нього діють дві сили: сила тяжіння вниз і сила реакції опори ваг угору. Додатний напрямок виберемо вгору, тож рівнодійна дорівнює N − F_тяж, а за законом сили вона дорівнює m · a:

$$N-m\cdot g=m\cdot a$$

Додамо m · g і винесемо масу за дужки:

$$N=m\cdot (g+a)$$

Ліфт рушає з прискоренням 2 м/с² угору. Це досить жвавий ліфт: звичайні рушають приблизно з удвічі меншим прискоренням, щоб пасажирам було комфортно. Підставимо:

$$\begin{array}{rl}N& =70\mathrm{к}\mathrm{г}\cdot (9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2+2{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2)\\ & \approx 827\mathrm{Н}\end{array}$$

Ваги поділять силу на число 9,81 м/с² і покажуть близько 84 кг. Максим на дисплеї «поправився» на 14 кілограмів. Насправді ваги мають його не лише втримувати, а ще й розганяти вгору, тому тиснуть сильніше. Цей посилений тиск Максим відчує в ногах як додаткову вагу. Сила тяжіння при цьому не змінилася, Земля тягне його, як і раніше, із силою 687 Н.

Щойно ліфт їде зі сталою швидкістю, прискорення нульове й N = m · g. Ваги знову показують 70 кг, а Максим із заплющеними очима не відрізнив би, чи ліфт їде, чи стоїть. Швидкості ми не відчуваємо, відчуваємо лише прискорення.

Перед потрібним поверхом ліфт гальмує. Швидкість напрямлена вгору, але зменшується, тож прискорення напрямлене вниз, a = −2 м/с²:

$$\begin{array}{rl}N& =70\mathrm{к}\mathrm{г}\cdot (9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2-2{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2)\\ & \approx 547\mathrm{Н}\end{array}$$

Ваги покажуть близько 56 кг, і Максим на мить почувається легшим.

В анімації ліфт спершу стоїть, потім рушає вгору, їде зі сталою швидкістю, гальмує й зупиняється. Синя сила тяжіння весь час однаково довга. Зелена сила реакції опори й зелений стовпчик праворуч, що показує показання ваг, під час рушання видовжуються, а під час гальмування вкорочуються. Чорна стрілка біля кабіни показує, куди напрямлене прискорення. Сіра штрихова лінія позначає показання в спокої, дисплей над стовпчиком показує значення в кілограмах.

Дорогою вниз усе навпаки. Коли ліфт рушає вниз, прискорення напрямлене вниз і ваги показують менше, а коли гальмує перед першим поверхом, воно напрямлене вгору й ваги показують більше. Вирішує напрямок прискорення, а не напрямок руху:

Можна рахувати й у зворотному порядку. Ваги в ліфті показують 77 кг, яке прискорення має ліфт? Ваги виміряли силу N = 77 кг · 9,81 м/с². З формули для сили реакції опори виразимо прискорення: поділимо рівняння на масу й віднімемо g:

$$a=\frac{N}{m}-g=\frac{77\mathrm{к}\mathrm{г}\cdot g}{70\mathrm{к}\mathrm{г}}-g=0,1\cdot g$$

Ліфт має прискорення близько 0,98 м/с² угору. Або він рушає вгору, або гальмує дорогою вниз, цього ваги не розрізнять.

Ліфт, що падає, і невагомість

А що, як трос обірветься? Справжній ліфт зупинили б ловильні гальма, що вгризаються в напрямні, але домислімо. Ліфт і Максим тоді падають лише під дією сили тяжіння, так само як під час вільного падіння, і мають прискорення g униз, тобто a = −g:

$$N=m\cdot (g-g)=0\mathrm{Н}$$

Ваги показують нуль. Максим і ваги падають цілком однаково, Максим на них зовсім не тисне, а вони не тиснуть на нього. Якби він випустив з руки ключі, вони б зависли в повітрі поруч із ним, бо падають так само, як він і кабіна. Це називають невагомістю. Вага тіла нульова, воно ні на що не тисне й за ніщо не тягне.

Проте сила тяжіння нульовою не є. Земля тягне Максима, як і раніше, із силою 687 Н, і саме тому він падає. Невагомість не означає, що тяжіння зникло, лише що його знизу ніщо не зрівноважує. Безпечно її випробовують пасажири спеціального літака, який приблизно двадцять секунд летить так, щоб мати прискорення рівно g униз. Люди всередині весь цей час ширяють. Слабшу версію того самого переживеш в авто, що швидко проїжджає вершину пагорба. На мить воно має прискорення вниз, сидіння тисне слабше, і шлунок ніби підстрибує.

Перевантаження мовою сил

Перевантаження показує, у скільки разів сильніше нас тисне опора, ніж коли ми стоїмо в спокої. Тепер ми вміємо записати його через сили. Це відношення сили реакції опори до сили тяжіння:

$$\frac{N}{m\cdot g}=\frac{m\cdot (g+a)}{m\cdot g}=\frac{g+a}{g}$$

Маса скоротилася, отже, перевантаження від неї не залежить. Важкий і легкий пасажири в тому самому ліфті переживають однакове перевантаження. Під час рушання вгору виходить

$$\frac{9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2+2{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2}{9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2}\approx 1,2,$$

тобто перевантаження 1,2g. Під час гальмування воно становить 0,8g, у спокої та за сталої швидкості 1g, а в ліфті, що падає, 0g. Перевантаження — це те саме, що показують ваги, лише поділене на те, що вони показували б у спокої: відношення 84 кг до 70 кг — знову 1,2.

Досі ми досліджували, що робить сила, яка діє постійно. А що, коли вона діє лише частку секунди, наприклад, під час удару чи коли б'ють по м'ячу? Цим займеться наступна стаття, Імпульс тіла та імпульс сили.